Dag 6
Flervariabelanalys
| Versionen från 24 maj 2007 kl. 14.15 (redigera) Tanjab (Diskussion | bidrag) ← Gå till föregående ändring |
Versionen från 24 maj 2007 kl. 14.25 (redigera) (ogör) Tanjab (Diskussion | bidrag) Gå till nästa ändring → |
||
| Rad 2: | Rad 2: | ||
| Om $F(x,y)=xy=1$ vet vi att $y=1/x$ och vi kan rita upp en fin graf. | Om $F(x,y)=xy=1$ vet vi att $y=1/x$ och vi kan rita upp en fin graf. | ||
| - | Ända sedan Vikingatiden har man dock irriterats över det faktum att det i vissa fall inte går att lösa ut $y$ som en funktion av $x$, dvs vi kan inte ''explicit'' ange $y$ som en funktion av $x$. Betrakta till exempel den till synes horribla ekvationen (nivåkurvan) $F(x,y)=y^5+xy-4=0$. Men notera att exempelvis $F(3,1)=0,$ varför $(3,1)$ ligger på nivåkurvan, och att gradienten ges av $\nabla F(3,1)=(1,8)$. Eftersom gradienten är normal till nivåkurvan (långt mer normal än en medelmåttig matematiker) så kan vi skissera nivåkurvans ungefärliga utseende i en omgivning av punkten $(3,1)$ och därmed övervinna det tillfälliga tungsinne som överväldigade oss vid en första titt på ekvationen ovan. Vi säger att | + | Ända sedan Vikingatiden har man dock irriterats över det faktum att det i vissa fall inte går att lösa ut $y$ som en funktion av $x$, dvs vi kan inte ''explicit'' ange $y$ som en funktion av $x$. Betrakta till exempel den till synes horribla ekvationen (nivåkurvan) $F(x,y)=y^5+xy-4=0$. Men notera att exempelvis $F(3,1)=0,$ varför $(3,1)$ ligger på nivåkurvan, och att gradienten ges av $\nabla F(3,1)=(1,8)$. Eftersom gradienten är normal till nivåkurvan (långt mer normal än en medelmåttig matematiker) så kan vi skissera nivåkurvans ungefärliga utseende i en omgivning av punkten $(3,1)$ och därmed övervinna det tillfälliga tungsinne som överväldigade oss vid en första titt på ekvationen ovan. Vi säger att ekvationen $F(x,y)=y^5+xy-4=0$ ''implicit'' definierar en funktion $y=f(x)$ i en omgivning av punkten $(3,1)$. Men detta är inte fallet i varje punkt på nivåkurvan! Det finns ett villkor som måste vara uppfyllt för att $F(x,y)=0$ implicit ska definiera en (deriverbar!) funktion $y=f(x)$ |
| + | i en omgivning av punkten $(a,b)$ - nämligen att $F_y'(a,b)\neq 0$. Detta, som kallas den implicita funktionssatsen | ||
| '''12.8''' | '''12.8''' | ||
| '''12.9''' | '''12.9''' | ||
Versionen från 24 maj 2007 kl. 14.25
IMPLICITA FUNKTIONER OCH TAYLORS FORMEL
Om $F(x,y)=xy=1$ vet vi att $y=1/x$ och vi kan rita upp en fin graf. Ända sedan Vikingatiden har man dock irriterats över det faktum att det i vissa fall inte går att lösa ut $y$ som en funktion av $x$, dvs vi kan inte explicit ange $y$ som en funktion av $x$. Betrakta till exempel den till synes horribla ekvationen (nivåkurvan) $F(x,y)=y^5+xy-4=0$. Men notera att exempelvis $F(3,1)=0,$ varför $(3,1)$ ligger på nivåkurvan, och att gradienten ges av $\nabla F(3,1)=(1,8)$. Eftersom gradienten är normal till nivåkurvan (långt mer normal än en medelmåttig matematiker) så kan vi skissera nivåkurvans ungefärliga utseende i en omgivning av punkten $(3,1)$ och därmed övervinna det tillfälliga tungsinne som överväldigade oss vid en första titt på ekvationen ovan. Vi säger att ekvationen $F(x,y)=y^5+xy-4=0$ implicit definierar en funktion $y=f(x)$ i en omgivning av punkten $(3,1)$. Men detta är inte fallet i varje punkt på nivåkurvan! Det finns ett villkor som måste vara uppfyllt för att $F(x,y)=0$ implicit ska definiera en (deriverbar!) funktion $y=f(x)$ i en omgivning av punkten $(a,b)$ - nämligen att $F_y'(a,b)\neq 0$. Detta, som kallas den implicita funktionssatsen 12.8 12.9
