Dag 15

Flervariabelanalys

RYMDKURVOR - PARAMETRISERING OCH BÅGLÄNGD

Ha hela tiden målet i sikte och glöm inte att du går denna kurs med den anspråkslösa önskningen om att förstå och kunna beskriva hela Universum i all sin komplexitet (även om just detta specifikt inte finns listat bland lärandemålen) och att klara tentan.

Om en partikel snurrar runt i Universum kan dess läge som funktion av tiden anges med en sk vektorvärd funktion $((x(t),y(t),z(t))$. Vi kan betrakta denna funktion som en parametrisering av en kurva (nämligen den väg partikeln tar). Vi utgår här ifrån att Universum är tredimensionellt, men rent tekniskt kan du jobba med flera dimensioner genom att helt enkelt lägga till fler komponenter i vektorn ovan.

Det kan ju faktiskt hända att det finns dimensioner som är så små att vi inte kan se dem, och nu undrar du vad det är för ny galenskap vi kommer med, men tänk dig ett snöre uppspänt mellan två hus på flera meters avstånd. Då ser det ut som en linje och du tänker på en dimension. Men om du kommer närmare ser du att en liten myra går runt snöret i tron att den lever i två dimensioner - vilket den ju gör eftersom den lever på repets yta. Så man vet faktiskt aldrig....

• 11.1 Rymdkurvor. En vektorvärd funktion av en reell variabel kan exempelvis användas för att ange en partikels läge som funktion av tiden - den sk lägesvektorn. Första- resp. andraderivatan av denna vektor ger oss partikelns hastighet resp. acceleration, vilka också är vektorvärda funktioner av en reell variabel (här tiden $t$). Observera att begreppet "fart" (speed) är längden (absolutbeloppet) av hastighetsvektorn (velocity). Den väg partikeln tar genom rymden är en rymdkurva och vi kan betrakta den vektorvärda funktionen ovan som denna rymdkurvas parametrisering. Läs igenom hela detta avsnitt.

• 11.3 Parametrisering av rymdkurvor. Båglängd.

Gör följande övningsuppgifter:

• 11.1:
• 11.3:

Om du har lust och tid över kan du göra följande övningsuppgifter som är snäppet svårare:

• 11.1:
• 11.3: