5.1 Relativitet - Versionshistorik

Louwah den 13 december 2017 kl. 10.42

2017-12-13T10:42:55Z

← Äldre version		Versionen från 13 december 2017 kl. 10.42
Rad 29:		Rad 29:

	</div>		</div>
-
-
-
-
-
-
-



	FÖRFATTARE: Göran Tranströmer och Lars-Erik Berg		FÖRFATTARE: Göran Tranströmer och Lars-Erik Berg
-
-
-
-

	=Teori=		=Teori=

Mj den 21 november 2017 kl. 16.29

2017-11-21T16:29:57Z

← Äldre version		Versionen från 21 november 2017 kl. 16.29
Rad 123:		Rad 123:
	z′=z		z′=z

-	<math>t′=\gamma \left(t− \frac{vx}{c^2} \right)</math>	+	<math>t′=\gamma \left(t\,− \, \frac{vx}{c^2} \right)</math>

	Där <math>\gamma</math> är Lorentzfaktorn eller gammafaktorn:		Där <math>\gamma</math> är Lorentzfaktorn eller gammafaktorn:

Mj den 21 november 2017 kl. 16.27

2017-11-21T16:27:59Z

← Äldre version		Versionen från 21 november 2017 kl. 16.27
Rad 196:		Rad 196:


		+	<div class="inforuta" style="width: 580px">

-		+	===Råd för inläsning===
-	==Råd för inläsning==	+

	===Tänk på att...===		===Tänk på att...===

-	En sådan enkel hypotes som att ljusets hastighet är konstant och den maximala hastigheten i vakuum leder till Lorentztransformationen - som förklarar tidsdilatation, relativistisk massa, relativistisk dopplereffekt etc.	+	:En sådan enkel hypotes som att ljusets hastighet är konstant och den maximala hastigheten i vakuum leder till Lorentztransformationen - som förklarar tidsdilatation, relativistisk massa, relativistisk dopplereffekt etc.


Rad 210:		Rad 210:


		+	:För dig som behöver en längre förklaring eller vill fördjupa dig ytterligare, vill vi tipsa om:

		+	:HEUREKA! Fysik 1, kapitel 12, Relativitet: sidorna 281-290, samt

		+	:Halliday and Resnick, Fundamentals of Physics, Wiley Benson, University physics, Wiley

-	~~För dig som behöver en längre förklaring eller vill fördjupa dig ytterligare, vill vi tipsa om~~:	+	:Läs mer om [http://sv.wikipedia.org/wiki/Allm%C3%A4n_relativitetsteori \| relativitetsteorin] på svenska Wikipedia.
-		+
-	~~HEUREKA! Fysik 1, kapitel 12, Relativitet: sidorna 281-290, samt~~	+
-		+
-	~~Halliday and Resnick, Fundamentals of Physics, Wiley Benson, University physics, Wiley~~	+
-		+
-	Läs mer om [http://sv.wikipedia.org/wiki/Allm%C3%A4n_relativitetsteori \| relativitetsteorin] på svenska Wikipedia.	+



-	Länktips	+	====Länktips====
-		+
-		+
-		+


-	[http://www.phys.unsw.edu.au/einsteinlight/ Experimentera och lär mer om Einsteins relativitetsteori, multimedia från Univeristy of New South Wales, Sydney Australia]	+	:[http://www.phys.unsw.edu.au/einsteinlight/ Experimentera och lär mer om Einsteins relativitetsteori, multimedia från Univeristy of New South Wales, Sydney Australia]

-	[http://www.pbs.org/wgbh/nova/einstein/ Läs, lyssna och titta på multimedia om Einsteins relativitetsteori från NOVA "Einstein's Big Idea"]	+	:[http://www.pbs.org/wgbh/nova/einstein/ Läs, lyssna och titta på multimedia om Einsteins relativitetsteori från NOVA "Einstein's Big Idea"]

		+	</div>

	(c) Copyright 2017, KTH Matematik		(c) Copyright 2017, KTH Matematik

Mj den 21 november 2017 kl. 16.25

2017-11-21T16:25:22Z

← Äldre version		Versionen från 21 november 2017 kl. 16.25
Rad 67:		Rad 67:
	Låt oss fundera på ett exempel med en tågvagn i konstant rörelse. Anta att tåget (inertialsystemet S′) rör sig med hastigheten v i förhållande till Per som står utanför tåget och tycker att han står stilla i sitt system S och ser tåget åka förbi. Säg då att Emma, som befinner sig på tåget, börjar gå genom tåget med konstant hastighet w i tågets färdriktning (se bild nedan). Vilken hastighet tycker då Per att Emma rör sig med? Visst borde väl Per tycka att Emma rör sig med hastigheten u=w+v?		Låt oss fundera på ett exempel med en tågvagn i konstant rörelse. Anta att tåget (inertialsystemet S′) rör sig med hastigheten v i förhållande till Per som står utanför tåget och tycker att han står stilla i sitt system S och ser tåget åka förbi. Säg då att Emma, som befinner sig på tåget, börjar gå genom tåget med konstant hastighet w i tågets färdriktning (se bild nedan). Vilken hastighet tycker då Per att Emma rör sig med? Visst borde väl Per tycka att Emma rör sig med hastigheten u=w+v?

-	/illustration/

	[[Bild:kap5.1-trainwalk.gif]]		[[Bild:kap5.1-trainwalk.gif]]
Rad 74:		Rad 73:
	Men säg att Emma inte går genom tåget utan istället lyser med en ficklampa i tågets färdriktning (se bild nedan). Om vi gör som nyss och adderar hastigheten från tåget och hastigheten på ljuset från ficklampan så borde ju Per mäta hastigheten på ljuset till u=c+v. Alltså en högre hastighet än c! Det stämmer ju inte med andra postulatet.		Men säg att Emma inte går genom tåget utan istället lyser med en ficklampa i tågets färdriktning (se bild nedan). Om vi gör som nyss och adderar hastigheten från tåget och hastigheten på ljuset från ficklampan så borde ju Per mäta hastigheten på ljuset till u=c+v. Alltså en högre hastighet än c! Det stämmer ju inte med andra postulatet.

-	/illustration/

	[[Bild:kap5.1-trainflashlight.gif]]		[[Bild:kap5.1-trainflashlight.gif]]
Rad 95:		Rad 93:
	Utgår man från relativitetsteorin blir även begreppet samtidighet relativt. Betrakta återigen exemplet med tåget som rör sig med konstant hastighet i förhållande till banvallen. Anta att vi ställer en blinkande lampa mitt i vagnen (se figur nedan). Emma som befinner sig i vagnen tycker förstås att ljuset kommer träffa vagnens ändar samtidigt eftersom ljuset har lika långt att färdas till båda sidorna. Men Per som står utanför vagnen tycker att ljuset träffar den bakre änden av vagnen först och den främre änden senare. Men även Per tycker att ljuset rör sig lika fort i båda riktningarna, det är bara det att tåget hinner flytta sig under tiden som ljuset utbreder sig, så att ljuset når bakre änden innan det når den främre. Samtidighet är alltså ett relativt begrepp!		Utgår man från relativitetsteorin blir även begreppet samtidighet relativt. Betrakta återigen exemplet med tåget som rör sig med konstant hastighet i förhållande till banvallen. Anta att vi ställer en blinkande lampa mitt i vagnen (se figur nedan). Emma som befinner sig i vagnen tycker förstås att ljuset kommer träffa vagnens ändar samtidigt eftersom ljuset har lika långt att färdas till båda sidorna. Men Per som står utanför vagnen tycker att ljuset träffar den bakre änden av vagnen först och den främre änden senare. Men även Per tycker att ljuset rör sig lika fort i båda riktningarna, det är bara det att tåget hinner flytta sig under tiden som ljuset utbreder sig, så att ljuset når bakre änden innan det når den främre. Samtidighet är alltså ett relativt begrepp!

-	/illustration/

	[[Bild:kap5.1-trainlamp.gif]]		[[Bild:kap5.1-trainlamp.gif]]
Rad 105:		Rad 102:
	Vi har koordinatsystemen S och S′, där S′ rör sig med den konstanta hastigheten v åt höger relativt S som bilden nedan illustrerar. Vi antar att rörelsen sker rätlinjigt längs x- respektive x′-axeln. Anta också att t=0 då koordinatsystemens origon sammanfaller.		Vi har koordinatsystemen S och S′, där S′ rör sig med den konstanta hastigheten v åt höger relativt S som bilden nedan illustrerar. Vi antar att rörelsen sker rätlinjigt längs x- respektive x′-axeln. Anta också att t=0 då koordinatsystemens origon sammanfaller.

-	/illustration/

	[[Bild:kap5.1-koordinatsystem1.gif]]		[[Bild:kap5.1-koordinatsystem1.gif]]
Rad 152:		Rad 148:

	Vad händer nu om vi jämför klockor i systemet S och S′? För att kunna mäta tiden på ett rättvist sätt skulle vi kunna använda oss av ljus, eftersom det färdas med samma hastighet sett från båda systemens perspektiv. Vi skulle till exempel kunna tänka oss att vi har en lampa i tågets tak som är riktad mot golvet där det ligger en spegel. Lampan befinner sig på höjden h över spegeln. Då lampan tänds tycker Emma förstås att ljuset från lampan går rakt ner mot golvet och tillbaka igen eftersom hon befinner sig i tågets vilosystem. Ljuset färdas alltså sträckan 2h med hastigheten c. Det innebär att tiden för hela reflektionen är Δt0=2h/c. Per som tycker att tåget rör sig med farten v kommer tycka att strålen träffar spegeln lite längre mot tågets färdriktning för att åter träffa lampan ytterligare längre åt tågets färdriktning. Detta illustreras i bilden nedan.		Vad händer nu om vi jämför klockor i systemet S och S′? För att kunna mäta tiden på ett rättvist sätt skulle vi kunna använda oss av ljus, eftersom det färdas med samma hastighet sett från båda systemens perspektiv. Vi skulle till exempel kunna tänka oss att vi har en lampa i tågets tak som är riktad mot golvet där det ligger en spegel. Lampan befinner sig på höjden h över spegeln. Då lampan tänds tycker Emma förstås att ljuset från lampan går rakt ner mot golvet och tillbaka igen eftersom hon befinner sig i tågets vilosystem. Ljuset färdas alltså sträckan 2h med hastigheten c. Det innebär att tiden för hela reflektionen är Δt0=2h/c. Per som tycker att tåget rör sig med farten v kommer tycka att strålen träffar spegeln lite längre mot tågets färdriktning för att åter träffa lampan ytterligare längre åt tågets färdriktning. Detta illustreras i bilden nedan.
-
-	/illustration/

	[[Bild:kap5.1-trainrefl3.gif]]		[[Bild:kap5.1-trainrefl3.gif]]

Mj den 21 november 2017 kl. 16.24

2017-11-21T16:24:18Z

← Äldre version		Versionen från 21 november 2017 kl. 16.24
Rad 127:		Rad 127:
	z′=z		z′=z

-	<math>t′=\gamma \left(t−\frac{vx}{c^2} \right)</math>	+	<math>t′=\gamma \left(t− \frac{vx}{c^2} \right)</math>

	Där <math>\gamma</math> är Lorentzfaktorn eller gammafaktorn:		Där <math>\gamma</math> är Lorentzfaktorn eller gammafaktorn:
Rad 142:		Rad 142:
	Anta att Emma som befinner sig på tåget mäter längden på tåget till L0. Denna längd kallar vi vilolängden, eftersom tåget befinner sig i vila i förhållande till sig själv (inertialsystemet S′). Per som står på banvallen i systemet S upplever dock att S′ rör sig med farten v och tycker istället att tågets längd är		Anta att Emma som befinner sig på tåget mäter längden på tåget till L0. Denna längd kallar vi vilolängden, eftersom tåget befinner sig i vila i förhållande till sig själv (inertialsystemet S′). Per som står på banvallen i systemet S upplever dock att S′ rör sig med farten v och tycker istället att tågets längd är

-	<math>L = \frac{L_0}{\gamma} = L_0\,\sqrt{1-frac{v^2}{c^2}}</math>.	+	<math>L = \frac{L_0}{\gamma} = L_0\,\sqrt{1- \frac{v^2}{c^2}}</math>.


Rad 172:		Rad 172:
	Detta sätts in i sambandet		Detta sätts in i sambandet

-	<math>\frac{1}{4}c^2 \Delta t^2 = \frac{1}{4} v^2 \Delta t^2 + \frac{1}{4}(c \, \Delta t_0)^2 </math>	+	<math>\frac{1}{4}c^2 \Delta t^2 = \frac{1}{4}\, v^2 \Delta t^2 + \frac{1}{4}\, \left(c \, \Delta t_0 \right)^2 </math>

	Löser vi ut <math>\Delta t</math> får vi formeln för tidsdilatation		Löser vi ut <math>\Delta t</math> får vi formeln för tidsdilatation

Mj den 21 november 2017 kl. 16.19

2017-11-21T16:19:49Z

← Äldre version		Versionen från 21 november 2017 kl. 16.19
Rad 68:		Rad 68:

	/illustration/		/illustration/
		+
		+	[[Bild:kap5.1-trainwalk.gif]]
		+

	Men säg att Emma inte går genom tåget utan istället lyser med en ficklampa i tågets färdriktning (se bild nedan). Om vi gör som nyss och adderar hastigheten från tåget och hastigheten på ljuset från ficklampan så borde ju Per mäta hastigheten på ljuset till u=c+v. Alltså en högre hastighet än c! Det stämmer ju inte med andra postulatet.		Men säg att Emma inte går genom tåget utan istället lyser med en ficklampa i tågets färdriktning (se bild nedan). Om vi gör som nyss och adderar hastigheten från tåget och hastigheten på ljuset från ficklampan så borde ju Per mäta hastigheten på ljuset till u=c+v. Alltså en högre hastighet än c! Det stämmer ju inte med andra postulatet.

	/illustration/		/illustration/
		+
		+	[[Bild:kap5.1-trainflashlight.gif]]

	Einstein visade att de två postulaten faktiskt inte är motsägelser, det är bara additionsformeln för hastigheter (u=w+v) som inte stämmer! Om man istället håller fast vid båda postulaten kan man härleda den så kallade Lorentztransformationen. Men kom dock ihåg att i de flesta fall kan vi ändå använda den vanliga additionsformeln för hastigheter. Det är bara då vi räknar med hastigheter nära ljusets hastighet som vi märker någon skillnad. En bra tumregel är att hastigheter som är högre än 0,1c ska behandlas relativistiskt.		Einstein visade att de två postulaten faktiskt inte är motsägelser, det är bara additionsformeln för hastigheter (u=w+v) som inte stämmer! Om man istället håller fast vid båda postulaten kan man härleda den så kallade Lorentztransformationen. Men kom dock ihåg att i de flesta fall kan vi ändå använda den vanliga additionsformeln för hastigheter. Det är bara då vi räknar med hastigheter nära ljusets hastighet som vi märker någon skillnad. En bra tumregel är att hastigheter som är högre än 0,1c ska behandlas relativistiskt.
Rad 91:		Rad 96:

	/illustration/		/illustration/
		+
		+	[[Bild:kap5.1-trainlamp.gif]]

	==Lorentztransformationen==		==Lorentztransformationen==
Rad 99:		Rad 106:

	/illustration/		/illustration/
		+
		+	[[Bild:kap5.1-koordinatsystem1.gif]]

	Intuitivt verkar det kanske som att vi kan relatera koordinaterna i de olika systemen till varandra såhär:		Intuitivt verkar det kanske som att vi kan relatera koordinaterna i de olika systemen till varandra såhär:
Rad 112:		Rad 121:
	Denna koordinattransformation kallas för Galileitransformationen. Men på samma sätt som det intuitiva sättet att addera hastigheter är felaktigt så är Galileitransformationen felaktig. Einstein (tillsammans med Lorentz) kom istället fram till den så kallade Lorentztransformationen:		Denna koordinattransformation kallas för Galileitransformationen. Men på samma sätt som det intuitiva sättet att addera hastigheter är felaktigt så är Galileitransformationen felaktig. Einstein (tillsammans med Lorentz) kom istället fram till den så kallade Lorentztransformationen:

-	x′=γ(x−vt)	+	<math>x′=\gamma(x−vt)</math>

	y′=y		y′=y
Rad 120:		Rad 129:
	<math>t′=\gamma \left(t−\frac{vx}{c^2} \right)</math>		<math>t′=\gamma \left(t−\frac{vx}{c^2} \right)</math>

-	Där γ är Lorentzfaktorn eller gammafaktorn:	+	Där <math>\gamma</math> är Lorentzfaktorn eller gammafaktorn:

	<math>\gamma = \frac{1}{ \sqrt{1-v^2/c^2} }</math>		<math>\gamma = \frac{1}{ \sqrt{1-v^2/c^2} }</math>
Rad 145:		Rad 154:

	/illustration/		/illustration/
		+
		+	[[Bild:kap5.1-trainrefl3.gif]]
		+

	Ljusets hastighet är förstås fortfarande c så tiden det tar för ljuset att reflekteras tillbaka till lampan kommer därför att vara längre sett från S eftersom sträckan ljuset färdas nu är 2s istället. Per tycker alltså att tiden det tar för ljuset att reflekteras är Δt=2s/c.		Ljusets hastighet är förstås fortfarande c så tiden det tar för ljuset att reflekteras tillbaka till lampan kommer därför att vara längre sett från S eftersom sträckan ljuset färdas nu är 2s istället. Per tycker alltså att tiden det tar för ljuset att reflekteras är Δt=2s/c.
Rad 154:		Rad 166:
	Vi har att		Vi har att

-	/~~HIT FIXAT~~/	+	<math>\Delta t_0 = 2h/c \Rightarrow h = \frac{1}{2} c\,\Delta t_0</math>

-	~~Δt0~~=2h/~~c⇒h~~=~~12cΔt0~~	+	<math>\Delta t = 2 s/c \Rightarrow h = \frac{1}{2} \sqrt{c^2-v^2}\,\Delta t</math>
-		+
-	~~Δt=2s~~/~~c⇒h=12c2−v2−−−−−−√Δt~~	+

	Detta sätts in i sambandet		Detta sätts in i sambandet

-	~~14c2Δt2~~=~~14v2Δt2~~+14(~~cΔt0~~)2	+	<math>\frac{1}{4}c^2 \Delta t^2 = \frac{1}{4} v^2 \Delta t^2 + \frac{1}{4}(c \, \Delta t_0)^2 </math>
-	Löser vi ut Δt får vi formeln för tidsdilatation	+
		+	Löser vi ut <math>\Delta t</math> får vi formeln för tidsdilatation
		+
		+	<math>\Delta t = \frac{\Delta t_0}{\sqrt{1-v^2/c^2}} = \gamma \Delta t_0</math>.

-	Δt=Δt01−v2/c2−−−−−−−√=γΔt0.
	Man har mätt tidsdilatationen genom att jämföra en atomklocka som är kvar på jorden med en som åker runt jorden i ett flygplan. Mätresultaten stämmer helt överens med vad relativitetsteorin förutsäger.		Man har mätt tidsdilatationen genom att jämföra en atomklocka som är kvar på jorden med en som åker runt jorden i ett flygplan. Mätresultaten stämmer helt överens med vad relativitetsteorin förutsäger.

-	Relativistisk Dopplereffekt	+	==Relativistisk Dopplereffekt==

-	Om en källa som passerar en observatör skickar ut en signal med en viss frekvens så kommer den uppmätta frekvensen hos observatören att ändras, detta fenomen kallas Dopplereffekten. Ett vardagligt exempel är en passerande polisbil med påslagen siren. När polisbilen närmar sig höjs frekvensen vilket gör att sirenen låter ljusare och tvärtom när den passerat och rör sig bortåt. Mer läsning om Dopplereffekten finns på Wikipedia.	+	-------

-	Ett ~~annat~~ exempel ~~på Dopplereffekten~~ är ~~de frekvensförändringar som är orsakade av stjärnornas rörelse relativt jorden~~. ~~Denna effekt~~ gör ~~det möjligt för astronomer~~ att ~~mäta deras hastighet relativt jorden. Dopplereffekten kallas ofta i det här fallet för rödförskjutningen~~ och ~~syftar på att stjärnor~~ och ~~galaxer avlägsnar~~ sig ~~från oss med hög hastighet v~~. Detta orsakar en frekvensminskning i det ljus vi mottar här på jorden och lägre frekvens innebär ju rödare ljus, därav namnet rödförskjutning. Då fenomenet involverar mycket höga hastigheter krävs relativistiska beräkningar! Den frekvensförändring som Dopplereffekten ~~ger upphov till beskrivs då av formeln~~:	+	Om en källa som passerar en observatör skickar ut en signal med en viss frekvens så kommer den uppmätta frekvensen hos observatören att ändras, detta fenomen kallas Dopplereffekten. Ett vardagligt exempel är en passerande polisbil med påslagen siren. När polisbilen närmar sig höjs frekvensen vilket gör att sirenen låter ljusare och tvärtom när den passerat och rör sig bortåt. Mer läsning om Dopplereffekten finns på [http://sv.wikipedia.org/wiki/Dopplereffekt Wikipedia].

-	~~f=f01−v/c1+v/c−−−−−−−√~~	+	Ett annat exempel på Dopplereffekten är de frekvensförändringar som är orsakade av stjärnornas rörelse relativt jorden. Denna effekt gör det möjligt för astronomer att mäta deras hastighet relativt jorden. Dopplereffekten kallas ofta i det här fallet för '''rödförskjutningen''' och syftar på att stjärnor och galaxer avlägsnar sig från oss med hög hastighet v. Detta orsakar en frekvensminskning i det ljus vi mottar här på jorden och lägre frekvens innebär ju rödare ljus, därav namnet '''rödförskjutning'''. Då fenomenet involverar mycket höga hastigheter krävs relativistiska beräkningar! Den frekvensförändring som Dopplereffekten ger upphov till beskrivs då av formeln:
-	~~där f~~ är ~~den frekvens~~ som ~~uppfattas~~ av ~~observatören, f0 frekvensen hos sändaren~~ och ~~v hastigheten med vilken sändaren rör~~ sig.	+

-	Hubbles observationer	+	<math>f = f_0 \sqrt{\frac{1-v/c}{1+v/c}}</math>
		+
		+
		+	där <math>f</math> är den frekvens som uppfattas av observatören, <math>f_0</math> frekvensen hos sändaren och <math>v</math> hastigheten med vilken sändaren rör sig.
		+
		+	==Hubbles observationer==
		+
		+	-----------

	Astronomen Edwin Hubble visade i slutet på 1920-talet att det var Dopplereffekten som var orsaken till att avlägsna stjärnor avgav rödare ljus.		Astronomen Edwin Hubble visade i slutet på 1920-talet att det var Dopplereffekten som var orsaken till att avlägsna stjärnor avgav rödare ljus.

-	På så sätt drogs också slutsatsen att stjärnorna rör sig bort från oss. Denna slutsats har lett till teorier om universums expansion och att tätheten av materia därför minskar med tiden. Det är då naturligt att räkna bakåt i tiden. Går man 13,7 miljarder år tillbaka når man ett startillstånd med mycket hög materiatäthet och temperatur som kallas Big Bang.	+	På så sätt drogs också slutsatsen att stjärnorna rör sig bort från oss. Denna slutsats har lett till teorier om universums expansion och att tätheten av materia därför minskar med tiden. Det är då naturligt att räkna bakåt i tiden. Går man 13,7 miljarder år tillbaka når man ett startillstånd med mycket hög materiatäthet och temperatur som kallas '''Big Bang'''.




-	Råd för inläsning	+	==Råd för inläsning==

-	Tänk på att...	+	===Tänk på att...===

	En sådan enkel hypotes som att ljusets hastighet är konstant och den maximala hastigheten i vakuum leder till Lorentztransformationen - som förklarar tidsdilatation, relativistisk massa, relativistisk dopplereffekt etc.		En sådan enkel hypotes som att ljusets hastighet är konstant och den maximala hastigheten i vakuum leder till Lorentztransformationen - som förklarar tidsdilatation, relativistisk massa, relativistisk dopplereffekt etc.
Rad 194:		Rad 212:


-	Lästips	+	===Lästips===


Rad 207:		Rad 225:
	Halliday and Resnick, Fundamentals of Physics, Wiley Benson, University physics, Wiley		Halliday and Resnick, Fundamentals of Physics, Wiley Benson, University physics, Wiley

-	Läs mer om relativitetsteorin på svenska Wikipedia.	+	Läs mer om [http://sv.wikipedia.org/wiki/Allm%C3%A4n_relativitetsteori \| relativitetsteorin] på svenska Wikipedia.


Rad 217:		Rad 235:


		+	[http://www.phys.unsw.edu.au/einsteinlight/ Experimentera och lär mer om Einsteins relativitetsteori, multimedia från Univeristy of New South Wales, Sydney Australia]
		+
		+	[http://www.pbs.org/wgbh/nova/einstein/ Läs, lyssna och titta på multimedia om Einsteins relativitetsteori från NOVA "Einstein's Big Idea"]

-	Experimentera och lär mer om Einsteins relativitetsteori, multimedia från Univeristy of New South Wales, Sydney Australia

-	~~Läs~~, ~~lyssna och titta på multimedia om Einsteins relativitetsteori från NOVA "Einstein's Big Idea"~~	+	(c) Copyright 2017, KTH Matematik

Mj den 21 november 2017 kl. 15.41

2017-11-21T15:41:10Z

← Äldre version		Versionen från 21 november 2017 kl. 15.41
Rad 1:		Rad 1:
-	~~FÖRFATTARE: Göran Tranströmer och Lars-Erik Berg~~	+	__NOTOC__

		+	{\|border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
		+	\| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" \|
		+	{{Mall:Vald flik\|[[5.1_Relativitet\|Teori]]}}
		+	{{Mall:Ej vald flik\|[[5.1_Övningar\|Övningar]]}}
		+	\| style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"\|
		+	\|}
		+	<div class="inforuta" style="width: 580px">
		+	==Mål och innehåll==
		+	====Innehåll====
		+	:* Inledning
		+	:* Einsteins två postulat
		+	:* Michelson-Morleys experiment
		+	:* Samtidighet
		+	:* Lorentztransformationen
		+	:* Längdkontraktion
		+	:* Tidsdilatation
		+	:* Relativistisk Dopplereffekt
		+	:* Hubbles observationer
		+	====Läromål====
		+	Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att:

		+	:* Förklara vad Einsteins postulat leder till
		+	:* Redogöra för eterbegreppet och ljusets hastighet i vakuum
		+	:* Skilja mellan Galileitransformation och Lorentztransformation
		+	:* Räkna på längdkontraktion och tidsdilatation
		+	:* Räkna på relativistisk Dopplereffekt

		+	</div>

-	=Mål och innehåll=

-	-------

-	==Innehåll==

-	* Inledning
-	* Einsteins två postulat
-	* Michelson-Morleys experiment
-	* Samtidighet
-	* Lorentztransformationen
-	* Längdkontraktion
-	* Tidsdilatation
-	* Relativistisk Dopplereffekt
-	* Hubbles observationer

-	==Läromål==

-	Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att:

-	* Förklara vad Einsteins postulat leder till	+
-	* Redogöra för eterbegreppet och ljusets hastighet i vakuum	+
-	* Skilja mellan Galileitransformation och ~~Lorentztransformation~~	+
-	* Räkna på längdkontraktion och tidsdilatation	+	FÖRFATTARE: Göran Tranströmer och Lars-Erik Berg
-	* Räkna på relativistisk Dopplereffekt	+
		+

Mj den 21 november 2017 kl. 15.30

2017-11-21T15:30:37Z

← Äldre version		Versionen från 21 november 2017 kl. 15.30
Rad 1:		Rad 1:
-
	FÖRFATTARE: Göran Tranströmer och Lars-Erik Berg		FÖRFATTARE: Göran Tranströmer och Lars-Erik Berg

Rad 91:		Rad 90:

	x′=x−vt		x′=x−vt
		+
	y′=y		y′=y
		+
	z′=z		z′=z
		+
	t′=t		t′=t

Rad 98:		Rad 100:

	x′=γ(x−vt)		x′=γ(x−vt)
		+
	y′=y		y′=y
		+
	z′=z		z′=z
		+
	<math>t′=\gamma \left(t−\frac{vx}{c^2} \right)</math>		<math>t′=\gamma \left(t−\frac{vx}{c^2} \right)</math>

Mj: Ny sida: FÖRFATTARE: Göran Tranströmer och Lars-Erik Berg =Mål och innehåll= ------- ==Innehåll== * Inledning * Einsteins två postulat * Michelson-Morleys experiment * Samtidighet * L...

2017-11-21T15:29:53Z

Ny sida: FÖRFATTARE: Göran Tranströmer och Lars-Erik Berg =Mål och innehåll= ------- ==Innehåll== * Inledning * Einsteins två postulat * Michelson-Morleys experiment * Samtidighet * L...

Ny sida

FÖRFATTARE: Göran Tranströmer och Lars-Erik Berg

=Mål och innehåll=

-------

==Innehåll==

* Inledning
* Einsteins två postulat
* Michelson-Morleys experiment
* Samtidighet
* Lorentztransformationen
* Längdkontraktion
* Tidsdilatation
* Relativistisk Dopplereffekt
* Hubbles observationer

==Läromål==

Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att:

* Förklara vad Einsteins postulat leder till
* Redogöra för eterbegreppet och ljusets hastighet i vakuum
* Skilja mellan Galileitransformation och Lorentztransformation
* Räkna på längdkontraktion och tidsdilatation
* Räkna på relativistisk Dopplereffekt

=Teori=

=Inledning=

-----------

Innan Albert Einstein presenterade det som kom att kallas relativitetsteorin ansågs den Newtonska mekaniken fullt tillräcklig för att beskriva tid och rum. Det här avsnittet kommer ge en liten introduktion till den så kallade speciella relativitetsteorin som tvingar oss att ifrågasätta vår vardagliga kunskap om begrepp som längd, tid och massa. Idag är teorin experimentellt bevisad och är dessutom viktig för många tekniska tillämpningar. Bland annat används relativitetsteori för att göra korrekta beräkningar inom GPS-tekniken.
Innan du börjar läsa detta avsnitt är det bra om du läser avsnittet Koordinatsystem och inertialsystem. Användbara konstanter och enheter finns listade i avsnittet Konstanter och enheter.

=Einsteins två postulat=

-----------

Den speciella relativitetsteorin bygger på Einsteins två postulat:

* Alla naturlagar är desamma för observatörer som rör sig med konstant hastighet i förhållande till varandra.
* Ljuset rör sig med samma hastighet (c=299792458 m/s) i förhållande till alla observatörer oberoende av vilket inertialsystem de befinner sig i.

Det första postulatet innebär att det är omöjligt att bevisa att något inertialsystem verkligen är i rörelse eller verkligen i vila. Det finns alltså inget absolut vilosystem från vilket vi kan mäta all annan rörelse. Ingen rörelse är absolut, all rörelse är relativ. Men det kan vara bra att komma ihåg att då man räknar med relativitetsteorin så tänker man sig alltid att det system man observerar ifrån befinner sig i vila. Man ser det alltså alltid som att det andra systemet rör sig.

Låt oss fundera på ett exempel med en tågvagn i konstant rörelse. Anta att tåget (inertialsystemet S′) rör sig med hastigheten v i förhållande till Per som står utanför tåget och tycker att han står stilla i sitt system S och ser tåget åka förbi. Säg då att Emma, som befinner sig på tåget, börjar gå genom tåget med konstant hastighet w i tågets färdriktning (se bild nedan). Vilken hastighet tycker då Per att Emma rör sig med? Visst borde väl Per tycka att Emma rör sig med hastigheten u=w+v?

/illustration/

Men säg att Emma inte går genom tåget utan istället lyser med en ficklampa i tågets färdriktning (se bild nedan). Om vi gör som nyss och adderar hastigheten från tåget och hastigheten på ljuset från ficklampan så borde ju Per mäta hastigheten på ljuset till u=c+v. Alltså en högre hastighet än c! Det stämmer ju inte med andra postulatet.

/illustration/

Einstein visade att de två postulaten faktiskt inte är motsägelser, det är bara additionsformeln för hastigheter (u=w+v) som inte stämmer! Om man istället håller fast vid båda postulaten kan man härleda den så kallade Lorentztransformationen. Men kom dock ihåg att i de flesta fall kan vi ändå använda den vanliga additionsformeln för hastigheter. Det är bara då vi räknar med hastigheter nära ljusets hastighet som vi märker någon skillnad. En bra tumregel är att hastigheter som är högre än 0,1c ska behandlas relativistiskt.

==Michelson-Morleys experiment==

--------

Varför ska man då hålla fast vid det andra postulatet? Ett av de mest kända experimenten som har visat att ljusets hastighet alltid är konstant är Michelson-Morleys experiment som utfördes under senare delen av 1800-talet. Det gick ut på att med hjälp av fysikens lagar mäta jordens hastighet relativt den så kallade etern. Vid denna tid ansåg man att ljus inte kunde utbreda sig i tomma rymden. Man menade att det krävdes ett medium för detta på samma sätt som ljud kräver till exempel luft att utbreda sig i. Denna substans som man hoppades finna i experimentet kallade man för eter efter Aristoteles femte element. Man tänkte sig att denna eter fyllde hela universum.

Jorden rör sig i sin bana runt solen med en hastighet på cirka 30 km/s. Med hjälp av en speciell försöksanordning, en Michelsoninterferometer, jämförde man nu ljusets hastighet, mätt dels parallellt med och dels vinkelrätt mot jordens rörelseriktning runt solen. Försöket upprepades i olika punkter på jordbanan. Eftersom jorden inte kunde vara i vila relativt etern i alla dessa punkter, så borde man vid åtminstone några mättillfällen fått olika värden på ljushastigheten i de två mätriktningarna. Någon sådan skillnad kunde dock inte observeras. Inte nog med att eterhypotesen motbevisades, resultaten av detta försök tydde dessutom på att ljusets hastighet var densamma i alla riktningar, oberoende av observatörens eget rörelsetillstånd. Efter detta experiment har liknande mer förfinade försök utförts som alla säger samma sak: Ljusets hastighet i vakuum är alltid densamma, oberoende av hur ljuskällan eller observatören rör sig!

==Samtidighet==

------

Utgår man från relativitetsteorin blir även begreppet samtidighet relativt. Betrakta återigen exemplet med tåget som rör sig med konstant hastighet i förhållande till banvallen. Anta att vi ställer en blinkande lampa mitt i vagnen (se figur nedan). Emma som befinner sig i vagnen tycker förstås att ljuset kommer träffa vagnens ändar samtidigt eftersom ljuset har lika långt att färdas till båda sidorna. Men Per som står utanför vagnen tycker att ljuset träffar den bakre änden av vagnen först och den främre änden senare. Men även Per tycker att ljuset rör sig lika fort i båda riktningarna, det är bara det att tåget hinner flytta sig under tiden som ljuset utbreder sig, så att ljuset når bakre änden innan det når den främre. Samtidighet är alltså ett relativt begrepp!

/illustration/

==Lorentztransformationen==

-----------

Vi har koordinatsystemen S och S′, där S′ rör sig med den konstanta hastigheten v åt höger relativt S som bilden nedan illustrerar. Vi antar att rörelsen sker rätlinjigt längs x- respektive x′-axeln. Anta också att t=0 då koordinatsystemens origon sammanfaller.

/illustration/

Intuitivt verkar det kanske som att vi kan relatera koordinaterna i de olika systemen till varandra såhär:

x′=x−vt
y′=y
z′=z
t′=t

Denna koordinattransformation kallas för Galileitransformationen. Men på samma sätt som det intuitiva sättet att addera hastigheter är felaktigt så är Galileitransformationen felaktig. Einstein (tillsammans med Lorentz) kom istället fram till den så kallade Lorentztransformationen:

x′=γ(x−vt)
y′=y
z′=z
<math>t′=\gamma \left(t−\frac{vx}{c^2} \right)</math>

Där γ är Lorentzfaktorn eller gammafaktorn:

<math>\gamma = \frac{1}{ \sqrt{1-v^2/c^2} }</math>

Eftersom v aldrig kan vara större än ljushastigheten c så gäller alltid att γ≥1. För låga hastigheter är dock γ≈1, vilket gör att Lorentztransformationen sammanfaller med Galileitransformationen. Eftersom alla vardagliga hastigheter är relativt låga kan vi i vanliga fall använda vårt intuitiva sätt att transformera koordinater och addera hastigheter med mycket god noggrannhet.

==Längdkontraktion==

---------

Anta att Emma som befinner sig på tåget mäter längden på tåget till L0. Denna längd kallar vi vilolängden, eftersom tåget befinner sig i vila i förhållande till sig själv (inertialsystemet S′). Per som står på banvallen i systemet S upplever dock att S′ rör sig med farten v och tycker istället att tågets längd är

<math>L = \frac{L_0}{\gamma} = L_0\,\sqrt{1-frac{v^2}{c^2}}</math>.

Per mäter alltså upp en kortare längd på tåget än vad Emma gör. Notera att det inte är fråga om någon slags optisk synvilla, tåget är faktiskt kortare i S! Längdkontraktion sker dock bara för längder som är parallella med rörelseriktningen. Tågets höjd är alltså både Emma och Per överens om.

==Tidsdilatation==

----------

Vad händer nu om vi jämför klockor i systemet S och S′? För att kunna mäta tiden på ett rättvist sätt skulle vi kunna använda oss av ljus, eftersom det färdas med samma hastighet sett från båda systemens perspektiv. Vi skulle till exempel kunna tänka oss att vi har en lampa i tågets tak som är riktad mot golvet där det ligger en spegel. Lampan befinner sig på höjden h över spegeln. Då lampan tänds tycker Emma förstås att ljuset från lampan går rakt ner mot golvet och tillbaka igen eftersom hon befinner sig i tågets vilosystem. Ljuset färdas alltså sträckan 2h med hastigheten c. Det innebär att tiden för hela reflektionen är Δt0=2h/c. Per som tycker att tåget rör sig med farten v kommer tycka att strålen träffar spegeln lite längre mot tågets färdriktning för att åter träffa lampan ytterligare längre åt tågets färdriktning. Detta illustreras i bilden nedan.

/illustration/

Ljusets hastighet är förstås fortfarande c så tiden det tar för ljuset att reflekteras tillbaka till lampan kommer därför att vara längre sett från S eftersom sträckan ljuset färdas nu är 2s istället. Per tycker alltså att tiden det tar för ljuset att reflekteras är Δt=2s/c.

Från triangeln fås sambandet

<math>s^2 = \left(\frac{1}{2}v\Delta t\right)^2 + h^2</math>

Vi har att

/HIT FIXAT/

Δt0=2h/c⇒h=12cΔt0

Δt=2s/c⇒h=12c2−v2−−−−−−√Δt

Detta sätts in i sambandet

14c2Δt2=14v2Δt2+14(cΔt0)2
Löser vi ut Δt får vi formeln för tidsdilatation

Δt=Δt01−v2/c2−−−−−−−√=γΔt0.
Man har mätt tidsdilatationen genom att jämföra en atomklocka som är kvar på jorden med en som åker runt jorden i ett flygplan. Mätresultaten stämmer helt överens med vad relativitetsteorin förutsäger.

Relativistisk Dopplereffekt

Om en källa som passerar en observatör skickar ut en signal med en viss frekvens så kommer den uppmätta frekvensen hos observatören att ändras, detta fenomen kallas Dopplereffekten. Ett vardagligt exempel är en passerande polisbil med påslagen siren. När polisbilen närmar sig höjs frekvensen vilket gör att sirenen låter ljusare och tvärtom när den passerat och rör sig bortåt. Mer läsning om Dopplereffekten finns på Wikipedia.

Ett annat exempel på Dopplereffekten är de frekvensförändringar som är orsakade av stjärnornas rörelse relativt jorden. Denna effekt gör det möjligt för astronomer att mäta deras hastighet relativt jorden. Dopplereffekten kallas ofta i det här fallet för rödförskjutningen och syftar på att stjärnor och galaxer avlägsnar sig från oss med hög hastighet v. Detta orsakar en frekvensminskning i det ljus vi mottar här på jorden och lägre frekvens innebär ju rödare ljus, därav namnet rödförskjutning. Då fenomenet involverar mycket höga hastigheter krävs relativistiska beräkningar! Den frekvensförändring som Dopplereffekten ger upphov till beskrivs då av formeln:

f=f01−v/c1+v/c−−−−−−−√
där f är den frekvens som uppfattas av observatören, f0 frekvensen hos sändaren och v hastigheten med vilken sändaren rör sig.

Hubbles observationer

Astronomen Edwin Hubble visade i slutet på 1920-talet att det var Dopplereffekten som var orsaken till att avlägsna stjärnor avgav rödare ljus.

På så sätt drogs också slutsatsen att stjärnorna rör sig bort från oss. Denna slutsats har lett till teorier om universums expansion och att tätheten av materia därför minskar med tiden. Det är då naturligt att räkna bakåt i tiden. Går man 13,7 miljarder år tillbaka når man ett startillstånd med mycket hög materiatäthet och temperatur som kallas Big Bang.

Råd för inläsning

Tänk på att...

En sådan enkel hypotes som att ljusets hastighet är konstant och den maximala hastigheten i vakuum leder till Lorentztransformationen - som förklarar tidsdilatation, relativistisk massa, relativistisk dopplereffekt etc.

Lästips

För dig som behöver en längre förklaring eller vill fördjupa dig ytterligare, vill vi tipsa om:

HEUREKA! Fysik 1, kapitel 12, Relativitet: sidorna 281-290, samt

Halliday and Resnick, Fundamentals of Physics, Wiley Benson, University physics, Wiley

Läs mer om relativitetsteorin på svenska Wikipedia.

Länktips

Experimentera och lär mer om Einsteins relativitetsteori, multimedia från Univeristy of New South Wales, Sydney Australia

Läs, lyssna och titta på multimedia om Einsteins relativitetsteori från NOVA "Einstein's Big Idea"