Dag 23

Flervariabelanalys

DIVERGENSSATSEN I $\mathbb{R}^3$ (GAUSS' SATS)

Idag kommer vi att ägna oss åt flöden över en begränsningsyta av ett område i rummet. Divergenssatsen i $\mathbb{R}^3$ (Gauss' sats) är en av två viktiga versioner (den andra är Stokes sats, som inte ingår i denna kurs) av Analysens Huvudsats. Gauss' sats kan betraktas som en generalisering till tre dimensioner av den variant av Greens formel (nämligen divergenssatsen) i planet som kan skrivas: $\int\int_R div FdA=\oint_CF\cdot Nds$ (Sats 7 i avsnitt 16.3).

Den sats som intresserar oss idag lyder: $\int\int\int_D div FdV =\oint\oint_SF\cdot NdS$, där $D$ är ett tredimensionellt (kompakt) område i rummet och $S$ är dess (orienterade och slutna) yta med enhetsnormalvektor $N$ som pekar ut från ytan. Gauss' sats säger att flödet $F$ ut ur området $R$ begränsat av ytan $S$ är lika med volymintegralen av $div F$ över $D$. I satsen formulerad i dagens svsnitt 16.4 och det efterföljande beviset, kommer vi emellertid att begränsa oss till en speciell typ av områden i rummet som förenklar saker och ting lite för oss i beviset.

16.4 Divergenssatsen i $\mathbb{R}^3$. Läs detta avsnitt fram till och med Exempel 5.

Gör följande övningsuppgifter:

• 16.4:

Om du har tid och energiflöde över kan du öven göra följande uppgifter:

• 16.4:

Observera att det finns flera blandade uppgifter i repetitionssyfte för kap. 16 under rubriken "Chapter Review" sid. 896-898.