Dag 22

Flervariabelanalys

DIVERGENSSATSEN I PLANET

Idag ska vi gradera, divergera och rotera. Detta är hjärnyoga på hög nivå och en av många vägar till en god hälsa och ett långt liv. Begreppen gradient, divergens och rotation är viktiga. Gradienten av $f$ i en punkt är en vektor bestående av de partiella derivatorna till $f$ i punkten. Minns att gradienten $\nabla f(x_0)$ pekar i den riktning i vilken funktionen $f$ växer snabbast i punkten $x_0$. Divergensen av ett vektorfält $F$ är den formella skalärprodukten $\nabla\cdot F$. Om vektorfältet $F$ är en stationär (tidsoberoende) strömning så är divergensen av $F$ förknippad med produktionen av den strömmande substansen - tex kan ett positivt nettoflöde ut ur ett givet område kan ju bara vidmakthållas om det produceras materia i området - denna information gömmer sig i divergenssatsen (som är ekvivalent med Greens sats).

• 16.1 Grad, div och rot.
• 16.3 Divergenssatsen i planet. Du har läst igenom detta innan under Dag 19, men repetera sid 867 i detta avsnitt. Som nämnts tidigare så är divergenssatsen i planet ekvivalent med Greens sats. Skillnaden är att man i Greens sats använder randkurvans tangent medan man i divergessatsen använder normalen till randkurvan. Om $(T_1,T_2)$ är den positivt orienterade tangenten så är $(T_2,-T_1)$ den utåtriktade normalen.