Dag 7

Flervariabelanalys

EXTREMVÄRDEN

Idag ska vi tillämpa vår kunskap om partiell derivering för att lösa intressanta sak max/min-problem. Många praktiska problem som handlar om opimering kan formuleras matematiskt, och vanligtvis handlar det om att finna största eller minsta värdet av en reellvärd funktion definierad i någon delmängd av $\mathbb{R}^n$. Minns att varje reellvärd kontinuerlig funktion definierad på ett kompakt område har ett största och minsta värde, och därmed är existensen av en optimal lösning garanterad om vår funktion är definierad på en kompakt (dvs sluten och begränsad) mängd! Du bör känna till vissa begrepp från avsnitt 10.1 (som tex randpunkt, inre punkt och yttre punkt). Med all säkerhet har du stött med extremvärdesproblem tidigare i envariabelanalysen. I flervariabelfallet är situationen dock lite mer krävande eftersom man måste beräkna fler derivator, och analysen av en funktion på randen blir lite mer omfattande

Om funderingarna blir för många och din hög med obesvarade frågor börjar växa sig stadig ända upp till stratosfären eller ännu högre atmosfäriska lager, glöm inte att du då kan maila eller ringa någon av våra kompetenta mentorer. Det vore inte bra om frågorna hamnade utanför ozonlagret (som ju utgör den övre delen av stratosfären) eftersom vi på Nätkurserna då inte kan garantera att mentorernas svar inte tar skada av UV-strålningen på vägen till er mailbox.

13.1 Sats 1 ger nödvändiga villkor för att funktionen ska kunna ha ett extermvärde i en punkt, Sats 2 ger ett tillräckligt villkor (kompakthet). Studera Fig. 13.1-13.5 och läs igenom Exempel 1-4. Här ser vi vad som händer i extrempunkter för olika andragradsytor, och genom Taylors formel kan många fall återföras till denna situation - precis som man i envariabelfallet kan avgöra en extrempunkts karaktär med hjälp av andraderivatan, läs Exempel 5, Sats 3 och Exempel 6-9. Observera kriterierna under Remark direkt efter Sats 6.