Dag 4

Flervariabelanalys

KEDJEREGELN. JACOBIMATRISER

Som du säkert minns från envariabelanalysen är kedjeregeln en regel som för funktioner av en variabel ger oss derivatan av en sammansatt funktion: $\frac{d}{dt}f(g(t))=f'(g(t))\cdot g'(t)$. Utan att kanske ha tänkt på det så har du ju faktiskt nyss använt dig av denna regel när du partialderiverat, ett exempel är $\frac{\partial}{\partial s}\sin(s^2t)=\cos(s^2 t)\cdot 2st$.

När det gäller derivering av sammansatta funktioner i flervariabelfallet blir saker och ting mycket mer komplicerade, och vi kan inte (ve och fasa!) som i envariabelfallet lära oss någon enkel regel utantill som täcker alla fall, utan vi måste utarbeta en procedur för differentiering av sådana funktioner. Observera att existensen av de partiella derivatorna i en punkt hos en flervariabelfunktion inte på något sätt innebär att funktionen är kontinuerlig i denna punkt. Detta ska jämföras med envariabelfallet där deriverbarhet alltid medför kontinuitet.

12.5 Kedjeregeln. Detta avsnitt inleds med ett par konkreta exempel som illustrerar hur motsvarigheten till kedjeregeln i en variabel ser ut för några ganska enkla funktioner. Läs igenom Exempel 1-7. Hoppa över Eulers sats (Sats 2). Läs igenom Exempel 8-9 om högre ordningens partiella derivator.

12.6 Läs Exempel 1 om linjär approximation (högre ordningens approximationer fås från Taylors formel i avsnitt 12.9). Idén med differentierbarhet (se Def. 5 för en funktion av två variabler) är att det ska finnas ett tangentplan - Sats 4 ger enkla villkor för detta. Läs igenom Exempel 2 , differentierbarhet och Jacobis matris.