Dag 2

Flervariabelanalys

FLERVARIABELFUNKTIONER

Med en funktion $f$ menar vi en regel som till varje punkt $x=(x_1,x_2,...,x_n)\in\mathbb{R}^n$ ordnar en punkt (ett värde) $y=(y_1,y_2,...,y_m)\in\mathbb{R}^m.$ Dvs $f(x)=(f_1(x),f_2(x),...,f_m(x))=(y_1,y_2,...,y_m)$, där $x=(x_1,x_2,...,x_n)$. $\mathbb{R}^3$ är det vanliga tredimensionella rummet. Om $m=1$ kallar vi $f$ för reellvärd, och om $m>1$ sägs $f$ vara vektorvärd (med $m$ st reellvärda komponenter).

Idag kommer vi att titta på hur man deriverar reellvärda funktioner av en vektorvariabel, dvs funktioner som beror av flera reella variabler (och därmed en vektor). Ett exempel på en sådan funktion är funktionen som uttrycker volymen av en cirkulär cylinder: $V=V(r,h)=\pi r^2h$ där $r$ betecknar radien och $h$ höjden. När man vill studera en sådan här funktion är det naturligt att fråga sig hur varje enskild variabel påverkar funktionen under det att övriga variabler hålls fixa. Och, liksom i envariabelanalysen, är det viktigaste instrumentet härvidlag derivatan.

• 12.1 Flervariabelfunktioner. Läs igenom Definition 1 samt exempel 1-6.

• 12.2 Gränsvärden och kontinuitet för flervariabelfunktioner definieras i princip som för funktioner av en variabel, men notera att medan man i en dimension bara kan låta $x\to a$ från två håll, finns det i tex två dimensioner massor av sätt att låta $(x,y)\to (a,b)$ - har funktionen olika gränsvärden då $(x,y)\to (a,b)$ längs olika kurvor? Se tex Exempel 3 i detta avsnitt, här existerar inte gränsvärdet av funktionen då $(x,y)\to (0,0)$ eftersom det inte är unikt, dvs vi får olika värden då vi närmar oss $(0,0)$ från olika håll (längs olika linjer).

Gör följande övningsuppgifter:

• 12.1: 3 5 13 15 19.
• 12.2: 1 3 5 7 9 11.

Om du har lust och tid över kan du göra följande övningsuppgifter som är snäppet svårare:

• 12.2: 35 37 39 41.
• 12.2: 13 15 19 23.