Flervariabelanalys - Nya sidor [sv]

Adams:Solutions

2008-01-29T10:20:11Z

Sammanfattning: Ny sida: =Calculus= ==Chapter 1 - Limits and Continuity== [ [[#Calculus|Upp]] ]  {| class="wikitable" cellpadding="4px" cellspacing="2px" |-valign="top" | <!--Inre ...

=Calculus=
==Chapter 1 - Limits and Continuity==
[ [[#Calculus|Upp]] ]


{| class="wikitable" cellpadding="4px" cellspacing="2px"
|-valign="top"
|


{| class="wikitable" cellpadding="4px" cellspacing="2px" style="text-align:left;"
|-
| style="text-align:center; background:#CAFF70;" | 1.2
|-
|

*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel1.pdf Adams 1.2.10]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel1.pdf Adams 1.2.13]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel1.pdf Adams 1.2.18]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel1.pdf Adams 1.2.36]
|}

| 


{| class="wikitable" cellpadding="4px" cellspacing="2px" style="text-align:left;"
|-
| style="text-align:center; background:#CAFF70;" | 1.3
|-
|
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel1.pdf Adams 1.3.4]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel1.pdf Adams 1.3.6]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel1.pdf Adams 1.3.8]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel1.pdf Adams 1.3.13]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel1.pdf Adams 1.3.36]
|}

| 


{| class="wikitable" cellpadding="4px" cellspacing="2px" style="text-align:left;"
|-
| style="text-align:center; background:#CAFF70;" | 1.4
|-
|
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel2.pdf Adams 1.4.8]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel2.pdf Adams 1.4.18]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel2.pdf Adams 1.4.30]
|}

|}

==Chapter 2 - Differentiation==
[ [[#Calculus|Upp]] ]


{| class="wikitable" cellpadding="4px" cellspacing="2px"
|-valign="top"
|


{| class="wikitable" cellpadding="4px" cellspacing="2px" style="text-align:left;"
|-
| style="text-align:center; background:#CAFF70;" | 2.1
|-
|
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel2.pdf Adams 2.1.14]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel2.pdf Adams 2.1.24]
|}

| 


{| class="wikitable" cellpadding="4px" cellspacing="2px" style="text-align:left;"
|-
| style="text-align:center; background:#CAFF70;" | 2.2
|-
|
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel2.pdf Adams 2.2.16]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel2.pdf Adams 2.2.25]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel2.pdf Adams 2.2.47]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel2.pdf Adams 2.2.48]
|}

| 


{| class="wikitable" cellpadding="4px" cellspacing="2px" style="text-align:left;"
|-
| style="text-align:center; background:#CAFF70;" | 2.3
|-
|
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel3.pdf Adams 2.3.16]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel3.pdf Adams 2.3.22]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel3.pdf Adams 2.3.40]
|}

| 


{| class="wikitable" cellpadding="4px" cellspacing="2px" style="text-align:left;"
|-
| style="text-align:center; background:#CAFF70;" | 2.4
|-
|
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel3.pdf Adams 2.4.2]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel3.pdf Adams 2.4.4]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel3.pdf Adams 2.4.11]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel3.pdf Adams 2.4.14]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel3.pdf Adams 2.4.16]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel3.pdf Adams 2.4.25]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel3.pdf Adams 2.4.36]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel3.pdf Adams 2.4.40]
|}

| 


{| class="wikitable" cellpadding="4px" cellspacing="2px" style="text-align:left;"
|-
| style="text-align:center; background:#CAFF70;" | 2.5
|-
|
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel3.pdf Adams 2.5.4]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel3.pdf Adams 2.5.28]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel3.pdf Adams 2.5.32]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel3.pdf Adams 2.5.42]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel3.pdf Adams 2.5.58]
|}

| 


{| class="wikitable" cellpadding="4px" cellspacing="2px" style="text-align:left;"
|-
| style="text-align:center; background:#CAFF70;" | 2.6
|-
|
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel4.pdf Adams 2.6.2]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel4.pdf Adams 2.6.6]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel4.pdf Adams 2.6.8]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel4.pdf Adams 2.6.12]
|}

| 


{| class="wikitable" cellpadding="4px" cellspacing="2px" style="text-align:left;"
|-
| style="text-align:center; background:#CAFF70;" | 2.8
|-
|
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel3.pdf Adams 2.8.2]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel3.pdf Adams 2.8.8]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel3.pdf Adams 2.8.28]
|}

| 


{| class="wikitable" cellpadding="4px" cellspacing="2px" style="text-align:left;"
|-
| style="text-align:center; background:#CAFF70;" | 2.9
|-
|
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel4.pdf Adams 2.9.4]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel4.pdf Adams 2.9.10]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel4.pdf Adams 2.9.17]
|}

|}

==Chapter 3 - Transcendental Functions==
[ [[#Calculus|Upp]] ]


{| class="wikitable" cellpadding="4px" cellspacing="2px"
|-valign="top"
|


{| class="wikitable" cellpadding="4px" cellspacing="2px" style="text-align:left;"
|-
| style="text-align:center; background:#CAFF70;" | 3.1
|-
|
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel5.pdf Adams 3.1.8]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel5.pdf Adams 3.1.10]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel5.pdf Adams 3.1.24]
|}

| 


{| class="wikitable" cellpadding="4px" cellspacing="2px" style="text-align:left;"
|-
| style="text-align:center; background:#CAFF70;" | 3.3
|-
|
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel5.pdf Adams 3.3.22]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel5.pdf Adams 3.3.26]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel5.pdf Adams 3.3.40]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel5.pdf Adams 3.3.42]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel5.pdf Adams 3.3.61]
|}

| 


{| class="wikitable" cellpadding="4px" cellspacing="2px" style="text-align:left;"
|-
| style="text-align:center; background:#CAFF70;" | 3.5
|-
|
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel6.pdf Adams 3.5.2]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel6.pdf Adams 3.5.6]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel6.pdf Adams 3.5.8]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel6.pdf Adams 3.5.14]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel6.pdf Adams 3.5.16]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel6.pdf Adams 3.5.20]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel6.pdf Adams 3.5.22]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel6.pdf Adams 3.5.34]
|}
|}

==Chapter 4 - Some Applications of Derivatives==
[ [[#Calculus|Upp]] ]

{| class="wikitable" cellpadding="4px" cellspacing="2px"
|-valign="top"
|


{| class="wikitable" cellpadding="4px" cellspacing="2px" style="text-align:left;"
|-
| style="text-align:center; background:#CAFF70;" | 4.2
|-
|
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel8.pdf Adams 4.2.6]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel8.pdf Adams 4.2.14]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel8.pdf Adams 4.2.26]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel8.pdf Adams 4.2.30]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel8.pdf Adams 4.2.32]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel8.pdf Adams 4.2.36]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel8.pdf Adams 4.2.42]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel8.pdf Adams 4.2.44]
|}

| 


{| class="wikitable" cellpadding="4px" cellspacing="2px" style="text-align:left;"
|-
| style="text-align:center; background:#CAFF70;" | 4.3
|-
|
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel8.pdf Adams 4.3.26]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel8.pdf Adams 4.3.28]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel8.pdf Adams 4.3.32]
|}

| 


{| class="wikitable" cellpadding="4px" cellspacing="2px" style="text-align:left;"
|-
| style="text-align:center; background:#CAFF70;" | 4.7
|-
|
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel9.pdf Adams 4.7.4]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel9.pdf Adams 4.7.6]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel9.pdf Adams 4.7.16]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel9.pdf Adams 4.7.22]
|}

| 


{| class="wikitable" cellpadding="4px" cellspacing="2px" style="text-align:left;"
|-
| style="text-align:center; background:#CAFF70;" | 4.8
|-
|
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel9.pdf Adams 4.8.2]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel9.pdf Adams 4.8.6]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel9.pdf Adams 4.8.8]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel9.pdf Adams 4.8.10]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel9.pdf Adams 4.8.20]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel9.pdf Adams 4.8.22]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel9.pdf Adams 4.8.29]
|}

| 


{| class="wikitable" cellpadding="4px" cellspacing="2px" style="text-align:left;"
|-
| style="text-align:center; background:#CAFF70;" | 4.9
|-
|
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel10.pdf Adams 4.9.2]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel10.pdf Adams 4.9.4 ]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel10.pdf Adams 4.9.6 ]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel10.pdf Adams 4.9.8 ]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel10.pdf Adams 4.9.10 ]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel10.pdf Adams 4.9.12 ]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel10.pdf Adams 4.9.14 ]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel10.pdf Adams 4.9.18 ]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel10.pdf Adams 4.9.20 ]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel10.pdf Adams 4.9.24 ]
|}

|}

==Chapter 5 - Integration==
[ [[#Calculus|Upp]] ]


{| class="wikitable" cellpadding="4px" cellspacing="2px"
|-valign="top"
|


{| class="wikitable" cellpadding="4px" cellspacing="2px" style="text-align:left;"
|-
| style="text-align:center; background:#CAFF70;" | 5.1
|-
|
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel11.pdf Adams 5.1.2]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel11.pdf Adams 5.1.4]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel11.pdf Adams 5.1.12]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel11.pdf Adams 5.1.14]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel11.pdf Adams 5.1.22]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel11.pdf Adams 5.1.24]
|}

| 


{| class="wikitable" cellpadding="4px" cellspacing="2px" style="text-align:left;"
|-
| style="text-align:center; background:#CAFF70;" | 5.2
|-
|
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel11.pdf Adams 5.2.2]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel11.pdf Adams 5.2.10]
|}

| 


{| class="wikitable" cellpadding="4px" cellspacing="2px" style="text-align:left;"
|-
| style="text-align:center; background:#CAFF70;" | 5.3
|-
|
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel11.pdf Adams 5.3.2]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel11.pdf Adams 5.3.10]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel11.pdf Adams 5.3.12]
|}

| 


{| class="wikitable" cellpadding="4px" cellspacing="2px" style="text-align:left;"
|-
| style="text-align:center; background:#CAFF70;" | 5.4
|-
|
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel12.pdf Adams 5.4.4]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel12.pdf Adams 5.4.10]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel12.pdf Adams 5.4.11]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel12.pdf Adams 5.4.14]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel12.pdf Adams 5.4.24]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel12.pdf Adams 5.4.30]
|}

| 


{| class="wikitable" cellpadding="4px" cellspacing="2px" style="text-align:left;"
|-
| style="text-align:center; background:#CAFF70;" | 5.5
|-
|
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel12.pdf Adams 5.5.2]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel12.pdf Adams 5.5.6]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel12.pdf Adams 5.5.10]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel12.pdf Adams 5.5.16]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel12.pdf Adams 5.5.18]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel12.pdf Adams 5.5.20]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel12.pdf Adams 5.5.24]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel12.pdf Adams 5.5.28]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel12.pdf Adams 5.5.30]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel12.pdf Adams 5.5.38]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel12.pdf Adams 5.5.42]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel12.pdf Adams 5.5.46]

|}

| 


{| class="wikitable" cellpadding="4px" cellspacing="2px" style="text-align:left;"
|-
| style="text-align:center; background:#CAFF70;" | 5.6
|-
|
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel13.pdf Adams 5.6.4]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel13.pdf Adams 5.6.6]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel13.pdf Adams 5.6.8]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel13.pdf Adams 5.6.10]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel13.pdf Adams 5.6.16]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel13.pdf Adams 5.6.22]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel13.pdf Adams 5.6.28]
|}

| 


{| class="wikitable" cellpadding="4px" cellspacing="2px" style="text-align:left;"
|-
| style="text-align:center; background:#CAFF70;" | 5.7
|-
|
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel13.pdf Adams 5.7.2]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel13.pdf Adams 5.7.4]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel13.pdf Adams 5.7.6]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel13.pdf Adams 5.7.30]
|}

|}
==Chapter 6 - Techniques of Integration==
[ [[#Calculus|Upp]] ]


{| class="wikitable" cellpadding="4px" cellspacing="2px"
|-valign="top"
|


{| class="wikitable" cellpadding="4px" cellspacing="2px" style="text-align:left;"
|-
| style="text-align:center; background:#CAFF70;" | 6.1
|-
|
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel13.pdf Adams 6.1.2]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel13.pdf Adams 6.1.6]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel13.pdf Adams 6.1.8]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel13.pdf Adams 6.1.13]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel13.pdf Adams 6.1.14]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel13.pdf Adams 6.1.32]
|}

| 


{| class="wikitable" cellpadding="4px" cellspacing="2px" style="text-align:left;"
|-
| style="text-align:center; background:#CAFF70;" | 6.2
|-
|
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel14.pdf Adams 6.2.2]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel14.pdf Adams 6.2.10]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel14.pdf Adams 6.2.16]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel14.pdf Adams 6.2.22]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel14.pdf Adams 6.2.26]
|}

| 


{| class="wikitable" cellpadding="4px" cellspacing="2px" style="text-align:left;"
|-
| style="text-align:center; background:#CAFF70;" | 6.3
|-
|
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel14.pdf Adams 6.3.6]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel14.pdf Adams 6.3.10]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel14.pdf Adams 6.3.12]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel14.pdf Adams 6.3.16]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel14.pdf Adams 6.3.20]
|}

|}

==Chapter 7 - Applications of Integration==
[ [[#Calculus|Upp]] ]
==Chapter 8 - Conics, Parametric Curves, and Polar Curves==
[ [[#Calculus|Upp]] ]


{| class="wikitable" cellpadding="4px" cellspacing="2px"
|-valign="top"
|


{| class="wikitable" cellpadding="4px" cellspacing="2px" style="text-align:left;"
|-
| style="text-align:center; background:#CAFF70;" | 8.2
|-
|
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel1.pdf Adams 8.2.2]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel1.pdf Adams 8.2.4]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel1.pdf Adams 8.2.7]
|}

| 


{| class="wikitable" cellpadding="4px" cellspacing="2px" style="text-align:left;"
|-
| style="text-align:center; background:#CAFF70;" | 8.3
|-
|
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel1.pdf Adams 8.3.2]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel1.pdf Adams 8.3.10]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel1.pdf Adams 8.3.14]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel1.pdf Adams 8.3.20]
|}

| 


{| class="wikitable" cellpadding="4px" cellspacing="2px" style="text-align:left;"
|-
| style="text-align:center; background:#CAFF70;" | 8.4
|-
|
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel1.pdf Adams 8.4.2]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel1.pdf Adams 8.4.6]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel1.pdf Adams 8.4.12]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel1.pdf Adams 8.4.14]
|}

| 


{| class="wikitable" cellpadding="4px" cellspacing="2px" style="text-align:left;"
|-
| style="text-align:center; background:#CAFF70;" | 8.5
|-
|
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel1.pdf Adams 8.5.4]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel1.pdf Adams 8.5.10]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel1.pdf Adams 8.5.18]
|}

|}

==Chapter 9 - Sequences, Series, and Power Series==
[ [[#Calculus|Upp]] ]

{| class="wikitable" cellpadding="4px" cellspacing="2px"
|-valign="top"
|


{| class="wikitable" cellpadding="4px" cellspacing="2px" style="text-align:left;"
|-
| style="text-align:center; background:#CAFF70;" | 9.1
|-
|
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel16.pdf Adams 9.1.2]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel16.pdf Adams 9.1.18]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel16.pdf Adams 9.1.24]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel16.pdf Adams 9.1.26]
|}

| 


{| class="wikitable" cellpadding="4px" cellspacing="2px" style="text-align:left;"
|-
| style="text-align:center; background:#CAFF70;" | 9.2
|-
|
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel16.pdf Adams 9.2.2]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel16.pdf Adams 9.2.4]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel16.pdf Adams 9.2.10]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel16.pdf Adams 9.2.16]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel16.pdf Adams 9.2.18]
|}

| 


{| class="wikitable" cellpadding="4px" cellspacing="2px" style="text-align:left;"
|-
| style="text-align:center; background:#CAFF70;" | 9.3
|-
|
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel16.pdf Adams 9.3.2]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel16.pdf Adams 9.3.4]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel16.pdf Adams 9.3.8]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel16.pdf Adams 9.3.10]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel16.pdf Adams 9.3.12]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel16.pdf Adams 9.3.16]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel16.pdf Adams 9.3.18]
|}

| 


{| class="wikitable" cellpadding="4px" cellspacing="2px" style="text-align:left;"
|-
| style="text-align:center; background:#CAFF70;" | 9.4
|-
|
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel17.pdf Adams 9.4.4]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel17.pdf Adams 9.4.6]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel17.pdf Adams 9.4.8]
|}

| 


{| class="wikitable" cellpadding="4px" cellspacing="2px" style="text-align:left;"
|-
| style="text-align:center; background:#CAFF70;" | 9.5
|-
|
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel17.pdf Adams 9.5.2]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel17.pdf Adams 9.5.4]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel17.pdf Adams 9.5.6]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel17.pdf Adams 9.5.8]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel17.pdf Adams 9.5.18]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel17.pdf Adams 9.5.28]
|}

| 


{| class="wikitable" cellpadding="4px" cellspacing="2px" style="text-align:left;"
|-
| style="text-align:center; background:#CAFF70;" | 9.8
|-
|
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel10.pdf Adams 9.8.2]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel10.pdf Adams 9.8.8]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel10.pdf Adams 9.8.10]
|}

|}

==Chapter 10 - Vectors and Coordinate Geometry in 3-Space==
[ [[#Calculus|Upp]] ]
==Chapter 11 - Vector Functions and Curves==
[ [[#Calculus|Upp]] ]


{| class="wikitable" cellpadding="4px" cellspacing="2px"
|-valign="top"
|


{| class="wikitable" cellpadding="4px" cellspacing="2px" style="text-align:left;"
|-
| style="text-align:center; background:#CAFF70;" | 11.1
|-
|
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel2.pdf Adams 11.1.6]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel2.pdf Adams 11.1.15]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel2.pdf Adams 11.1.16]
|}

| 


{| class="wikitable" cellpadding="4px" cellspacing="2px" style="text-align:left;"
|-
| style="text-align:center; background:#CAFF70;" | 11.3
|-
|
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel2.pdf Adams 11.3.6]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel2.pdf Adams 11.3.8]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel2.pdf Adams 11.3.14]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel2.pdf Adams 11.3.18]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel2.pdf Adams 11.3.19]
|}

| 


{| class="wikitable" cellpadding="4px" cellspacing="2px" style="text-align:left;"
|-
| style="text-align:center; background:#CAFF70;" | 11.4
|-
|
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel2.pdf Adams 11.4.4]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel2.pdf Adams 11.4.5]
|}

| 


{| class="wikitable" cellpadding="4px" cellspacing="2px" style="text-align:left;"
|-
| style="text-align:center; background:#CAFF70;" | 11.5
|-
|
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel2.pdf Adams 11.5.2]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel2.pdf Adams 11.5.4]
|}

|}

==Chapter 12 - Partial Differentiation==
[ [[#Calculus|Upp]] ]


{| class="wikitable" cellpadding="4px" cellspacing="2px"
|-valign="top"
|


{| class="wikitable" cellpadding="4px" cellspacing="2px" style="text-align:left;"
|-
| style="text-align:center; background:#CAFF70;" | 12.1
|-
|
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel3.pdf Adams 12.1.2]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel3.pdf Adams 12.1.4]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel3.pdf Adams 12.1.5]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel3.pdf Adams 12.1.14]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel3.pdf Adams 12.1.16]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel3.pdf Adams 12.1.20]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel3.pdf Adams 12.1.22]
|}

| 


{| class="wikitable" cellpadding="4px" cellspacing="2px" style="text-align:left;"
|-
| style="text-align:center; background:#CAFF70;" | 12.2
|-
|
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel4.pdf Adams 12.2.2]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel4.pdf Adams 12.2.4]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel4.pdf Adams 12.2.11]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel4.pdf Adams 12.2.14]
|}

| 


{| class="wikitable" cellpadding="4px" cellspacing="2px" style="text-align:left;"
|-
| style="text-align:center; background:#CAFF70;" | 12.3
|-
|
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel4.pdf Adams 12.3.2]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel4.pdf Adams 12.3.5]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel4.pdf Adams 12.3.6]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel4.pdf Adams 12.3.12]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel4.pdf Adams 12.3.14]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel4.pdf Adams 12.3.22]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel4.pdf Adams 12.3.24]
|}

| 


{| class="wikitable" cellpadding="4px" cellspacing="2px" style="text-align:left;"
|-
| style="text-align:center; background:#CAFF70;" | 12.4
|-
|
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel4.pdf Adams 12.4.4]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel4.pdf Adams 12.4.10]
|}

| 


{| class="wikitable" cellpadding="4px" cellspacing="2px" style="text-align:left;"
|-
| style="text-align:center; background:#CAFF70;" | 12.5
|-
|
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel5.pdf Adams 12.5.2]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel5.pdf Adams 12.5.5]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel5.pdf Adams 12.5.6]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel5.pdf Adams 12.5.10]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel5.pdf Adams 12.5.12]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel5.pdf Adams 12.5.15]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel5.pdf Adams 12.5.16]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel5.pdf Adams 12.5.18]
|}

| 


{| class="wikitable" cellpadding="4px" cellspacing="2px" style="text-align:left;"
|-
| style="text-align:center; background:#CAFF70;" | 12.6
|-
|
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel5.pdf Adams 12.6.2]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel5.pdf Adams 12.6.6]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel5.pdf Adams 12.6.16]
|}

| 

{| class="wikitable" cellpadding="4px" cellspacing="2px" style="text-align:left;"
|-
| style="text-align:center; background:#CAFF70;" | 12.7
|-
|
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel6.pdf Adams 12.7.2]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel6.pdf Adams 12.7.8]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel6.pdf Adams 12.7.12]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel6.pdf Adams 12.7.14]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel6.pdf Adams 12.7.17]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel6.pdf Adams 12.7.22]
|}

| 


{| class="wikitable" cellpadding="4px" cellspacing="2px" style="text-align:left;"
|-
| style="text-align:center; background:#CAFF70;" | 12.8
|-
|
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel6.pdf Adams 12.8.4]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel6.pdf Adams 12.8.8]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel6.pdf Adams 12.8.11]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel6.pdf Adams 12.8.12]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel6.pdf Adams 12.8.14]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel6.pdf Adams 12.8.18]
|}

| 


{| class="wikitable" cellpadding="4px" cellspacing="2px" style="text-align:left;"
|-
| style="text-align:center; background:#CAFF70;" | 12.9
|-
|
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel7.pdf Adams 12.9.2]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel7.pdf Adams 12.9.8]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel7.pdf Adams 12.9.12]
|}

|}

==Chapter 13 - Applications of Partial Derivtives==
[ [[#Calculus|Upp]] ]


{| class="wikitable" cellpadding="4px" cellspacing="2px"
|-valign="top"
|


{| class="wikitable" cellpadding="4px" cellspacing="2px" style="text-align:left;"
|-
| style="text-align:center; background:#CAFF70;" | 13.1
|-
|
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel7.pdf Adams 13.1.2]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel7.pdf Adams 13.1.6]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel7.pdf Adams 13.1.12]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel7.pdf Adams 13.1.18]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel7.pdf Adams 13.1.22]
|}

| 


{| class="wikitable" cellpadding="4px" cellspacing="2px" style="text-align:left;"
|-
| style="text-align:center; background:#CAFF70;" | 13.2
|-
|
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel8.pdf Adams 13.2.2]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel8.pdf Adams 13.2.4]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel8.pdf Adams 13.2.6]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel8.pdf Adams 13.2.10]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel8.pdf Adams 13.2.12]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel8.pdf Adams 13.2.17]
|}

| 


{| class="wikitable" cellpadding="4px" cellspacing="2px" style="text-align:left;"
|-
| style="text-align:center; background:#CAFF70;" | 13.3
|-
|
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel8.pdf Adams 13.3.2]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel8.pdf Adams 13.3.4]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel8.pdf Adams 13.3.6]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel8.pdf Adams 13.3.12]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel8.pdf Adams 13.3.18]
|}

| 


{| class="wikitable" cellpadding="4px" cellspacing="2px" style="text-align:left;"
|-
| style="text-align:center; background:#CAFF70;" | 13.5
|-
|
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel9.pdf Adams 13.5.2]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel9.pdf Adams 13.5.7]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel9.pdf Adams 13.5.10]
|}
|}

==Chapter 14 - Multiple Integration==
[ [[#Calculus|Upp]] ]


{| class="wikitable" cellpadding="4px" cellspacing="2px"
|-valign="top"
|


{| class="wikitable" cellpadding="4px" cellspacing="2px" style="text-align:left;"
|-
| style="text-align:center; background:#CAFF70;" | 14.1
|-
|
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel9.pdf Adams 14.1.4]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel9.pdf Adams 14.1.8]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel9.pdf Adams 14.1.10]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel9.pdf Adams 14.1.14]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel9.pdf Adams 14.1.20]
|}

| 


{| class="wikitable" cellpadding="4px" cellspacing="2px" style="text-align:left;"
|-
| style="text-align:center; background:#CAFF70;" | 14.2
|-
|
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel10.pdf Adams 14.2.4]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel10.pdf Adams 14.2.6]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel10.pdf Adams 14.2.8]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel10.pdf Adams 14.2.10]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel10.pdf Adams 14.2.14]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel10.pdf Adams 14.2.16]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel10.pdf Adams 14.2.20]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel10.pdf Adams 14.2.28]
|}

| 


{| class="wikitable" cellpadding="4px" cellspacing="2px" style="text-align:left;"
|-
| style="text-align:center; background:#CAFF70;" | 14.3
|-
|
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel10.pdf Adams 14.3.2]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel10.pdf Adams 14.3.4]
|}

| 


{| class="wikitable" cellpadding="4px" cellspacing="2px" style="text-align:left;"
|-
| style="text-align:center; background:#CAFF70;" | 14.4
|-
|
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel11.pdf Adams 14.4.2]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel11.pdf Adams 14.4.10]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel11.pdf Adams 14.4.12]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel11.pdf Adams 14.4.24]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel11.pdf Adams 14.4.26]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel11.pdf Adams 14.4.32]
|}

| 


{| class="wikitable" cellpadding="4px" cellspacing="2px" style="text-align:left;"
|-
| style="text-align:center; background:#CAFF70;" | 14.5
|-
|
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel11.pdf Adams 14.5.2]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel11.pdf Adams 14.5.4]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel11.pdf Adams 14.5.10]
|}

| 


{| class="wikitable" cellpadding="4px" cellspacing="2px" style="text-align:left;"
|-
| style="text-align:center; background:#CAFF70;" | 14.6
|-
|
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel12.pdf Adams 14.6.20]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel12.pdf Adams 14.6.24]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel12.pdf Adams 14.6.26]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel12.pdf Adams 14.6.28]
|}

| 

{| class="wikitable" cellpadding="4px" cellspacing="2px" style="text-align:left;"
|-
| style="text-align:center; background:#CAFF70;" | 14.7
|-
|
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel12.pdf Adams 14.7.2]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel12.pdf Adams 14.7.4]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel12.pdf Adams 14.7.6]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel12.pdf Adams 14.7.8]
|}

|}

==Chapter 15 - Vector Fields==
[ [[#Calculus|Upp]] ]


{| class="wikitable" cellpadding="4px" cellspacing="2px"
|-valign="top"
|


{| class="wikitable" cellpadding="4px" cellspacing="2px" style="text-align:left;"
|-
| style="text-align:center; background:#CAFF70;" | 15.1
|-
|
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel13.pdf Adams 15.1.2]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel13.pdf Adams 15.1.4]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel13.pdf Adams 15.1.10]
|}

| 


{| class="wikitable" cellpadding="4px" cellspacing="2px" style="text-align:left;"
|-
| style="text-align:center; background:#CAFF70;" | 15.2
|-
|
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel13.pdf Adams 15.2.2]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel13.pdf Adams 15.2.4]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel13.pdf Adams 15.2.6]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel13.pdf Adams 15.2.10]
|}

| 


{| class="wikitable" cellpadding="4px" cellspacing="2px" style="text-align:left;"
|-
| style="text-align:center; background:#CAFF70;" | 15.3
|-
|
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel14.pdf Adams 15.3.2]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel14.pdf Adams 15.3.4]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel14.pdf Adams 15.3.6]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel14.pdf Adams 15.3.7]
|}

| 


{| class="wikitable" cellpadding="4px" cellspacing="2px" style="text-align:left;"
|-
| style="text-align:center; background:#CAFF70;" | 15.4
|-
|
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel14.pdf Adams 15.4.2]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel14.pdf Adams 15.4.4]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel14.pdf Adams 15.4.8]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel14.pdf Adams 15.4.10]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel14.pdf Adams 15.4.12]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel14.pdf Adams 15.4.16]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel14.pdf Adams 15.4.22]
|}

| 


{| class="wikitable" cellpadding="4px" cellspacing="2px" style="text-align:left;"
|-
| style="text-align:center; background:#CAFF70;" | 15.5
|-
|
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel15.pdf Adams 15.5.4]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel15.pdf Adams 15.5.14]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel15.pdf Adams 15.5.15]
|}

| 


{| class="wikitable" cellpadding="4px" cellspacing="2px" style="text-align:left;"
|-
| style="text-align:center; background:#CAFF70;" | 15.6
|-
|
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel15.pdf Adams 15.6.2]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel15.pdf Adams 15.6.6]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel15.pdf Adams 15.6.8]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel15.pdf Adams 15.6.10]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel15.pdf Adams 15.6.12]
|}

|}

==Chapter 16 - Vector Calculus==
[ [[#Calculus|Upp]] ]


{| class="wikitable" cellpadding="4px" cellspacing="2px"
|-valign="top"
|


{| class="wikitable" cellpadding="4px" cellspacing="2px" style="text-align:left;"
|-
| style="text-align:center; background:#CAFF70;" | 16.1
|-
|
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel16.pdf Adams 16.1.2]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel16.pdf Adams 16.1.4]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel16.pdf Adams 16.1.6]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel16.pdf Adams 16.1.8]
|}

| 


{| class="wikitable" cellpadding="4px" cellspacing="2px" style="text-align:left;"
|-
| style="text-align:center; background:#CAFF70;" | 16.3
|-
|
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel16.pdf Adams 16.3.2]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel16.pdf Adams 16.3.4]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel16.pdf Adams 16.3.7]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel16.pdf Adams 16.3.8]
|}

| 


{| class="wikitable" cellpadding="4px" cellspacing="2px" style="text-align:left;"
|-
| style="text-align:center; background:#CAFF70;" | 16.4
|-
|
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel17.pdf Adams 16.4.2]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel17.pdf Adams 16.4.4]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel17.pdf Adams 16.4.8]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel17.pdf Adams 16.4.12]
|}

| 


{| class="wikitable" cellpadding="4px" cellspacing="2px" style="text-align:left;"
|-
| style="text-align:center; background:#CAFF70;" | 16.5
|-
|
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel17.pdf Adams 16.5.2]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel17.pdf Adams 16.5.4]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel17.pdf Adams 16.5.6]
|}

|}
==Chapter 17 - Ordinary Differential Equations==
[ [[#Calculus|Upp]] ]

{| class="wikitable" cellpadding="4px" cellspacing="2px"
|-valign="top"
|


{| class="wikitable" cellpadding="4px" cellspacing="2px" style="text-align:left;"
|-
| style="text-align:center; background:#CAFF70;" | 17.7
|-
|

*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel7.pdf Adams 17.7.2]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel7.pdf Adams 17.7.6]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel7.pdf Adams 17.7.10]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel7.pdf Adams 17.7.14]

|}

| 


{| class="wikitable" cellpadding="4px" cellspacing="2px" style="text-align:left;"
|-
| style="text-align:center; background:#CAFF70;" | 17.8
|-
|
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel7.pdf Adams 17.8.2]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel7.pdf Adams 17.8.8]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel7.pdf Adams 17.8.10]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel7.pdf Adams 17.8.12]
|}

|}

==Appendix==
[ [[#Calculus|Upp]] ]

{| class="wikitable" cellpadding="4px" cellspacing="2px"
|-valign="top"
|


{| class="wikitable" cellpadding="4px" cellspacing="2px" style="text-align:left;"
|-
| style="text-align:center; background:#CAFF70;" | Appendix III
|-
|
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel18.pdf Adams App III.2]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel18.pdf Adams App III.4]
|}

| 


{| class="wikitable" cellpadding="4px" cellspacing="2px" style="text-align:left;"
|-
| style="text-align:center; background:#CAFF70;" | Appendix IV
|-
|
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel18.pdf Adams App IV.2]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel18.pdf Adams App IV.6]
|}

|}

Exempellösningar

2007-07-25T12:17:42Z

Sammanfattning: Ny sida: [[Huvudsida|Tillbaka till huvudsidan.]] '''Som mentor/lärare så blir man ibland tvungen att lösa tal i kursboken, då flitiga elever frågar på dessa. Dessa lösningar är ju synd och ...

[[Huvudsida|Tillbaka till huvudsidan.]]

'''Som mentor/lärare så blir man ibland tvungen att lösa tal i kursboken, då flitiga elever frågar på dessa. Dessa lösningar är ju synd och skam att sitta och gömma, så här hamnar de.'''

==Exercises 13.2: 3==

'''Finn maximala och minimala värdet för $f(x,y)=xy-y^2$ på skivan $x^2+y^2\leq 1$'''

===Lösning===

Vi beräknar de partiella derivatorna först, och får

$\displaystyle{\begin{cases} \frac{\partial x}{\partial f} &=& y \\ \frac{\partial y}{\partial f} &=& x-2y \\ \end{cases} }$

Vi ser att enda punkten där båda är noll är $(0,0)$.
Detta är alltså enda möjliga lokala extrempunkten, och $f(0,0) = 0$.

Nu måste vi undersöka randvilkoret, och detta område är ju enhetscirkeln vars parametrisering vi kan sedan tidigare;

$\displaystyle{\begin{cases} x(t) &=& \cos(t) \\ y(t) &=& \sin(t) \end{cases} \mbox{där} \ \ 0\leq t \leq 2\pi}$

Vi sätter in parametriseringen i vår ursprungliga finktion och får då att $f(x(t),y(t)) = \cos(t)\sin(t)-\sin^2(t)$. Låt oss för enkelhetens skull kalla detta för $g(t)$, eftersom det är
en funktion av '''en''' variabel.

Vi deriverar $g(t)$ för att leta extrempunkter, genom praduktregeln och kedjeregeln;

$g'(t) = \cos^2(t) - \sin^2(t) - 2\sin(t)\cos(t)$. Sitter trigonometrin nu i ryggmärgen, så känner vi igen detta som uttrycken för dubbla vinkeln. Alltså $g'(t)=\cos(2t) - \sin(2t)$.

Vi vill nu lösa ekvationen $g'(t)=0$, så vi måste lösa $\cos(2t) - \sin(2t) = 0$.

Överflyttning ger att $\cos(2t) = \sin(2t)$. Vi dividerar båda sidorna med $\cos(2t)$. (Detta är ok att göra, eftersom vi vet att ingen lösning uppfyller $\cos(2t)=0$, så vi riskerar inte att missa någon lösning).

Då får vi att vi måste lösa $\frac{\sin(2t)}{\cos(2t)}=\tan(2t) = 1$.

Detta är en vanlig trigonometrisk ekvation, så lösningarna är $t = \pi/8+n\pi/2$.

De lösningar inom rätt intervall är $\{\pi/8,5\pi/8,9\pi/8,13\pi/8 \}$ och dessa sätter vi in i $g(t)$;

Vi får då att

$g(\pi/8) = g(9\pi/8) = \frac{\sqrt{2}-1}{2} >0$

$g(5\pi/8) = g(13\pi/8) = \frac{-1-\sqrt{2}}{2} < 0$

Detta beräknas genom att $g(t)$ kan skrivas som $\displaystyle{\frac{\sin(2t)}{2}+\frac{\cos(2t)-1}{2}}$

Minsta värdet är $\displaystyle{\frac{-1-\sqrt{2}}{2}}$,
och största värdet är $\displaystyle{\frac{\sqrt{2}-1}{2}}$.

Extrempunkten i $(0,0)$ är då varken minsta eller största värdet.

==Exercises 13.2: 5==

Finn min och max av $f(x,y) = xy-x^3y^2$ i kvadraten $0\leq x \leq 1$, $0 \leq y \leq 1$.

===Lösning===

Beräkna partiella derivatorna.

Vi får att $y(1-3x^2y)=0$ och $x(1-2x^2y)=0$ om vi har en extrempunkt.

Vi ser att $x=0 \Rightarrow y=0$, och $(0,0)$ är en lösning.

Vi kan nu med gott samvete dividera med både $x$ och $y$, och finner att $(0,0)$ är enda lösningen.

Resten av uppgiften, där man måste parametrisera kvadratens kanter överlämnas åt läsaren.

==Exercises 13.2: 9==

Finn min och max av $(x+y)e^{-x^2-y^2}$ i enhetscirkeln.

===Lösning===

Genom att beräkna de partiella derivatorna och ställa upp ekvationssystemet, så kan vi korta bort $e^{-x^2-y^2}$, eftersom detta garanterat är nollskilt.

Kvar är $1=2x^2+2xy$, $1=2y^2+2xy$. Ledvis subtraktion leder till att $x=\pm y$ men bara $x=y$ leder till lösning. $x=y=\pm 1/4$.

Resten av uppgiften, där man måste parametrisera cirkelns rand överlämnas åt läsaren.

==Exercises 13.3: 3==

'''Finn kortaste avståndet mellan origo och planet $x+2y+2z=3$,'''

'''a) Med hjälp av geometriska argument.'''

'''b) Med hjälp av att konvertera till problem i 2 variabler utan bivillkor.'''

'''c) Med hjälp av Lagrangemultiplikator.'''

=== Lösning a ===

Vi vet att vektorn från origa till punkten som ligger på kortast avstånd är vinkelrätt mot planet,
dvs. parallellt med $n = (1,2,2)$.

Vi vill då lösa så att $n\cdot t $ ligger i planet:

$t+2(2t)+2(2t) = 3$ vilket ger $9t = 3$ så $t=1/3$.

Avståndet blir då $|n|/3 = \sqrt{1+2^2+2^2}/3 = 1$.

=== Lösning b ===

Vi vill konvertera problemet till två variabler, så vi substitutierar:

$\begin{cases} x &= & 3-2t-2s \\y &= & s \\z &= & t \\\end{cases}$

Då ser vi att alla punkter $(x,y,z)=(3-2t-2s,s,t)$ ligger i planet. Vi vill nu minimera avståndet till origo,
dvs. minimera $\sqrt{x^2+y^2+z^2}$. Detta är samma som att minimera kvadraten på avståndet och sätter vi in
substitutionen så vill vi minimera

$f(s,t) = (3-2t-2s)^2 + s^2+t^2 = 5s^2+8st-12s+5t^2-12t+9$.

Partiella derivatorna är då

$\begin{cases} f'_s = 10s+8t-12 \\ f'_t = 10t+8s-12 \\ \end{cases}$

På grund av symmetri måste $s=t$, ty det är ett linjärt system, och vi får att $s=t=2/3$.

Avståndet i kvadrat är då $f(2/3,2/3) = 1$, så givetvis är då minsta avståndet 1.

=== Lösning c ===

Vi vill minimera avståndet i kvadrat, $f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2$ under bivillkoret $g(x,y,z)= x+2y+2z-3 = 0$.

Vi skapar Lagrange-funktionen $L(x,y,z,\lambda) = x^2+y^2+z^2 - \lambda(x+2y+2z-3)$.

De partiella derivatorna är då
$\begin{cases}
L'_x = 2x-\lambda\\
L'_y = 2y-2\lambda\\
L'_z = 2z-2\lambda\\
L'_\lambda = x+2y+2z-3\\
\end{cases}$

Om alla dessa skall vara noll, så måste $x = \lambda/2$ och $y=z=\lambda$. Detta fås från 1-3.
Sätter vi in det i det fjärde uttrycket fås att

$\lambda/2 + 2\lambda + 2\lambda-3 = 0 $ vilket ger att $\lambda = 2/3$.

Så kritiska punkten är då $(x,y,z)=(1/3,2/3,2/3)$, vars avstånd till origo är precis 1.

Lank kursplanering

2007-07-10T09:57:25Z

Sammanfattning: /* Kursplanering */

==Kursplanering==

Kursplaneringen återfinns i samma plattform som diagnoserna, klicka på länken '''Kursplanering & diagnoser''' i Student Lounge.

Under varje dag finns en kryssruta för att ange om du anser dig klar med dagens beting. Dina noteringar här styr påminnelsemeddelanden och den gröna skalan i Student Lounge.

Lärandemål Modul 5

2007-06-08T12:44:57Z

Sammanfattning: Ny sida: * Beräkna flödesintegraler samt använda dessa för att lösa tillämpade problem. * Definiera gradient, divergens samt rotation. * Behärska divergenssatsen i planet. * Kunna diverges...

* Beräkna flödesintegraler samt använda dessa för att lösa tillämpade problem.
* Definiera gradient, divergens samt rotation.
* Behärska divergenssatsen i planet.
* Kunna divergessatsen i $\mathbb{R}^3$ och kunna tillämpa denna vid beräkning av flöden över en begränsningsyta av ett område i rummet.

Lärandemål Modul 4

2007-06-08T12:38:08Z

Sammanfattning:

* Definiera begreppen vektorfält och skalärfält, konservativt fält samt potentialfunktion.
* Beräkna linjeintegraler av vektorfält.
* Kunna använda Greens sats i planet samt känna till (den ekvivalenta) divergenssatsen i planet.
* Beräkna ytintegraler av skalärfält samt förstå hur dessa kommer till användning inom tillämpningar.

Lärandemål Modul 3

2007-06-08T12:06:39Z

Sammanfattning:

* Kunna dubbelintegralens definition som ett gränsvärde av Riemannnsummor samt beräkna sådana medelst iteration.
* Beräkna generaliserade dubbelintegraler (av positiva funktioner).
* Behärska polära koordinater samt andra metoder (som att utnyttja symmetrier och allmän variabelsubstitution) för att beräkna dubbelintegraler.
* Använda cylindriska och sfäriska koordinater för att beräkna trippelintegraler.
* Kunna definitionen av ytelement samt beräkna enkla funktionsytors area.
* Beräkna båglängden av en rymdkurva.

Lärandemål Modul 2

2007-06-08T11:50:55Z

Sammanfattning:

* Behärska implicit derivering samt känna till implicita funktionssatsen (endast för yta i rummet).
* Kunna approximera en funktionsyta med dess tangentplan i en viss punkt - dvs Taylors formel (här av ordning två) i två variabler.
* Kunna definiera kritisk punkt, singulär punkt och randpunkt samt beräkna extremvärden till funktioner i flera (här två) variabler.
* Använda Lagranges multiplikatormetod för att finna extremvärdena till en funktion under bivillkor.

Lärandemål Modul 1

2007-06-08T11:26:26Z

Sammanfattning:

* Handskas med kurvor på parameterform.
* Kunna definition och förstå innebörden av gränsvärdes- och kontinuitetsbegreppet för flervariabelfunktioner samt beräkna gränsvärden utifrån definitionen.
* Behärska partiell derivering och kunna tillämpa kedjeregeln i flervariabelfallet.
* Känna till Laplaces ekvation, vågekvationen och värmeledningsekvationen.
* Kunna definiera och beräkna Jacobimatrisen, liksom gradient och riktningsderivata.

Kurslitteratur

2007-06-07T14:30:00Z

Sammanfattning: Ny sida: == Kurslitteratur == '''R.A. Adams: Calculus, a Complete Course,''' 6th edition. 2006. Pearson Education. ISBN10 - 0321270002 ISBN13 - 9780321270009 Det finns olika versioner av bok...

== Kurslitteratur ==

'''R.A. Adams: Calculus, a Complete Course,'''

6th edition. 2006. Pearson Education.

ISBN10 - 0321270002

ISBN13 - 9780321270009

Det finns olika versioner av boken, varav en version med elektroniskt stödmaterial från förlaget. I denna version ingår också varje avsnitt i boken i pdf-format. Detta alternativ kan vara praktiskt t.ex. för den som redan har påbörjat motsvarande kurs tidigare och redan har någon annan kursbok. Se nedanstående ISBN. Man kan annars följa kursen utan detta stödmaterial och det är att betrakta som en typ av bredvidläsning.

Det går att köpa litteraturen via de vanliga bokhandlarna i Sverige eller direkt från förlaget till nedanstående priser (som inkluderar fri frakt inom Europa) genom att gå till deras [http://www.pearsoned.co.uk/bookshop/voucher/ bookstore].

I rutan för "voucher code" skriver du in ZP037M och får då tillgång till en beställningssida med specialpriset.

'''Adams: Calculus: A Complete Course 6e (textbook alone)'''

ISBN10 - 0321270002

ISBN13 - 9780321270009

Price: £37.59 (fri frakt inom Europa)

'''Adams: Calculus: A Complete Course 6e with MyMathLab'''

ISBN10 - 1405846526

ISBN13 - 9781405846523

Price: £53.99 (fri frakt inom Europa)

'''MyMathLab/MyStatLab Student Access Kit for Adams 6e (MML on its own)'''
(här ingår också varje avsnitt i boken i pdf-format)

ISBN10 - 0321262522

ISBN13 - 9780321262523

Price: £20 (fri frakt inom Europa)

Exempeltentor

2007-06-07T14:27:26Z

Sammanfattning: Ny sida: Här hittar du exempel på tentor tagna från motsvarande kurs som gått på KTH vid tidigare tillfällen. Det är lämpligt att räkna igenom dessa som en repetition innan den skriftliga...

Här hittar du exempel på tentor tagna från motsvarande kurs som gått på KTH vid tidigare tillfällen.

Det är lämpligt att räkna igenom dessa som en repetition innan den skriftliga tentan.

'''Observera att Exempeltenta 4 och Exempeltenta 5 tillåter Beta som hjälpmedel vilket EJ kommer att vara tillåtet vid detta kurstillfälle.'''

== Exempeltentor ==

* [[Media:Exempeltenta_1.pdf|Exempeltenta 1]]
* [[Media:Exempeltenta_2.pdf|Exempeltenta 2]]
* [[Media:Exempeltenta_3.pdf|Exempeltenta 3]]
* [[Media:Exempeltenta_4.pdf|Exempeltenta 4]]
* [[Media:Exempeltenta_5.pdf|Exempeltenta 5]]

== Lösningar ==

* [[Media:Exempeltenta_1_svar.pdf|Lösningar Exempeltenta 1]]
* [[Media:Exempeltenta_2_svar.pdf|Lösningar Exempeltenta 2]]
* [[Media:Exempeltenta_3_svar.pdf|Lösningar Exempeltenta 3]]
* [[Media:Exempeltenta_4_svar.pdf|Lösningar Exempeltenta 4]]
* [[Media:Exempeltenta_5_svar.pdf|Lösningar Exempeltenta 5]]

Kursmål

2007-06-07T14:23:06Z

Sammanfattning:

==Flervariabelanalys - Beskrivning av kursmålen==

Webbaserad kurs i Flervariabelanalys 5B4048

'''Kursens mål'''

Att göra deltagarna väl förtrogna med grundläggande flervariabelanalys.

Det innebär att studenterna efter kursen ska kunna:

* Förstå, definiera, tolka och använda differential- och integralkalkylens grundbegrepp som gränsvärde för funktioner av flera variabler, kontinuitet, differentierbarhet, partiell derivata, Jacobimatris och Jacobideterminant, gradient, riktningsderivata och multipelintegral.
* Beräkna enklare gränsvärden till funktioner av flera variabler.
* Bestämma Jacobimatris och använda denna för linjär approximation av en given funktion.
* Avgöra om en given funktion är lokalt inverterbar.
* Använda Taylors formel i flera variabler för att approximera en given funktion med polynom med viss noggrannhet.
* Använda gradienten för bestämning av riktningsderivator och tangentplan till nivåytor.
* Beräkna vissa multipelintegraler.
* Använda multipelintegraler vid beräkningar av volymer och areor samt beräkna längd med hjälp av integraler.
* Lösa max- och minproblem för flervariabelfunktioner, även med bivillkor.
* Vektoranalys.
Dessutom ska studenterna efter genomgången kurs ha övergripande kunskaper och insikter i hur man ställer upp matematiska modeller och genomför matematiska resonemang samt kunna presentera och diskutera matematik.

'''Kursinnehåll'''

Funktioner och gränsvärde, partiell derivata och kedjeregeln, gradient och riktningsderivata, Taylors formel, kurvor och ytor, implicita funktioner, optimering, dubbelintegraler samt trippelintegraler, vektoranalys (vektorfält, skalärfält, linjeintegraler och flödesintegraler).

Under kursen undervisas och övas problemformulering, modellering och analys.

'''Förkunskaper'''

Grundläggande behörighet. Matematik kurs A-D från gymnasieskolan. Grundkurs i Envariabelanalys (t.ex. 5B1147 eller 5B4047 Webbaserad kurs i Envariabelanalys vid KTH) eller motsvarande kunskaper.

'''Särskilda utrustningskrav'''

Dator med Internetanslutning och webbläsare som kan hantera Flash och Java applets. Det krävs ingen installation av någon separat programvara. Studenterna får tillgång till allt de behöver genom det personliga användarnamn de får när de antagits till kursen och kursen startar.

Kursen är nätbaserad.

Dag 25

2007-06-02T15:02:48Z

Sammanfattning:

==REPETITION==

Idag är det meningen att du ska fortsätta repetera kursen, delar av den eller hela (om man nu hinner det på en dag), samt att försöka göra några extentor. Men liksom en elementarpartikel inte samtidigt kan ha en väldefinierad rörelsemängd och position kan inte heller du både repetera kursen och göra alla extentor samtidigt, och det är därför vår repetition sträcker sig över två hela dagar. Och precis som observatören (troligen en experimentell fysiker) skapar verkligheten i observationsögonblicket skapar du din egen verklighet genom att satsa ordentligt på att hamra in all kunskap och logisk förmåga i ditt huvud
i god tid innan tentan. Glöm inte att du kan maila eller ringa våra mentorer som vigt sina liv åt att hjälpa dig och andra kunskapstörstande studenter.

Vi på nätkurserna önskar dig ett stort lycka till på tentan!

Tack för att du följde vår kurs!

Dag 24

2007-06-02T14:21:29Z

Sammanfattning:

==REPETITION==

Idag är det meningen att du ska fokusera på de delar av kursen som du kanske känner att du behärskar mindre bra, och träna upp dig genom att
repetera relevant text med tillhörande uppgifter. Gå gärna tillbaka till de dagar med läsövningar där de avsnitt du vill repetera behandlas. Alltså, bara för att förtydliga, det är inte meningen att du ska provocera Einstein genom att uppfinna en tidsmaskin och färdas tillbaka i tiden till just den dagen, du vill ju repetera avsnittet just för att du faktiskt inte var helt införstådd med materialet den dagen, och därför är det meningslöst att ge dig på relativitetsteorin idag - du har kanske inte ens tagit de 5 p i relativitetsteori som behövs för detta ändamål. Däremot kan du ju försöka teleportera dig själv till tentadagen för att se hur tentan ser ut i förväg. Det skulle vi på nätkurserna också gärna vilja veta, så slipper vi göra den. Men om du misslyckas med detta, och inte känner att du behöver repetera något eftersom du redan kan allt, kan du ju ta en titt på extentorna som hör till denna kurs istället. Och när du har gjort detta kan du packa ihop ditt DNA på digital form och skicka iväg det med ljusets hastighet till andra planeter så att även utomjordingarna får ta del av innehållet i kursen. Troligen kan du få hjälp av NASA, gå in på deras hemsida och boka en tid. Och glöm inte att också boka in en tid i din kalender för tentan - du har ju trots allt inte gjort den ännu.

Alltså: repetition och gamla tentor är dagens tema, och exempeltentor finner du på kursens huvudsida, eller [[Exempeltentor| här]].

Lycka till!

Dag 23

2007-06-01T14:29:31Z

Sammanfattning:

==DIVERGENSSATSEN I $\mathbb{R}^3$ (GAUSS' SATS)==

Idag kommer vi att ägna oss åt flöden över en begränsningsyta av ett område i rummet. Divergenssatsen i $\mathbb{R}^3$ (Gauss' sats) är en av två viktiga versioner av Analysens Huvudsats (den andra är Stokes sats, som inte ingår i denna kurs). Gauss' sats kan betraktas som en generalisering till tre dimensioner av den variant av Greens formel (nämligen divergenssatsen) i planet som kan skrivas:
$\int\int_R div FdA=\oint_CF\cdot Nds$ (Sats 7 i avsnitt 16.3).

Den sats som intresserar oss idag lyder: $\int\int\int_D div FdV
=\oint\oint_SF\cdot NdS$, där $D$ är ett tredimensionellt (kompakt) område i rummet och $S$ är dess (orienterade och slutna) yta med enhetsnormalvektor $N$ som pekar ut från ytan. Gauss' sats säger att flödet $F$ ut ur området $R$ begränsat av ytan $S$ är lika med volymintegralen av $div F$ över $D$. I satsen formulerad i dagens svsnitt 16.4 och det efterföljande beviset, kommer vi emellertid att begränsa oss till en speciell typ av områden i rummet som förenklar saker och ting lite för oss i beviset.

'''16.4''' Divergenssatsen i $\mathbb{R}^3$. Läs detta avsnitt fram till och med Exempel 5 (Sats 9 ingår alltså inte).

Gör följande övningsuppgifter:
* 16.4: 1 3 5 7 11 13.

Om du har tid och energiflöde över kan du öven göra följande uppgifter:
* 16.4: 6 9 12 17.

Observera att det finns flera blandade uppgifter i repetitionssyfte för kap. 16 under rubriken "Chapter Review" sid. 896-898.

Dag 22

2007-06-01T12:26:53Z

Sammanfattning:

==DIVERGENSSATSEN I PLANET==

Idag ska vi gradera, divergera och rotera. Detta är hjärnyoga på hög nivå och en av många vägar till en god hälsa och ett långt liv. Begreppen gradient, divergens och rotation (eng. ''curl'') är viktiga. '''Gradienten''' av $f$ i en punkt är en vektor bestående av de partiella derivatorna till $f$ i punkten. Minns att gradienten $\nabla f(x_0)$ pekar i den riktning i vilken funktionen $f$ växer snabbast i punkten $x_0$. '''Divergensen''' av ett vektorfält $F$ är den formella skalärprodukten $\nabla\cdot F$ och är en skalär funktion. Om vektorfältet $F$ är en stationär (tidsoberoende) strömning så är divergensen av $F$ förknippad med produktionen av den strömmande substansen - tex kan ett positivt nettoflöde ut ur ett givet område bara vidmakthållas om det ''produceras'' materia i området - denna information gömmer sig i divergenssatsen (som är ekvivalent med Greens sats). '''Rotationen''' av ett vektorfält är den formella kryssprodukten $\nabla\times F$ och är ett nytt vektorfält. Rotationen av ett vektorfält i en punkt är ''virveltendensen'' av fältet i punkten.

* '''16.1''' Grad, div och rot. Grad är definierad för funktioner och ger vektorer, div är definierad för vektorer och ger skalära funktioner, rot är definierad för vektorer och ger vektorer. Notera att $\nabla\cdot F$ och $F\cdot\nabla$ inte är samma sak (se texten). Läs detta avsnitt fram till och med Exempel 2 ("Interpretation of the Divergence" och "Interpretation of the Curl" är frivillig läsning för den intresserade).

* '''16.3''' Divergenssatsen i planet. Du har redan läst igenom detta innan under Dag 19, men repetera sid 867 i detta avsnitt. Som nämnts tidigare så är divergenssatsen i planet ekvivalent med Greens sats. Skillnaden är att man i Greens sats använder randkurvans tangent medan man i divergessatsen använder normalen till randkurvan. Om $(T_1,T_2)$ är den positivt orienterade tangenten så är $(T_2,-T_1)$ den utåtriktade normalen.

Gör följande övningsuppgifter:
* 16.1: 1 3 5 7 9 11.
* 16.3: 6.

Om du har tid över och vill ha en utmaning kan du göra följande övningsuppgifter också:
* 16.1: 12 13 14.

Dag 21

2007-06-01T11:32:18Z

Sammanfattning:

==FLÖDESINTEGRALER==

Nu har vi kommit så långt att du skulle kunna ta dig an uppgiften att beräkna det flöde av kunskap som strömmar genom den krökta ytan av ditt huvud, bara du lyckas ta fram det korrekta utseendet på ytelementet $dS$ och inte stör beräkningen genom att det flödar för mycket tankekraft genom ytan medan du räknar på den - det är möjligt att det finns en inneboende osäkerhet liksom i Heisenbergs obestämdhetsrelation, där du påverkar och i värsta fall sabbar hela förloppet genom att observera (här beräkna) det. Kanske bäst att låta bli innan tentan då....

Men var inte orolig - det finns miljontals andra strömmande flöden av substanser genom ytor vi kan räkna på! Flödesproblem leder till inget mindre än ytintegraler - och sådana är du ju expert på vid det här laget. Observera att man ibland kan finna vackra symmetrier och dylikt hos integranden på ytan man integrerar över, och då kan man slippa undan en och annan parametrisering och förenkla beräkningarna - håll därför ett vakande öga öppet så att du inte gör för mycket jobb i onödan. Latheten är ju uppfinningarnas moder. Eller hur var det nu?

'''15.6''' Flödesintegraler. Om orientering av ytor (observera att olika parametriseringar av en yta kan ge upphov till olika orientering). I Definition 6 definieras ''flöde'' (flux). Hela detta fascinerande avsnitt ingår i kursen.

Gör följande övningsuppgifter:
* 15.6: 1 3 7 9 11 13 15.

Om du har tid och energiflöde över kan du öven göra följande uppgifter:
* 15.6: 2 4 6 8 10 12.

Observera att det finns flera blandade uppgifter i repetitionssyfte för kap. 15 under rubriken "Chapter Review" sid. 848-849.

Dag 20

2007-06-01T09:30:27Z

Sammanfattning:

==YTINTEGRALER AV SKALÄRFÄLT==

Idag ska vi studera integraler av funktioner definierade på ytor i det tredimensionella rummet - sk ''ytintegraler'', och mer precist ytintegraler av skalärfält (minns att ett skalärfält är en reellvärd funktion av en vektorvariabel). En yta i $\mathbb{R}^3$ är ett tvådimensionellt objekt då varje punkt på ytan är bestämd genom att man anger två koordinater och den kan därför definieras som värdemängden (eller grafen) till en vektorvärd funktion av två reella variabler: $z=f(x,y)$. Jämför situationen för en kurva där varje punkt på detta endimensionella objekt specificeras av en koordinat, exempelvis avståndet från en fix punkt i rummet, och därför kan en kurva definieras som värdemängden till en vektorvärd funktion av en reell variabel.

I vår iver att förstå den fysikaliska världen upptäcker vi att det ofta uppträder frågeställningar som ger upphov till ytintegraler, och därför måste vi kunna beräkna sådana.

'''15.5''' Ytintegraler av skalärfält. Vi börjar med att gå igenom parametrisering av ytor - läs Exempel 1-3. För att erhålla en ytintegral som ett gränsvärde av Riemannsummor behöver vi ta fram ytelementet (areaelementet) $dS$. Observera likheten mellan detta (se blå ruta sid 836) och båglängdselementet $ds$ för en kurva. Läs hela detta avsnitt fram till och med Exempel 9.

Gör följande övningsuppgifter:
* 15.5: 1 3 7 9 13 15.

Om du har lust och tid över kan du även göra följande uppgifter:
* 15.5: 2 4 8 10 14.

Dag 19

2007-05-31T14:25:42Z

Sammanfattning:

==GREENS SATS I PLANET==

Idag presenterar vi ett resultat som kan ses som motsvarigheten i två dimensioner till det som i envariabelanalysen kallas för Analysens Huvudsats:
$\int_{a}^{b}f'(x)dx=f(b)-f(a)$, och
ve den student som inte förstått innebörden av denna djupa och friskpråkiga insikt och som inte yrvaket kan återge den på fyllan på Rektors eller Konungens (kan han den själv?) begäran. För en kurva $C$ som lever i det två- eller tredimensionella rummet ser vi genast i all vår smarthet likheten med en linjeintegral av ett konservativt kraftfält längs kurvan $C$ mellan punkterna $A$ och $B$:
$\int_C\nabla\Phi\cdot dr=\Phi(B)-\Phi(A)$.

För att inte ta all glädje ifrån dig på förhand utan bibehålla det matematiska moment av överraskning vi strävar efter här och som kommer att få dig att öppna kursboken, återger vi inte Greens sats (dagens huvudämne) här i läsanvisningen utan överlämnar det tunga ansvaret åt dig att slå upp sidan 865.

'''16.3''' Greens sats i planet. Läs Sats 6 + bevis. Observera att formeln inte gäller för kurvor i planet som inte är slutna. Läs Exempel 1-3. Exempel 3 illustrerar att speciella effekter uppstår för vektorfält med singulariteter - fältet här är singulärt i origo och om man går runt denna punkt får man ett bidrag på $2\pi$. Läs Sats 7 (Divergenssatsen i planet) som är ekvivalent med Greens sats. Skillnaden är att man i Greens sats använder randkurvans tangent medan man i divergessatsen använder normalen till randkurvan. Om $(T_1,T_2)$ är den positivt orienterade tangenten så är $(T_2,-T_1)$ den utåtriktade normalen. Vi återkommer till denna sats, och dess tredimensionella motsvarighet, under Dag 22.

Gör följande övningsuppgifter:
* 16.3: 1 3 5 7.

Om du har lust och tid över kan du även göra följande uppgifter (uppgift 6 kan sparas till Dag 22):
* 16.3: 2 4 6.

Dag 18

2007-05-31T13:55:07Z

Sammanfattning:

==LINJEINTEGRALER FORTSÄTTNING==

Vi vet att tomheten efter gårdagens linjeintegraler kan tyckas oändlig och att oändligheten kan tyckas obegränsad (om den nu inte redan är det) men lyckan ler mot dig - för idag forstätter vi med linjeintegralerna i avsnitt 15.3-15.4.

Du som redan glömt vad du gjorde igår får rådet att läsa igenom gårdagens (Dag 17) läsanvisningar igen och fortsätta med övningsuppgifterna. Om du redan läst igenom allt och anser dig kunna allt så läs ändå i ödmjukhetens namn igenom avsnitt 15.3-15.4 igen - glöm inte att repetitionen är kunskapens moder, och att, som någon vis man en gång sagt:
''"De slag af sysselsättning, som äro de säkraste och löna sig bäst i längden; äro i början långsammast att gifva någon afkastning."''

Gör därefter följande övningsuppgifter:
* 15.3: 2 5 6 8 9 10.
* 15.4: 5 9 13 19.

Dag 17

2007-05-31T12:40:57Z

Sammanfattning:

==LINJEINTEGRALER AV VEKTORFÄLT==

Matematisk skolning är det enda som kan hålla inflationen nere och folkvettet uppe. Linjeintegraler är inkörsporten till en sund och linjär livsstil, och det visar sig idag att så länge man bara integrerar ett konservativt vektorfält kan man ändå i sann liberalistisk anda välja vilken väg man vill. Vilken annan vetenskap erbjuder denna frihetsgrad?
Observera att vi ägnar dessa två avsnitt två dagar.

'''15.3''' Linjeintegraler. Observera att värdet av en linjeintegral $\int_Cfds$ beror på $f$ och kurvan $C$ men inte på vilken parametrisering '''r'''(t) av $C$ man använder sig av. Notera också att om $f$ är ett skalärfält så beror värdet av linjeintegralen inte på $C$:s ''orientering'', till skillnad från fallet då $f$ är ett vektorfält. Läs igenom hela detta avsnitt.

'''15.4''' Linjeintegraler av vektorfält. Linjeintegralen $\int_CF\cdot dr$, där $F$ är ett vektorfält, beror av $C$:s orientering (vid motsatt orientering byter integralen tecken). Observera att olika parameterframställningar av $C$ kan ge upphov till motsatta orienteringar. Om $C$ är en ''sluten kurva'' kallas linjeintegralen ovan för ''cirkulationen'' av $F$ längs $C$ och man använder ibland beteckningen $\oint_CF\cdot dr$. Texten under rubriken "Connected and simply connected domains" är frivillig läsning, allt annat ingår. Sats 1 om oberoende av väg ("Independence of Path") är viktig - i allmänhet beror en linjeintegrals värde på integrationsvägens utseende och inte bara av vägens ändpunkter, men linjeintegralen av ett ''konservativt'' vektorfält är ''oberoende av integrationsvägen'' vilket innebär att man är fri att välja vilken integrationsväg man vill. Observera att detta påstående är ekvivalent med påståendet att ''linjeintegralen längs varje sluten kurva är noll.'' Varför är det så?

Gör följande övningsuppgifter:
* 15.3: 1 3 4 7 11.
* 15.4: 1 3 7 11 15 16 17.

Om du har lust och tid över kan du göra följande övningsuppgifter som är snäppet svårare:
* 15.3: 13 14 15 17.
* 15.4: 22 24.

Dag 16

2007-05-31T10:39:45Z

Sammanfattning:

==VEKTOR- OCH SKALÄRFÄLT==

Ett ''vektorfält'' '''F(r)''' är en vektorvärd funktion av en variabel som utgörs av en vektor '''r'''$=(x,y,z)$. Både funktionens definitionsmängd och värdemängd är alltså delmängder av $\mathbb{R}^3$:

'''F(r)'''$=(F_1(x,y,z), F_2(x,y,z), F_3(x,y,z))$.

Observera att indexeringen här representerar komponenterna i en vektor, inte partiella derivator. Funktionerna $F_1, F_2$ och $F_3$ är reellvärda funktioner av en vektorvariabel och kallas för ''skalärfält''. Många fysikaliska fenomen, som tex gravitationsfält, magnetfält och materia- och energiströmningar, beskrivs matematiskt med hjälp av just vektorfält. En tillämpning av vektorfält i två dimensioner (plana vektorfält) är exempelvis horisontell vätskeströmning eller värmeledning i en tunn platta.

Vi pratade ju innan om att man gärna skulle vilja beräkna det arbete som uträttas då en partikel rör sig i ett fält längs någon rymdkurva, och nu när vi lärt oss att parametrisera en sådan kurva kan vi gripa oss an detta problem.

'''15.1''' Vektor- och skalärfält. Detta avsnitt är en orientering inför senare studier av linje- och flödesintegraler. Läs Exempel 1-4.

'''15.2''' Begreppen konservativt fält och potentialfunktion är viktiga (Def. 1). Kriterierna för att fält ska vara konservativa dyker upp mer naturligt i kap. 16 i samband med Greens och Stokes' formler. Läs fram till och med Exempel 5.

Gör följande övningsuppgifter:
* 15.1: 1 3 5 7 9.
* 15.2: 1 3 5 7 9.

Om du har lust och tid över kan du även göra följande övningsuppgifter:
* 15.1: 2 4 6 8 10 12.
* 15.2: 2 4 6 8 10 12.

Dag 15

2007-05-28T15:35:09Z

Sammanfattning:

==RYMDKURVOR - PARAMETRISERING OCH BÅGLÄNGD==

Ha hela tiden målet i sikte och glöm inte att du går denna kurs med den anspråkslösa önskningen om att förstå och kunna beskriva hela Universum i all sin komplexitet (även om just detta specifikt inte finns listat bland lärandemålen) och att klara tentan.

Om en partikel snurrar runt i Universum kan dess läge som funktion av tiden anges med en sk vektorvärd funktion $((x(t),y(t),z(t))$. Vi kan betrakta denna funktion som en parametrisering av en kurva (nämligen den väg partikeln färdas). Vi utgår här ifrån att Universum är tredimensionellt, men rent tekniskt kan du jobba med flera dimensioner genom att helt enkelt lägga till fler komponenter i vektorn ovan.

Det kan ju faktiskt hända att det finns dimensioner som är så små att vi inte kan se dem, och nu undrar du vad det är för ny galenskap vi kommer med, men tänk dig ett snöre uppspänt mellan två hus på flera meters avstånd. Då ser det ut som en linje och du tänker på ''en'' dimension. Men om du kommer närmare ser du att en liten myra går runt snöret i tron att den lever i ''två'' dimensioner - vilket den ju gör eftersom den lever på repets yta som är tvådimensionell. Så man vet faktiskt aldrig....

*'''11.1''' Rymdkurvor. En vektorvärd funktion av en reell variabel kan exempelvis användas för att ange en partikels läge som funktion av tiden - den sk lägesvektorn. Första- resp. andraderivatan av denna vektor ger oss partikelns hastighet resp. acceleration, vilka också är vektorvärda funktioner av en reell variabel (här tiden $t$). Observera att begreppet fart (speed) är längden (absolutbeloppet) av hastighetsvektorn (velocity). Läs igenom hela avsnittet.

*'''11.3''' Den väg partikeln i förra avsnittet tar genom rymden är en rymdkurva och denna rymdkurvas parameterrepresentation är en vektorvärd funktion. I detta avsnitt ska vi dock betrakta en kurva som ett geometriskt objekt bestående av den mängd punkter som ges av en lägesvektor där parametern $t$ inte längre måste beteckna tiden, eller någon annan fysikalisk enhet heller för den delen. Båglängden definieras på samma sätt i tre dimensioner som i två, och genom att ''välja båglängden som parameter'' har tangentvektorn (hastigheten) den konstanta längden 1! Läs igenom hela detta avsnitt.

Gör följande övningsuppgifter:
* 11.1: 3 7 9 15 17 19.
* 11.3: 1 5 7 11 13 19.

Om du har lust och tid över kan du göra följande övningsuppgifter:
* 11.1: 4 6 10 14 16 18 20.
* 11.3: 15 16 17 18.

Dag 14

2007-05-28T14:23:54Z

Sammanfattning:

==SUBSTITUTION I TRIPPELINTEGRALER OCH FUNKTIONSYTORS AREA==

Idag kommer vi att gå igenom de cylindriska och sfäriska koordinaterna. De senare kallas ibland också för rymdpolära koordinater. I normalfallet är det inte alltför bra att lära sig saker utantill eftersom allt kan bli fel om man minns fel, men här kan det vara lämpligt att faktiskt kunna de sk volymselementen (dvs funktionaldeterminanterna, eller Jacobideterminanterna) utantill eftersom variabelsubstitution med dessa koordinater är så pass vanlig. Du bör dock ändå kunna härleda dessa utifall du skulle glömma dem, liksom du förväntas kunna bygga upp hela matematiken till dags dato själv utifrån Euklides fem axiom.

* '''14.6''' Substitution i trippelintegraler. Läs igenom hela detta avsnitt.

* '''14.7''' Funktionsytors area. Här behöver du bara läsa fram till och med Exempel 1. Observera att ytelementet $dS$ är helt analogt med båglängdselementet i en variabel, se Fig. 14.47.

Gör följande övningsuppgifter:

* 14.6: 1 3 7 13 15 17 19 25.
* 14.7: 1 3 5 7 9.

Om du har lust och tid över kan du även göra följande övningsuppgifter:

* 14.6: 21 23 27 29.
* 14.7: 2 4 6 8 10.

Observera att det finns flera blandade uppgifter i repetitionssyfte för kap. 14 under rubriken "Chapter Review" sid. 804-805.

Dag 13

2007-05-28T12:53:29Z

Sammanfattning:

==TRIPPELINTEGRALER==

Här avanceras det med stormsteg - nu är det dags att ta ytterligare ett steg på det mänskliga intellektets trappfunktion som ska leda oss till en slutlig förståelse av Universums storslagenhet och alla dolda variabler och buktiga och roterande ytor som är inkapslade däri och vars volymer det är vårt oundvikliga öde att beräkna.

Vi ska nu titta på integraler där tre variabler är inblandade - alla goda ting är ju tre! Fast när vi ändå slagit in på den vägen kanske du undrar varför vi inte generaliserar till ännu högre dimensioner, men liksom ett kvadrerbart område inte kan ha en rand som inte är en nollmängd, kan vi inte heller illustrera för dig med en bild vilken den geometriska tolkningen i så fall skulle bli.

Men det bör ju nämnas, att medan det i andra sammanhang ses som negativt att generalisera, är detta något som faktiskt både är tillåtet och tillrådligt inom matematiken, och i matematiken kan man dessutom generalisera utan att dra förhastade slutsatser. Om man generaliserar sina resultat så att de täcker så många fall som möjligt så slipper man nämligen behandla alla specialfall, särfall och psykfall var för sig.

'''14.5''' Trippelintegraler. Observera att analogen till vår tolkning av dubbelintegralen av en positiv funktion skulle bli att trippelintegralen är den fyrdimensionella volymen (hypervolymen) av ett objekt i det fyrdimensionella rummet som har en tredimensionell bas $D$ och hyperytan $w=f(x,y,z)$ som "tak". Det kanske inte säger dig så mycket mer än att matematiker är galna, men som tur är finns det vettiga tolkningar av trippelintegralen i fysikaliska tillämpningar.
Läs Exempel 1-4.

Gör följande övningsuppgifter:

* 14.5: 1 3 5 9 11.

Om du har lust och tid över kan du även göra följande övningsuppgifter:

* 14.5: 7 13 15.

Dag 11

2007-05-28T10:54:06Z

Sammanfattning:

==GENERALISERADE DUBBELINTEGRALER==

Hittills har vi räknat på dubbelintegraler där funktionen $f$ och området $D$ är ''begränsade''. Om integranden och/eller integrationsområdet är ''obegränsat'' har vi att göra med en ''generaliserad integral''.

I envariabelfallet löstes detta problem genom att (här med obegränsad övre integrationsgräns) sätta $\int_{0}^{\infty}f(x)dx=\lim_{N\to\infty}\int_{0}^{N}f(x)dx$, alltså den generaliserade integralen beräknas som ett gränsvärde av en "vanlig" integral. Tyvärr är det inte lika enkelt i det allmänna fallet med dubbelintegraler. Vi kommer därför här att begränsa vårt studium av generaliserade dubbelintegraler till fallet då $f$ utgörs av en ''positiv'' funktion på $D$.

* '''14.3''' Generaliserade dubbelintegraler. Läs Exempel 1-4 samt Remark. Här ingår alltså inte "A Mean-Value Theorem for Double Integrals", även om du gärna får läsa detta stycke om du vill.

Gör följande övningsuppgifter:

* 14.3: 1 3 5 7 9 11 13.

Om du har lust och tid över kan du även göra följande övningsuppgifter:

* 14.3: 2 4 6 8 10 12 14.

Dag 12

2007-05-28T09:42:50Z

Sammanfattning:

==POLÄRA KOORDINATER OCH SUBSTITUTION==

Nu börjar det kanske kännas rörigt med alla nya begrepp, och du drar dig säkert till minnes termodynamikens andra huvudsats, enligt vilken entropin (dvs måttet av oordning) i ett slutet fysikaliskt system ökar med tiden, men så är ju lyckligtvis inte din hjärna är ett slutet system utan öppet för allsköns nya intryck och matematiska influenser som vidgar dina vyer och därmed även de nätbaserade kursernas verksamhet och budget :-)

Ibland kan det vara lämpligt att gå över till sk polära koordinater för att kunna beräkna en dubbelintegral inom rimlig tid. Därför börjar vi dagen med att titta lite på vad polära koordinater är (avsnitt 8.5) och därefter fortsätter vi vår genomgång av dubbelintegraler och lämpliga substitutioner för att beräkna sådana.

* '''8.5''' Definition av polära koordinater. Läs bara fram till och med Exempel 2. I planet kan man identifiera en punkt genom att (istället för att ange de cartesiska x- och y-koordinaterna) ange avståndet $r$ från en fix punkt samt en vinkel $\theta$. Motsvarigheten i tre dimensioner, som vi inte ska gå in på här, kallas sfäriska koordinater och består av ett avstånd och två vinklar.

* '''14.4''' Substitution i dubbelintegraler. Här kommer vår nyvunna kunskap om polära koordinater till användning. Formeln för ett allmänt variabelbyte i en dubbelintegral (Sats 4) är viktig. Läs igenom hela detta avsnitt.

Gör följande övningsuppgifter:
* 8.5: 3 9 11.
* 14.4: 1 3 7 9 11 13 21.

Om du har lust och tid över kan du även göra följande övningsuppgifter:
* 14.4: 17 19 23 29.

Och om du vill ha en lite större utmaning kan du försöka ge dig på följande uppgifter:
* 14.4: 25 27 31 35 37.

Dag 10

2007-05-28T09:31:43Z

Sammanfattning:

==DUBBELINTEGRALER OCH ITERATION==

Idag inleder vi vårt studium av dubbelintegraler. Med iteration reduceras problemet att beräkna en dubbelintegral till problemet att successivt beräkna två enkelintegraler.

Som du vet är delad glädje dubbel glädje, medan en dubbelintegral innebär dubbel glädje, och därför blir en dubbelintegral uppdelad och beräknad genom iteration fyrdubbel glädje! Få är denna insikt förunnad, men du kommer att förstå det själv efter att du gjort övningarna till dagens avsnitt.

Du minns säkert med sentimental glädje hur du redan i envariabelanalysen kunde beräkna volymen av en sk rotationskropp. Idag kommer du att lära dig beräkna volymen av mer allmänna kroppar, närmare bestämt kroppar som ligger mellan xy-planet och någon funktionsyta $z=f(x,y)$. Naturligtvis finns det kroppar som inte kan beskrivas så fint, och tills vidare får ni beräkna en sådan kropps volym genom att likt Archimedes sänka ner den i ert badkar.

Platon, som var en känd matematiker/filosof under antiken, kallade alla kroppar som inte var konvexa regelbundna tredimensionella polyedrar (de fem sk ''platonska kropparna'': tetraedern, hexaedern, oktaedern, dodekaedern och ikosaedern) för ''"irreguljära missfoster",'' men vi kanske inte ska använda ett så grovt språkbruk här för kroppar som inte passar våra syften.

* '''14.1''' Dubbelintegralen införs som gränsvärde av Riemannsummor ungefär som i en dimension. Syftet är att beräkna volymen under en (posistiv) funktion $f$ på $D$, där $f$ är höjden över den tvådimensionella plana ytan $D$ som utgör kroppens bottenyta. Läs igenom hela detta avsnitt.

* '''14.2''' Iteration. Genom upprepad integration får vi en metod för att beräkna dubbelintegraler (Sats 2). För att explicit kunna beräkna en dubbelintegral måste man hitta en primitiv funktion och det kan därför spela roll i vilken ordning man utför den upprepade integrationen. Var noga med att sätta rätt integrationsgränser. Läs igenom hela detta avsnitt.

Gör följande övningsuppgifter:

* 14.1: 1 3 5 7 13 15.
* 14.2: 1 3 5 7 9 11 13.

Om du har lust och tid över kan du även göra följande övningsuppgifter:
* 14.1: 17 19 21.
* 14.2: 19 21 23 25 27.

Dag 9

2007-05-25T12:11:58Z

Sammanfattning:

==LAGRANGES MULTIPLIKATORMETOD==

Idag går vi igenom hur man kan förenkla behandlingen av optimeringsproblem med bivillkor ("constrained exteme-value problems") genom ''Lagranges multiplikatormetod.'' I går (avsnitt 13.2) gjorde vi uppgifter där man skulle finna max- och minvärden av funktioner definierade på ett kompakt område. Om vi tex letar efter max-och min av någon funktion $f(x,y)$ i området $x^2+y^2\leq 4$, kan detta sista villkor på $x$ och $y$ sägas vara ett bivillkor. I Exempel 1 i avsnitt 13.2 skulle man finna max och min för en funktion på just detta område, och problemet med att kolla randpunkter löstes genom att man parametriserade randen till området och därefter uttryckte den givna funktionen som en funktion av denna enda parameter $t$, vilket (för randen) resulterade i ett optimeringsproblem i en variabel istället för ett optimeringsproblem i två variabler med ett bivillkor. Men det är inte alltid lätt att lösa optimeringsproblem med bivillkor (bivillkoret kan för övrigt likväl utgöras av en ekvation $g(x,y)=0$ istället för en olikhet). Därför introducerar vi i detta avsnitt idag en annan teknik (Lagranges multiplikatormetod) för att finna extremvärdena till en funktion $f(x,y)$ under bivillkoret ("constraint condition") $g(x,y)=0$.

'''13.3''' Lagranges multiplikatormetod. Läs igenom detta avsnitt noga fram till och med Exempel 3.

Gör följande övningsuppgifter:

* 13.3: 1 3 5 7 9 19.

Om du har lust och tid över kan du även göra följande övningsuppgifter:

* 13.3: 11 13 15 22 23.

Observera att det finns flera blandade uppgifter i repetitionssyfte för kap. 13 under rubriken "Chapter Review" sid. 752-753.

Dag 8

2007-05-25T10:54:43Z

Sammanfattning:

==EXTREMVÄRDEN/OPTIMERING FORTSÄTTNING==
Igår ägnade vi hela dagen åt att finna och klassificera kritiska punkter. Nu fortsätter vi med optimeringen. Du behöver idag bara läsa igenom två exempel i avsnitt 13.2 - Exempel 1 och 2 - där man ägnar sig åt att finna minsta och största värdet av en funktion definierad på ett kompakt område. Kom ihåg att existensen av min- och maxvärden är garanterad då funktionens definitionsmängd utgör ett kompakt område. Det blir inte mycket teori att läsa igenom idag alltså, och all tid du får över kan du därför ägna åt roliga övningsuppgifter som hör till dagens avsnitt.

Optimeringslära i all ära, men ibland finns det genvägar. Nu i sommarhettan kanske du vill köpa en glass för dina surt förvärvade CSN-pengar. Rimligtvis bör det vara så att en likhet bibehålls efter rotutdragning i båda leden - förklara detta för kassörskan (som i jämlikhetens namn naturligtvis inte behöver vara en kvinna). Naturligtvis gäller
$1$ krona = $100$ öre $\Rightarrow$ $1/4$ krona = $25$ öre, och efter rotutdragning i båda leden får vi $1/2$ krona = $5$ öre. Således har vi visat att $1$ krona är lika med $10$ öre och därmed kostar glassen inte $10$ kronor längre utan $100$ öre, vilket ni gladeligen kan ge kassörskan. Om det är du själv som råkar sitta i kassan bara vänder du på steken och säger att då vi visat att $5$ öre är lika med $1/2$ krona så kostar glassen på $1000$ öre ($10$ kronor) faktiskt $200\cdot \frac{1}{2}=100$ kronor. Men nu ska vi kanske inte uppvigla till brott här, fast du har ju handlat i god matematisk tro och kan hänvisa till dina högre studier i matematik.

'''13.2''' Läs igenom Exempel 1-2. Den som är intresserad kan även läsa igenom avsnittet om linjär programmering, men detta ingår inte i kursen.

Gör följande övningsuppgifter:

* 13.2: 1 3 5 7 9 11 13.

Om du har lust och tid över kan du även göra följande övningsuppgifter:

* 13.2: 2 4 6 8 10 12 14 16.

Dag 7

2007-05-25T09:28:41Z

Sammanfattning:

==EXTREMVÄRDEN/OPTIMERING==
Idag ska vi tillämpa vår kunskap om partiell derivering för att lösa intressanta sk max/min-problem. Många praktiska problem som handlar om opimering kan formuleras matematiskt, och vanligtvis handlar det om att finna största eller minsta värdet av en reellvärd funktion definierad i någon delmängd av $\mathbb{R}^n$. Minns att ''varje reellvärd kontinuerlig funktion definierad på ett kompakt område har ett största och minsta värde'' - och därmed är existensen av en optimal lösning garanterad om vår funktion är definierad på en kompakt (dvs sluten och begränsad) mängd. Inför dagens utmaning bör du känna till vissa begrepp från avsnitt 10.1 (som tex randpunkt, inte punkt, yttre punkt). När det gäller extremvärdesproblem är situationen i flervariabelfallet mer komplicerad än i envariabelfallet, eftersom man måste beräkna fler derivator, och analysen av en funktion på randen blir naturligtvis lite mer omfattande. Idag kommer vi huvudsakligen att ägna oss åt att finna och klassificera sk ''kritiska punkter''.

Om funderingarna blir för många och din hög med obesvarade frågor börjar växa sig stadig ända upp till stratosfären eller ännu högre atmosfäriska lager, glöm inte att du då kan maila eller ringa någon av våra kompetenta mentorer. Det vore inte bra om frågorna hamnade utanför ozonlagret (som ju utgör den övre delen av stratosfären) eftersom vi på Nätkurserna då inte kan garantera att mentorernas svar inte tar skada av UV-strålningen på vägen till er mailbox.

'''13.1''' Sats 1 ger nödvändiga villkor för att funktionen ska kunna ha ett extermvärde i en punkt, Sats 2 ger ett tillräckligt villkor (kompakthet). Studera Fig. 13.1-13.5 och läs igenom Exempel 1-4. Här ser vi vad som händer i extrempunkter för olika andragradsytor. Läs Exempel 5-9 och Sats 3. Beviset till Sats 3 är baserat på egenskaper hos kvadratiska former, den intresserade hänvisas för detta till avsnitt 10.6. Observera kriterierna under ''Remark'' direkt efter Exempel 6.

Gör följande övningsuppgifter:

* 13.1: 1 3 5 7 9 19 23 27.

Om du har lust och tid över kan du även göra följande övningsuppgifter som är snäppet svårare:

* 13.1: 16 17 18 29 31.