Förberedande kurs i matematik 1

Teori

Övningar

Ja/Nej?

Räkneoperationer med tal

Att arbeta med tal innebär att man utför en rad räkneoperationer. De grundläggande är de fyra räknesätten. Här följer några begrepp som är bra att kunna för att förstå matematisk text:

När man adderar tal är summan inte beroende av i vilken ordning termerna adderas

\displaystyle 3+4+5=3+5+4=5+4+3=12\,\mbox{.}

När tal subtraheras är naturligtvis ordningen viktig

\displaystyle 5-2=3 \quad \mbox{medan} \quad 2-5=-3\,\mbox{.}

Om vi pratar om differensen mellan två tal menar vi vanligtvis skillnaden mellan det större och det mindre. Således menar vi att differensen mellan 2 och 5 är 3.

När tal multipliceras är ordningen mellan faktorerna inte viktig

\displaystyle 3 \cdot 4 \cdot 5=3 \cdot 5 \cdot 4 = 5 \cdot 4 \cdot 3 = 60 \,\mbox{.}

Vid division är ordningen av betydelse

\displaystyle \frac{6}{3} = 2\quad\mbox{medan}\quad\frac{3}{6} = 0{,}5 \,\mbox{.}

Räkneordning i uttryck (Prioriteringsregler)

När flera räknesätt förekommer i ett matematiskt uttryck är det viktigt att man har en överenskommelse om i vilken ordning operationerna ska utföras. Följande gäller:

• Parenteser (parentesen "längst in" först)
• Multiplikation och division (från vänster till höger)
• Addition och subtraktion (från vänster till höger)

"Osynliga" parenteser

Vid division ska täljare och nämnare beräknas var för sig innan divisionen utförs. Man kan därför säga att det finns "osynliga parenteser" omkring täljare och nämnare.

Speciellt viktigt är detta vid användandet av miniräknare.

Divisionen

\displaystyle \frac{8+4}{2+4}

måste skrivas \displaystyle (8 + 4 )/(2 + 4) på miniräknaren för att det korrekta svaret \displaystyle 2 ska erhållas. Ett vanligt misstag är att skriva \displaystyle 8 + 4/2 + 4, vilket av miniräknaren tolkas som \displaystyle 8 + 2 + 4 = 14.

Olika typer av tal

De tal vi använder oss av för att beskriva antal och mått, mm., kallas sammanfattningsvis för de reella talen och kan illustreras med hjälp av en tallinje:

De reella talen "fyller" tallinjen, dvs. inga hål eller mellanrum finns någonstans längs tallinjen. Varje punkt på tallinjen kan anges med hjälp av en följd av decimaler. Mängden av de reella talen är alla decimaltal och betecknas med R. Tallinjen visar också talen i storleksordning; ett tal till höger är alltid större än ett tal till vänster. Man brukar dela upp de reella talen i följande typer av tal:

Naturliga tal (symboliseras vanligen med bokstaven N)

De tal som används när man räknar antal: 0, 1, 2, 3, 4, ...

Heltal (Z)

De naturliga talen och deras negativa motsvarigheter: ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...

Rationella tal (Q)

Alla tal som kan skrivas som en kvot mellan heltal (bråk), t.ex.

\displaystyle -\frac{3}{4},\ \frac{3}{2}, \ \frac{37}{128}, \quad\mbox{osv.}

Observera att även heltalen räknas som rationella tal, eftersom

\displaystyle -1 = \frac{-1}{1},\quad 0 = \frac{0}{1},\quad 1 = \frac{1}{1},\quad 2 = \frac{2}{1},\quad\mbox{osv.}

Ett rationellt tal kan skrivas på flera olika sätt, eftersom t.ex.

\displaystyle 2 = \frac{2}{1}=\frac{4}{2}=\frac{6}{3}=\frac{8}{4} =\frac{100}{50}=\frac{384}{192}\quad\mbox{osv.}

Irrationella tal

De tal på tallinjen som inte kan skrivas som bråk kallas irrationella tal. Exempel på irrationella tal är de flesta rötter, som \displaystyle \sqrt{2} och \displaystyle \sqrt{3}, men även talet \displaystyle \pi t.ex.

Decimalform

Alla typer av reella tal kan skrivas på decimalform, med ett godtyckligt antal decimaler. Decimalerna som skrivs till höger om decimalkommat anger antal tiondelar, hundradelar, tusendelar, osv., på samma sätt som siffrorna till vänster om decimalkommat anger antalet ental, tiotal, hundratal, osv.

Ett rationellt tal kan skrivas på decimalform genom att utföra divisionen. Således är talet \displaystyle \textstyle\frac{3}{4} samma som "3 dividerat med 4", dvs. 0,75.

Läs om liggande stolen på wikipedia.

Som synes har de rationella talen ovan en periodisk decimalutveckling, dvs. decimalutvecklingen slutar alltid med att en viss följd av decimaler upprepas i all oändlighet. Detta gäller för alla rationella tal och skiljer dessa från de irrationella, vilka inte har något periodiskt mönster i sin decimalutveckling.

Omvänt gäller också att alla tal med en periodisk decimalutveckling är rationella tal.

Avrundning

Eftersom det är opraktiskt att räkna med långa decimalutvecklingar så avrundar man ofta tal till ett lämpligt antal decimaler. Överenskommelsen som gäller är att siffrorna 0, 1, 2, 3 och 4 avrundas nedåt medan 5, 6, 7, 8 och 9 avrundas uppåt.

Vi använder symbolen \displaystyle \approx (är ungefär lika med) för att markera att en avrundning har skett.

Jämförelse av tal

Man anger storleksförhållandet mellan tal med hjälp av symbolerna > (är större än), < (är mindre än) och = (är lika med). Storleksförhållandet mellan två tal kan avgöras dels genom att skriva talen i decimalform, eller genom att skriva rationella tal som bråk med gemensam nämnare.

Övningar