Dag 10

Flervariabelanalys

[redigera] DUBBELINTEGRALER OCH ITERATION

Idag inleder vi vårt studium av dubbelintegraler. Med iteration reduceras problemet att beräkna en dubbelintegral till problemet att successivt beräkna två enkelintegraler.

Som du vet är delad glädje dubbel glädje, medan en dubbelintegral innebär dubbel glädje, och därför blir en dubbelintegral uppdelad och beräknad genom iteration fyrdubbel glädje! Få är denna insikt förunnad, men du kommer att förstå det själv efter att du gjort övningarna till dagens avsnitt.

Du minns säkert med sentimental glädje hur du redan i envariabelanalysen kunde beräkna volymen av en sk rotationskropp. Idag kommer du att lära dig beräkna volymen av mer allmänna kroppar, närmare bestämt kroppar som ligger mellan xy-planet och någon funktionsyta $z=f(x,y)$. Naturligtvis finns det kroppar som inte kan beskrivas så fint, och tills vidare får ni beräkna en sådan kropps volym genom att likt Archimedes sänka ner den i ert badkar.

Platon, som var en känd matematiker/filosof under antiken, kallade alla kroppar som inte var konvexa regelbundna tredimensionella polyedrar (de fem sk platonska kropparna: tetraedern, hexaedern, oktaedern, dodekaedern och ikosaedern) för "irreguljära missfoster", men vi kanske inte ska använda ett så grovt språkbruk här för kroppar som inte passar våra syften.

• 14.1 Dubbelintegralen införs som gränsvärde av Riemannsummor ungefär som i en dimension. Syftet är att beräkna volymen under en (posistiv) funktion $f$ på $D$, där $f$ är höjden över den tvådimensionella plana ytan $D$ som utgör kroppens bottenyta. Läs igenom hela detta avsnitt.

• 14.2 Iteration. Genom upprepad integration får vi en metod för att beräkna dubbelintegraler (Sats 2). För att explicit kunna beräkna en dubbelintegral måste man hitta en primitiv funktion och det kan därför spela roll i vilken ordning man utför den upprepade integrationen. Var noga med att sätta rätt integrationsgränser. Läs igenom hela detta avsnitt.

Gör följande övningsuppgifter:

• 14.1: 1 3 5 7 13 15.
• 14.2: 1 3 5 7 9 11 13.

Om du har lust och tid över kan du även göra följande övningsuppgifter:

• 14.1: 17 19 21.
• 14.2: 19 21 23 25 27.