Dag 22

Flervariabelanalys

DIVERGENSSATSEN I PLANET

Idag ska vi gradera, divergera och rotera. Detta är hjärnyoga på hög nivå och en av många vägar till en god hälsa och ett långt liv. Begreppen gradient, divergens och rotation (eng. curl) är viktiga. Gradienten av $f$ i en punkt är en vektor bestående av de partiella derivatorna till $f$ i punkten. Minns att gradienten $\nabla f(x_0)$ pekar i den riktning i vilken funktionen $f$ växer snabbast i punkten $x_0$. Divergensen av ett vektorfält $F$ är den formella skalärprodukten $\nabla\cdot F$ och är en skalär funktion. Om vektorfältet $F$ är en stationär (tidsoberoende) strömning så är divergensen av $F$ förknippad med produktionen av den strömmande substansen - tex kan ett positivt nettoflöde ut ur ett givet område kan bara vidmakthållas om det produceras materia i området - denna information gömmer sig i divergenssatsen (som är ekvivalent med Greens sats). Rotationen av ett vektorfält är den formella kryssprodukten $\nabla\times\F$ som är ett vektorfält. Rotationen av ett vektorfält i en punkt är virveltendensen av fältet i punkten. Rotationen kommer till användning imorgon när vi ska generalisera Greens sats till tre dimensioner.

• 16.1 Grad, div och rot. Läs igenom fram till och med Exempel 2. Notera att $\nabla\cdot F$ och $F\cdot\nabla$ inte är samma sak (se texten).

• 16.3 Divergenssatsen i planet. Du har läst igenom detta innan under Dag 19, men repetera sid 867 i detta avsnitt. Som nämnts tidigare så är divergenssatsen i planet ekvivalent med Greens sats. Skillnaden är att man i Greens sats använder randkurvans tangent medan man i divergessatsen använder normalen till randkurvan. Om $(T_1,T_2)$ är den positivt orienterade tangenten så är $(T_2,-T_1)$ den utåtriktade normalen.