Dag 7

Flervariabelanalys

EXTREMVÄRDEN

Idag ska vi tillämpa vår kunskap om partiell derivering för att lösa intressanta sk max/min-problem. Många praktiska problem som handlar om opimering kan formuleras matematiskt, och vanligtvis handlar det om att finna största eller minsta värdet av en reellvärd funktion definierad i någon delmängd av $\mathbb{R}^n$. Minns att varje reellvärd kontinuerlig funktion definierad på ett kompakt område har ett största och minsta värde - och därmed är existensen av en optimal lösning garanterad om vår funktion är definierad på en kompakt (dvs sluten och begränsad) mängd. Inför dagens utmaning bör du känna till vissa begrepp från avsnitt 10.1 (som tex randpunkt, inte punkt, yttre punkt). När det gäller extremvärdesproblem är situationen i flervariabelfallet mer komplicerad än i envariabelfallet, eftersom man måste beräkna fler derivator, och analysen av en funktion på randen blir naturligtvis lite mer omfattande. Idag kommer vi huvudsakligen att ägna oss åt att finna och klassificera sk kritiska punkter.

Om funderingarna blir för många och din hög med obesvarade frågor börjar växa sig stadig ända upp till stratosfären eller ännu högre atmosfäriska lager, glöm inte att du då kan maila eller ringa någon av våra kompetenta mentorer. Det vore inte bra om frågorna hamnade utanför ozonlagret (som ju utgör den övre delen av stratosfären) eftersom vi på Nätkurserna då inte kan garantera att mentorernas svar inte tar skada av UV-strålningen på vägen till er mailbox.

13.1 Sats 1 ger nödvändiga villkor för att funktionen ska kunna ha ett extermvärde i en punkt, Sats 2 ger ett tillräckligt villkor (kompakthet). Studera Fig. 13.1-13.5 och läs igenom Exempel 1-4. Här ser vi vad som händer i extrempunkter för olika andragradsytor. Läs Exempel 5-9 och Sats 3. Beviset till Sats 3 är baserat på egenskaper hos kvadratiska former, den intresserade hänvisas för detta till avsnitt 10.6. Observera kriterierna under Remark direkt efter Exempel 6.

Gör följande övningsuppgifter:

• 13.1: 1 3 5 7 9 19 23 27.

Om du har lust och tid över kan du även göra följande övningsuppgifter som är snäppet svårare:

• 13.1: 16 17 18 29 31.