Dag 17

Flervariabelanalys

[redigera] LINJEINTEGRALER AV VEKTORFÄLT

Matematisk skolning är det enda som kan hålla inflationen nere och folkvettet uppe. Linjeintegraler är inkörsporten till en sund och linjär livsstil, och det visar sig idag att så länge man bara integrerar ett konservativt vektorfält kan man ändå i sann liberalistisk anda välja vilken väg man vill. Vilken annan vetenskap erbjuder denna frihetsgrad? Observera att vi ägnar dessa två avsnitt två dagar.

15.3 Linjeintegraler. Observera att värdet av en linjeintegral $\int_Cfds$ beror på $f$ och kurvan $C$ men inte på vilken parametrisering r(t) av $C$ man använder sig av. Notera också att om $f$ är ett skalärfält så beror värdet av linjeintegralen inte på $C$:s orientering, till skillnad från fallet då $f$ är ett vektorfält. Läs igenom hela detta avsnitt.

15.4 Linjeintegraler av vektorfält. Linjeintegralen $\int_CF\cdot dr$, där $F$ är ett vektorfält, beror av $C$:s orientering (vid motsatt orientering byter integralen tecken). Observera att olika parameterframställningar av $C$ kan ge upphov till motsatta orienteringar. Om $C$ är en sluten kurva kallas linjeintegralen ovan för cirkulationen av $F$ längs $C$ och man använder ibland beteckningen $\oint_CF\cdot dr$. Texten under rubriken "Connected and simply connected domains" är frivillig läsning, allt annat ingår. Sats 1 om oberoende av väg ("Independence of Path") är viktig - i allmänhet beror en linjeintegrals värde på integrationsvägens utseende och inte bara av vägens ändpunkter, men linjeintegralen av ett konservativt vektorfält är oberoende av integrationsvägen vilket innebär att man är fri att välja vilken integrationsväg man vill. Observera att detta påstående är ekvivalent med påståendet att linjeintegralen längs varje sluten kurva är noll. Varför är det så?

Gör följande övningsuppgifter:

• 15.3: 1 3 4 7 11.
• 15.4: 1 3 7 11 15 16 17.

Om du har lust och tid över kan du göra följande övningsuppgifter som är snäppet svårare:

• 15.3: 13 14 15 17.
• 15.4: 22 24.