Dag 9

Flervariabelanalys

LAGRANGES MULTIPLIKATORMETOD

Idag går vi igenom hur man kan förenkla behandlingen av optimeringsproblem med bivillkor ("constrained exteme-value problems") genom Lagranges multiplikatormetod. I går (avsnitt 13.2) gjorde vi uppgifter där man skulle finna max- och minvärden av funktioner definierade på ett kompakt område. Om vi tex letar efter max-och min av någon funktion $f(x,y)$ i området $x^2+y^2\leq 4$, kan detta sista villkor på $x$ och $y$ sägas vara ett bivillkor. I Exempel 1 i avsnitt 13.2 skulle man finna max och min för en funktion på just detta område, och problemet med att kolla randpunkter löstes genom att man parametriserade randen till området och därefter uttryckte den givna funktionen som en funktion av denna enda parameter ($t$), vilket (för randen) resulterade i ett optimeringsproblem i en variabel istället för ett optimeringsproblem i två variabler med ett bivillkor. Men det är inte alltid lätt att lösa optimeringsproblem med bivillkor (bivillkoret kan för övrigt likväl utgöras av en ekvation $g(x,y)=0$ istället för en olikhet). Därför introducerar vi i detta avsnitt idag en annan teknik (Lagranges multiplikatormetod) för att finna extremvärdena till en funktion $f(x,y)$ under bivillkoret ("constraint condition") $g(x,y)=0$.

13.3 Lagranges multiplikatormetod. Läs igenom detta avsnitt noga fram till och med Exempel 3.

Gör följande övningsuppgifter:

• 13.3:

Om du har lust och tid över kan du även göra följande övningsuppgifter:

• 13.3: