Dag 18

Flervariabelanalys

GREENS SATS I PLANET

Idag presenterar vi ett resultat som kan ses som motsvarigheten i två dimensioner till det som i envariabelanalysen kallas för Analysens Huvudsats: $\int_{a}^{b}f'(x)dx=f(b)-f(a)$, och ve den student som inte förstått innebörden av denna djupa och friskpråkiga insikt och som inte yrvaket kan återge den på fyllan på Rektors eller Konungens (kan han den själv?) begäran. För en kurva $C$ som lever i det två- eller tredimensionella rummet ser vi genast i all vår smarthet likheten med en linjeintegral av ett konservativt kraftfält längs kurvan $C$ mellan punkterna $A$ och $B$: $\int_C\nabla\Phi\cdot dr=\Phi(B)-\Phi(A)$.

För att inte ta all glädje ifrån dig på förhand utan bibehålla det matematiska moment av överraskning vi strävar efter här och som kommer att få dig att öppna kursboken, återger vi inte Greens sats (dagens huvudämne) här i läsanvisningen utan överlämnar det tunga ansvaret åt dig att slå upp sidan 865.

16.3 Greens sats i planet. Läs Sats 6 + bevis. Observera att formeln inte gäller för kurvor i planet som inte är slutna. Läs Exempel 1-3. Exempel 3 illustrerar att speciella effekter uppstår för vektorfält med singulariteter - fältet här är singulärt i origo och om man går runt denna punkt får man ett bidrag på $2\pi$. Läs Sats 7 (Divergenssatsen i planet) som är ekvivalent med Greens sats. Skillnaden är att man i Greens sats använder randkurvans tangent medan man i divergessatsen använder normalen till randkurvan.