Dag 6

Flervariabelanalys

IMPLICITA FUNKTIONER OCH TAYLORS FORMEL

Om $F(x,y)=xy=1$ vet vi att $y=1/x$ och vi kan rita upp en fin graf. Ända sedan Vikingatiden har man dock irriterats över det faktum att det i vissa fall inte går att lösa ut $y$ som en funktion av $x$, dvs vi kan inte explicit ange $y$ som en funktion av $x$. Betrakta till exempel den till synes horribla ekvationen (nivåkurvan) $F(x,y)=y^5+xy-4=0$. Men notera att exempelvis $F(3,1)=0,$ varför $(3,1)$ ligger på nivåkurvan, och att gradienten ges av $\nabla F(3,1)=(1,8)$. Eftersom gradienten är normal till nivåkurvan (långt mer normal än en medelmåttig matematiker) så kan vi skissera nivåkurvans ungefärliga utseende i en omgivning av punkten $(3,1)$ och därmed övervinna det tillfälliga tungsinne som överväldigade oss vid en första titt på ekvationen ovan. Vi säger att ekvationen $F(x,y)=y^5+xy-4=0$ implicit definierar en funktion $y=f(x)$ i en omgivning av punkten $(3,1)$. Men detta är inte fallet i varje punkt på nivåkurvan! Se Figur 12.29 i avsnitt 12.8. Det finns ett villkor som måste vara uppfyllt för att $F(x,y)=0$ implicit ska definiera en (deriverbar!) funktion $y=f(x)$ i en omgivning av punkten $(a,b)$ - nämligen att $F_y'(a,b)\neq 0$. Detta kallas den implicita funktionssatsen och den dyrkas högaktningsfullt av många matematiker.

12.8 I detta avsnitt lär du dig att derivera en implicit funktion. Här ingår texten fram till och med Exempel 1 (och studera Figur 12.29) samt Definition 8 (Jacobi-determinanten).

12.9 Liksom i envariabelfallet kan man i flervariabelfallet hitta ett Taylorpolynom (i flera variabler då) som approximerar en given funktion i närheten av viss punkt. Vi är här mest intresserade av Taylors formel av ordning två i två variabler. Geometriskt betyder det att vi approximerar funktionsytan med dess tangentplan i punkten. Detta pga det sk andraderivatatestet som används vid karakterisering av kritiska punkter i avsnitt 13.1 som kommer snart.