5.2 Relativistiska storheter - Versionshistorik

Mj den 1 december 2017 kl. 15.37

Mj — Fri, 01 Dec 2017 15:37:52 GMT

← Äldre version		Versionen från 1 december 2017 kl. 15.37
Rad 95:		Rad 95:
	<math>E_k = \displaystyle \int F \,ds=\int \frac{d(\gamma mv)}{dt}\, \frac{ds}{dt} dt = \int mv \, d(\gamma v) \,.</math>		<math>E_k = \displaystyle \int F \,ds=\int \frac{d(\gamma mv)}{dt}\, \frac{ds}{dt} dt = \int mv \, d(\gamma v) \,.</math>

-	Att räkna ut denna integral kräver en del kunskap om integration som vi inte förutsätter, men en fullständig härledning för den intresserade finns på Wikipedia.	+	Att räkna ut denna integral kräver en del kunskap om integration som vi inte förutsätter, men en fullständig härledning för den intresserade finns på [http://en.wikipedia.org/wiki/Special_relativity#Kinetic_energy Wikipedia].
	Om man utför integrationen får man detta mycket viktiga resultat		Om man utför integrationen får man detta mycket viktiga resultat

Mj den 1 december 2017 kl. 15.29

Mj — Fri, 01 Dec 2017 15:29:57 GMT

← Äldre version		Versionen från 1 december 2017 kl. 15.29
Rad 1:		Rad 1:
	__NOTOC__		__NOTOC__
-
-	FÖRFATTARE: Göran Tranströmer och Lars-Erik Berg. EDITERARE: Johan Laine

	{\|border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"		{\|border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
Rad 27:		Rad 25:
	:* Definiera relativistiska energin och Einsteins relation		:* Definiera relativistiska energin och Einsteins relation
	:* Kunna räkna på enkla exempel med energi och rörelsemängd</div>		:* Kunna räkna på enkla exempel med energi och rörelsemängd</div>
		+
		+	FÖRFATTARE: Göran Tranströmer och Lars-Erik Berg. EDITERARE: Johan Laine

	=Relativistisk rörelsemängd=		=Relativistisk rörelsemängd=

Mj den 1 december 2017 kl. 15.29

Mj — Fri, 01 Dec 2017 15:29:25 GMT

← Äldre version		Versionen från 1 december 2017 kl. 15.29
Rad 1:		Rad 1:
	__NOTOC__		__NOTOC__
		+
		+	FÖRFATTARE: Göran Tranströmer och Lars-Erik Berg. EDITERARE: Johan Laine

	{\|border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"		{\|border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"

Mj den 1 december 2017 kl. 15.26

Mj — Fri, 01 Dec 2017 15:26:55 GMT

← Äldre version		Versionen från 1 december 2017 kl. 15.26
Rad 193:		Rad 193:
	där såväl avböjningens radie <math>r</math> som laddningen <math>q</math> och magnetfältet <math>B</math> kan mätas.		där såväl avböjningens radie <math>r</math> som laddningen <math>q</math> och magnetfältet <math>B</math> kan mätas.

-	=Råd för inläsning=	+	<div class="inforuta" style="width: 580px">
		+	===Råd för inläsning===

-	==Tänk på att...==	+	====Tänk på att...====

	Alla känner till gravitationen, men få, utom fysikerna, funderar över den. I dag förs en allt intensivare jakt på gravitonen, den okända partikel som kan förklara gravitationen och som tros resa genom universum som rester av exploderade supernovor.		Alla känner till gravitationen, men få, utom fysikerna, funderar över den. I dag förs en allt intensivare jakt på gravitonen, den okända partikel som kan förklara gravitationen och som tros resa genom universum som rester av exploderade supernovor.

-	==Lästips==	+	====Lästips====

	För dig som behöver en längre förklaring eller vill fördjupa dig ytterligare vil vi tipsa om:		För dig som behöver en längre förklaring eller vill fördjupa dig ytterligare vil vi tipsa om:

-	Halliday and Resnick, Fundamentals of Physics, Wiley Benson, University physics, Wiley kapitel 37	+	: Halliday and Resnick, Fundamentals of Physics, Wiley Benson, University physics, Wiley kapitel 37

-	[https://sv.wikipedia.org/wiki/Relativitetsteori Läs mer om relativitetsteori på svenska Wikipedia]	+	: [https://sv.wikipedia.org/wiki/Relativitetsteori Läs mer om relativitetsteori på svenska Wikipedia]

-	==Länktips==	+	====Länktips====

-	[http://newt.phys.unsw.edu.au/einsteinlight/ Experimentera och lär mer om Einsteins relativitetsteori, multimedia från Univeristy of New South Wales, Sydney Australia]	+	: [http://newt.phys.unsw.edu.au/einsteinlight/ Experimentera och lär mer om Einsteins relativitetsteori, multimedia från Univeristy of New South Wales, Sydney Australia]

-	[http://www.pbs.org/wgbh/nova/physics/einstein-big-idea.html Läs, lyssna och titta på multimedia om Einsteins relativitetsteori från NOVA "Einstein's Big Idea"]	+	: [http://www.pbs.org/wgbh/nova/physics/einstein-big-idea.html Läs, lyssna och titta på multimedia om Einsteins relativitetsteori från NOVA "Einstein's Big Idea"]
		+	</div>

Mj den 1 december 2017 kl. 15.24

Mj — Fri, 01 Dec 2017 15:24:53 GMT

← Äldre version		Versionen från 1 december 2017 kl. 15.24
Rad 178:		Rad 178:

	[[Bild:5.2-gamma.jpeg]]		[[Bild:5.2-gamma.jpeg]]
		+
		+	=Bestämning av rörelsemängd - praktisk tillämpning=
		+
		+	[[Bild:5.2-elektronkalla.gif]]
		+
		+	För att undersöka en laddad, relativistisk partikels rörelse används ofta ett homogent magnetfält som böjer av partikeln i en cirkulär rörelse med radien <math>r</math>. Metoden används i många moderna partikeldetektorer (se även [https://sv.wikipedia.org/wiki/Cyklotron cyklotronen]) eftersom man på så sätt kan bestämma rörelsemängden <math>p</math>, men det är också på så sätt man styr partiklarna. Samma metod används för att styra bläckdropparna i en skrivare till rätt plats. I ett plan vinkelrätt mot magnetfältet gäller sambandet
		+
		+	<math>qvB=\displaystyle \frac{\gamma mv^2}{r}</math>
		+
		+	vilket också ger
		+
		+	<math>p=\gamma mv =qrB</math>
		+
		+	där såväl avböjningens radie <math>r</math> som laddningen <math>q</math> och magnetfältet <math>B</math> kan mätas.
		+
		+	=Råd för inläsning=
		+
		+	==Tänk på att...==
		+
		+	Alla känner till gravitationen, men få, utom fysikerna, funderar över den. I dag förs en allt intensivare jakt på gravitonen, den okända partikel som kan förklara gravitationen och som tros resa genom universum som rester av exploderade supernovor.
		+
		+	==Lästips==
		+
		+	För dig som behöver en längre förklaring eller vill fördjupa dig ytterligare vil vi tipsa om:
		+
		+	Halliday and Resnick, Fundamentals of Physics, Wiley Benson, University physics, Wiley kapitel 37
		+
		+	[https://sv.wikipedia.org/wiki/Relativitetsteori Läs mer om relativitetsteori på svenska Wikipedia]
		+
		+	==Länktips==
		+
		+	[http://newt.phys.unsw.edu.au/einsteinlight/ Experimentera och lär mer om Einsteins relativitetsteori, multimedia från Univeristy of New South Wales, Sydney Australia]
		+
		+	[http://www.pbs.org/wgbh/nova/physics/einstein-big-idea.html Läs, lyssna och titta på multimedia om Einsteins relativitetsteori från NOVA "Einstein's Big Idea"]

Mj den 1 december 2017 kl. 15.14

Mj — Fri, 01 Dec 2017 15:14:41 GMT

← Äldre version		Versionen från 1 december 2017 kl. 15.14
Rad 143:		Rad 143:

	Notera att detta är helt oberoende av föremålets massa.		Notera att detta är helt oberoende av föremålets massa.
		+
		+	=Energitriangeln=
		+
		+	Vi ska nu härleda ett samband mellan energin <math>E</math>, rörelsemängden <math>p</math> och viloenergin <math>E_0</math>. Definitionsmässigt gäller att:
		+
		+	<math>p^2=(\gamma mv)^2=\displaystyle\frac{m^2v^2}{1-\frac{v^2}{c^2}}</math>
		+
		+	Totala energin <math>E=\gamma mc^2</math> uttryckt i rörelsemängden <math>p</math> kan då skrivas
		+
		+	<math>E^2 = (\gamma mc^2)^2 = \displaystyle \frac{m^2c^4}{1-\frac{v^2}{c^2}}= \frac{m^2 c^4}{1 - v^2 / c^2} \left( 1 - \frac{v^2}{c^2} + \frac{v^2}{c^2} \right) == m^2c^4+\frac{m^2c^4}{1-\frac{v^2}{c^2}}\frac{v^2}{c^2}= m^2c^4+p^2c^2=E_0^2+p^2c^2 </math>
		+
		+
		+	där vi utnyttjat vårt uttryck för <math>p^2</math> och att <math>E_0=mc^2</math>.
		+
		+	Detta är en mycket viktig formel kallad energitriangeln, så vi presenterar den igen för tydlighetens skull:
		+
		+	<math>E^2=p^2c^2+m^2c^4=p^2c^2+E_0^2</math>
		+
		+	Vi ser även att eftersom <math>p=\gamma mv</math> och <math>E=\gamma mc^2</math> så är <math>\gamma m=p/v=E/c^2</math>, vilket innebär att
		+
		+	<math>E=\displaystyle\frac{pc^2}{v}</math>
		+
		+	vilket är ett uttryck som är oberoende av massan. Det är ett intressant resultat därför att detta är ett uttryck som gäller även för masslösa partiklar, till skillnad från uttrycken <math>E=\gamma mc^2</math> och <math>p=\gamma mv</math>. Masslösa partiklar har ingen viloenergi och därför får vi från energitriangeln med <math>E_0=0</math> att
		+
		+	<math>E=pc</math>
		+
		+	för masslösa partiklar. Genom att använda <math>E=pc^2/v</math> får vi då också att <math>v=c</math>, det vill säga alla masslösa partiklar rör sig med ljusets hastighet. Men det är också så att enbart masslösa partiklar kan röra sig med ljusets hastighet.
		+
		+	Fotoner är ett viktigt exempel på masslösa partiklar.
		+
		+	=När behöver man räkna relativistiskt?=
		+
		+	Vid låga hastigheter är <math>\gamma \approx 1<math>, så att <math>p\approx mv</math>. I diagrammet nedan visas värdet av <math>\gamma</math> vid olika hastigheter. I alla praktiska tillämpningar då <math>v</math> är mycket mindre än <math>c</math> kan man alltså lika gärna räkna direkt med <math>p=mv</math>. Hur är det då med energin? <math>E=\gamma mc^2</math> ser inte ut som våra vanliga uttryck. Men man kan visa att för låga hastigheter är <math>E \approx mc^2+mv^2/2</math> där vi genast känner igen den första termen som viloenergi och den andra termen som det klassiska uttrycket för kinetisk energi. Som tumregel brukar man säga att "låga hastigheter" är lägre än <math>0,1c</math>, alltså 10% av ljusets hastighet och då behöver man oftast inte räkna relativistiskt. Vid extremt höga hastighter då vi har <math>v \approx c</math> så gäller <math>E\approx E_k \approx pc</math>. Då <math>v</math> är exakt lika med <math>c</math> gäller som redan nämnt att <math>E=E_k=pc</math>.
		+
		+	[[Bild:5.2-gamma.jpeg]]

Mj den 1 december 2017 kl. 15.04

Mj — Fri, 01 Dec 2017 15:04:08 GMT

← Äldre version		Versionen från 1 december 2017 kl. 15.04
Rad 132:		Rad 132:
	Viloenergin är nästan alltid enormt mycket större än den kinetiska energin. Hur snabbt måste ett föremål röra sig för att den kinetiska energin ska vara lika stor som viloenergin?		Viloenergin är nästan alltid enormt mycket större än den kinetiska energin. Hur snabbt måste ett föremål röra sig för att den kinetiska energin ska vara lika stor som viloenergin?

-	Lösning:	+	'''Lösning:'''

	Om <math>E_k=E_0</math> så har vi enligt formlerna att		Om <math>E_k=E_0</math> så har vi enligt formlerna att

Mj den 1 december 2017 kl. 14.59

Mj — Fri, 01 Dec 2017 14:59:06 GMT

← Äldre version		Versionen från 1 december 2017 kl. 14.59
Rad 40:		Rad 40:
	och inte som förut att <math>\sum mv = \text{konstant}</math>. Vi får olika konstanter om vi befinner oss i olika inertialsystem, men det gäller alltid att den totala rörelsemängden är konstant.		och inte som förut att <math>\sum mv = \text{konstant}</math>. Vi får olika konstanter om vi befinner oss i olika inertialsystem, men det gäller alltid att den totala rörelsemängden är konstant.

-	~~<b>~~Exempel - rörelsemängdens bevarande~~</b>~~	+	==Exempel - rörelsemängdens bevarande==

	[[Bild:kap5.2-kollision.gif]]		[[Bild:kap5.2-kollision.gif]]
Rad 58:		Rad 58:
	varifrån vi kan lösa ut <math>v'</math> som		varifrån vi kan lösa ut <math>v'</math> som
	<math>v'=\displaystyle\frac{p_{tot}}{\sqrt{m^2+p_{tot}^2/c^2}}=\frac{c}{\sqrt{3^2+1}}=\frac{c}{\sqrt{10}} \approx 0,316c.</math>		<math>v'=\displaystyle\frac{p_{tot}}{\sqrt{m^2+p_{tot}^2/c^2}}=\frac{c}{\sqrt{3^2+1}}=\frac{c}{\sqrt{10}} \approx 0,316c.</math>
		+
		+	<b>Inkorrekt icke-relativistisk lösning:</b>
		+
		+	Räknar vi istället icke-relativistiskt får vi att
		+
		+	<math>p_{tot}=\sum mv=2 \, \textrm{kg}\cdot \displaystyle \frac{c}{\sqrt{2}}+1 \, \textrm{kg}\cdot \left(-\frac{c}{\sqrt{2}}\right)=\frac{c}{\sqrt{2}} \, \textrm{kg} \,.</math>
		+
		+	Efter kollisionen
		+
		+	<math>p_{tot} = \sum mv' = 3\, \textrm{kg}\cdot v'. </math>
		+
		+	Då får vi sluthastigheten
		+
		+	<math>v'=\displaystyle \frac{p_{tot}}{m}=\frac{\frac{c}{\sqrt{2}}}{3}=\frac{c}{3\sqrt{2}} \approx 0,236c \,.</math>
		+
		+	Vi ser att den är betydligt lägre än den faktiska hastigheten <math>0,316c</math>.
		+
		+	=Relativistisk energi=
		+
		+	Newtons andra lag lyder
		+
		+	<blockquote>”Rörelseförändringen är proportionell mot kraften, och sker i kraftens riktning.”</blockquote>
		+
		+	vilket vi kan skriva som
		+
		+	<math>\displaystyle F=\frac{dp}{dt} \,.</math>
		+
		+	I klassisk fysik använder vi med gott samvete formeln <math>p=mv</math>, och i de fall då massan inte ändras med tiden får vi att <math>\displaystyle \frac{dp}{dt}=m\frac{dv}{dt}</math>, och alltså den välbekanta formeln <math>F=ma</math>. Nu när vi istället har <math>p=\gamma mv</math> får vi en mer komplicerad kraftekvation eftersom <math>\gamma</math> är tidsberoende.
		+
		+	<math>F=\displaystyle\frac{d(\gamma mv)}{dt}=\frac{d}{dt}\left(\frac{mv}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\right)</math>
		+
		+	Eftersom kraftekvationen har ändrats ändras också uttrycket för kinetisk energi. Vi utgår från att partikeln är stillastående vid start så att den kinetiska energin är exakt det arbete som vår kraft uträttar på partikeln. Energi kan allmänt skrivas som kraften integrerat över en sträcka. Vi sätter in vårt resultat från kraftekvationen i integralen och får
		+
		+	<math>E_k = \displaystyle \int F \,ds=\int \frac{d(\gamma mv)}{dt}\, \frac{ds}{dt} dt = \int mv \, d(\gamma v) \,.</math>
		+
		+	Att räkna ut denna integral kräver en del kunskap om integration som vi inte förutsätter, men en fullständig härledning för den intresserade finns på Wikipedia.
		+	Om man utför integrationen får man detta mycket viktiga resultat
		+
		+	<math>E_k=(\gamma-1)mc^2 \,.</math>
		+
		+	Förutom att rörelsemängd bevaras vet vi också att den totala energin bevaras. Eftersom även detta gäller i alla inertialsystem kunde Einstein visa att den totala energin <math>E</math> hos en partikel bestäms av uttrycket
		+
		+	<math>E=\gamma mc^2 \,.</math>
		+
		+	Detta betyder att då en partikel står stilla, det vill säga att <math>\gamma=1</math>, så får vi det berömda sambandet <math>E=mc^2</math>! <math>mc^2</math> är alltså all inre energi, oavsett vilken typ av energi det är och vad det är för sorts partikel. Detta är Einsteins mest berömda formel och leder till
		+
		+	<math>E=E_k+E_0</math>
		+
		+	där vi definierar viloenergin <math>E_0</math> som
		+
		+	<math>E_0=mc^2 \,.</math>
		+
		+	Denna energi är inneboende i varje partikel med massa och det är energi av denna typ som frigörs vid kärnkraftverk, i solen och i atombomber.
		+
		+	==Exempel - massomvandling==
		+
		+	Det här är ett rent tankeexperiment som aldrig kan ske i verkligheten, men det kan illustrera hur mycket energi som finns lagrad som viloenergi. Vi tänker oss att vi har ett föremål med massan 0,5 g som annihileras (kolliderar och förintas) med ett likadant föremål gjort av antimateria. Det som händer då är att all viloenergi, det vill säga ett gram, omvandlas enligt <math>E_0=mc^2</math>. Om all denna energi förs över till ett bowlingklot med massan <math>6</math> kg, hur hög hastighet får då bowlingklotet?
		+
		+	<b>Lösning:</b>
		+
		+	Den totala massan som omvandlas är <math>1</math> g, så den ökning i kinetisk energi som bowlingklotet kommer få är enligt uppgiften <math>E=mc^2=10^{-3} \,\textrm{kg} \cdot c^2</math>. Vi misstänker att bowlingklotet kommer få en väldigt hög fart så vi räknar relativistiskt för säkerhets skull. Vårt uttryck för kinetisk energi är <math>E_k=(\gamma-1) m_{klot}c^2</math>, vilket leder till att
		+
		+	<math>\gamma = 1+\displaystyle\frac{E_k}{m_{klot} c^2} =1+\frac{1}{6}\cdot 10^{-3} \approx 1,000167 \,.</math>
		+
		+	Vi får då hastigheten
		+
		+	<math>v=c\sqrt{1-\displaystyle\frac{1}{\gamma^2}} \approx 0,018c</math>
		+
		+	vilket är vansinnigt snabbt, det är alltså ungefär <math>5,5 \cdot 10^6</math> m/s.
		+
		+	==Exempel - viloenergins storlek==
		+
		+	Viloenergin är nästan alltid enormt mycket större än den kinetiska energin. Hur snabbt måste ett föremål röra sig för att den kinetiska energin ska vara lika stor som viloenergin?
		+
		+	Lösning:
		+
		+	Om <math>E_k=E_0</math> så har vi enligt formlerna att
		+
		+	<math>(\gamma-1)mc^2=mc^2</math>
		+
		+	så att <math>\gamma=2</math>. Bryter vi ut <math>v</math> ur <math>\gamma</math> får vi veta att
		+
		+	<math>v=c\sqrt{1-1/\gamma^2}=\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}c \approx 0,866c \,.</math>
		+
		+	Notera att detta är helt oberoende av föremålets massa.

Mj den 1 december 2017 kl. 14.37

Mj — Fri, 01 Dec 2017 14:37:47 GMT

← Äldre version		Versionen från 1 december 2017 kl. 14.37
Rad 45:		Rad 45:

	Vi har en oelastisk stöt mellan en kropp med vilomassa 2 kg och en kropp med vilomassa 1 kg. Kropparna rör sig mot varandra med hastigheten <math>\frac{c}{\sqrt2}</math>. Efter krocken har vi istället en kropp med vilomassa 3 kg. Vilken hastighet kommer den nya kroppen ha?		Vi har en oelastisk stöt mellan en kropp med vilomassa 2 kg och en kropp med vilomassa 1 kg. Kropparna rör sig mot varandra med hastigheten <math>\frac{c}{\sqrt2}</math>. Efter krocken har vi istället en kropp med vilomassa 3 kg. Vilken hastighet kommer den nya kroppen ha?
		+
		+	<b>Relativistisk lösning:</b>
		+
		+	Vi vet att <math>p_{tot}=\sum \gamma mv=konstant</math>, alltså
		+
		+	<math>\displaystyle p_{tot}=\sum \gamma mv = \sum \frac{mv}{\sqrt{1-v^2/c^2}} =\frac{2 \, \textrm{kg} \cdot \frac{c}{\sqrt{2}}}{\sqrt{1-1/2}}+\frac{1 \, \textrm{kg} \cdot (-\frac{c}{\sqrt{2}})}{\sqrt{1-1/2}}=(2-1)c \, \textrm{kg}=c \, \textrm{kg}</math>
		+
		+	Eftersom rörelsemängden är konstant så kommer vi efter kollisionen ha ekvationen
		+
		+	<math> \displaystyle p_{tot}=\sum \gamma mv' = \frac{3 \, \textrm{kg} \cdot v'}{\sqrt{1-(v'/c)^2}}</math>
		+
		+	varifrån vi kan lösa ut <math>v'</math> som
		+	<math>v'=\displaystyle\frac{p_{tot}}{\sqrt{m^2+p_{tot}^2/c^2}}=\frac{c}{\sqrt{3^2+1}}=\frac{c}{\sqrt{10}} \approx 0,316c.</math>

Mj den 1 december 2017 kl. 13.57

Mj — Fri, 01 Dec 2017 13:57:45 GMT

← Äldre version		Versionen från 1 december 2017 kl. 13.57
Rad 39:		Rad 39:

	och inte som förut att <math>\sum mv = \text{konstant}</math>. Vi får olika konstanter om vi befinner oss i olika inertialsystem, men det gäller alltid att den totala rörelsemängden är konstant.		och inte som förut att <math>\sum mv = \text{konstant}</math>. Vi får olika konstanter om vi befinner oss i olika inertialsystem, men det gäller alltid att den totala rörelsemängden är konstant.
		+
		+	<b>Exempel - rörelsemängdens bevarande</b>
		+
		+	[[Bild:kap5.2-kollision.gif]]
		+
		+	Vi har en oelastisk stöt mellan en kropp med vilomassa 2 kg och en kropp med vilomassa 1 kg. Kropparna rör sig mot varandra med hastigheten <math>\frac{c}{\sqrt2}</math>. Efter krocken har vi istället en kropp med vilomassa 3 kg. Vilken hastighet kommer den nya kroppen ha?