Dag 13

Flervariabelanalys

TRIPPELINTEGRALER

Här avanceras det med stormsteg - nu är det dags att ta ytterligare ett steg på det mänskliga intellektets trappfunktion som ska leda oss till en slutlig förståelse av Universums storslagenhet och alla dolda variabler och buktiga och roterande ytor som är inkapslade däri och vars volymer det är vårt oundvikliga öde att beräkna.

Vi ska nu titta på integraler där tre variabler är inblandade - alla goda ting är ju tre! Fast när vi ändå slagit in på den vägen kanske du undrar varför vi inte generaliserar till ännu högre dimensioner, men liksom ett kvadrerbart område inte kan ha en rand som inte är en nollmängd, kan vi inte heller illustrera för dig med en bild vilken den geometriska tolkningen i så fall skulle bli.

Men det bör ju nämnas, att medan det i andra sammanhang ses som negativt att generalisera, är detta något som faktiskt både är tillåtet och tillrådligt inom matematiken, och i matematiken kan man dessutom generalisera utan att dra förhastade slutsatser. Om man generaliserar sina resultat så att de täcker så många fall som möjligt så slipper man nämligen behandla alla specialfall, särfall och psykfall var för sig.

14.5 Trippelintegraler. Läs Exempel 1-4. Observera att analogen till vår tolkning av dubbelintegralen av en positiv funktion skulle bli att trippelintegralen av den positiva funktionen $f$ över området $D$ är den fyrdimensionella volymen (hypervolymen) av ett objekt i det fyrdimensionella rummet som har en tredimensionell bas $D$ och hyperytan $w=f(x,y,z)$