1.3 Potenser - Versionshistorik

Tek: Länkar in Ja/Nej-frågor

2010-04-30T11:20:22Z

Länkar in Ja/Nej-frågor

← Äldre version		Versionen från 30 april 2010 kl. 11.20
Rad 4:		Rad 4:
	{{Mall:Vald flik\|[[1.3 Potenser\|Teori]]}}		{{Mall:Vald flik\|[[1.3 Potenser\|Teori]]}}
	{{Mall:Ej vald flik\|[[1.3 Övningar\|Övningar]]}}		{{Mall:Ej vald flik\|[[1.3 Övningar\|Övningar]]}}
		+	{{Mall:Ej vald flik\|[[1.3 Ja eller Nej?\|Ja/Nej?]]}}
	\| style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"\|		\| style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"\|
	\|}		\|}

Tek: Buggfix

2009-11-30T09:53:33Z

Buggfix

← Äldre version		Versionen från 30 november 2009 kl. 09.53
Rad 87:		Rad 87:
	Med definitionen av potens följer ytterligare några räkneregler som förenklar beräkningar med potenser inblandade. Man ser t.ex. att		Med definitionen av potens följer ytterligare några räkneregler som förenklar beräkningar med potenser inblandade. Man ser t.ex. att

-	{{Fristående formel\|\|<math>2^3 \cdot 2^5 = \underbrace{\,2\cdot 2\cdot 2\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{ 3\ {\rm st }} \cdot \underbrace{\,~~2\cdot~~ 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{ 5\ {\rm st }} = \underbrace{\,2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{ (3 + 5)\ {\rm st}} = 2^{3+5} = 2^8</math>}}	+	{{Fristående formel\|\|<math>2^3 \cdot 2^5 = \underbrace{\,2\cdot 2\cdot 2\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{ 3\ {\rm st }} \cdot \underbrace{\,2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{ 5\ {\rm st }} = \underbrace{\,2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{ (3 + 5)\ {\rm st}} = 2^{3+5} = 2^8</math>}}

	vilket generellt kan skrivas		vilket generellt kan skrivas

Tek: Tog bort mellanslag i början av rader i fristående formler för att undvika tomma boxar i IE

2009-08-19T08:00:19Z

Tog bort mellanslag i början av rader i fristående formler för att undvika tomma boxar i IE

← Äldre version		Versionen från 19 augusti 2009 kl. 08.00
Rad 372:		Rad 372:

	{{Fristående formel\|\|<math>\begin{align*}		{{Fristående formel\|\|<math>\begin{align*}
-	(\sqrt{8}\,)^5 &= (8^{1/2})^5 = (8)^{5/2} = (2^3)^{5/2}	+	(\sqrt{8}\,)^5
-	= 2^{3\cdot\frac{5}{2}}= 2^{15/2}\\	+	&= (8^{1/2})^5 = (8)^{5/2} = (2^3)^{5/2} = 2^{3\cdot\frac{5}{2}}= 2^{15/2}\\
-	128 &= 2^7 = 2^{14/2}	+	128 &= 2^7 = 2^{14/2}
-	\end{align*}</math>}}	+	\end{align*}</math>}}

	och därför är		och därför är

Tek: decimalpunkt --> decimalkomma

2008-11-05T07:54:13Z

decimalpunkt --> decimalkomma

← Äldre version		Versionen från 5 november 2008 kl. 07.54
Rad 184:		Rad 184:
	<li><math>\left(\frac{1}{3^2}\right)^{-3}		<li><math>\left(\frac{1}{3^2}\right)^{-3}
	= (3^{-2})^{-3} = 3^{(-2)\cdot(-3)}=3^6</math></li>		= (3^{-2})^{-3} = 3^{(-2)\cdot(-3)}=3^6</math></li>
-	<li><math>0.01^5 = (10^{-2})^5 = 10^{-2 \cdot 5} = 10^{-10}</math></li>	+	<li><math>0{,}01^5 = (10^{-2})^5 = 10^{-2 \cdot 5} = 10^{-10}</math></li>
	</ol>		</ol>
	</div>		</div>

Tek den 16 april 2008 kl. 14.43

2008-04-16T14:43:35Z

← Äldre version		Versionen från 16 april 2008 kl. 14.43
Rad 79:		Rad 79:

	<div class="regel">		<div class="regel">
-	{{Fristående formel\|\|<math>\left(\displaystyle\frac{a}{b}\right)^m = \displaystyle\frac{a^m}{b^m} \quad \mbox{och}\quad (ab)^m = a^m b^m</math>}}	+	{{Fristående formel\|\|<math>\left(\displaystyle\frac{a}{b}\right)^m = \displaystyle\frac{a^m}{b^m} \quad \mbox{och}\quad (ab)^m = a^m b^m\,\mbox{.}</math>}}
	</div>		</div>

Rad 110:		Rad 110:
	och		och

-	{{Fristående formel\|\|<math> (5^3)^2 = 5^3\cdot5^3= \underbrace{\,5\cdot 5 \cdot 5\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{3\ {\rm st}} \cdot \underbrace{\,5\cdot 5 \cdot 5\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{3\ {\rm st}} = \underbrace{\,5\cdot 5 \cdot 5\,\cdot\,5\cdot 5 \cdot 5\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{2\ {\rm gånger}\ 3\ {\rm st}}=5^{2\~~cdot3~~}=5^6\mbox{.}</math>}}	+	{{Fristående formel\|\|<math> (5^3)^2 = 5^3\cdot5^3= \underbrace{\,5\cdot 5 \cdot 5\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{3\ {\rm st}} \cdot \underbrace{\,5\cdot 5 \cdot 5\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{3\ {\rm st}} = \underbrace{\,5\cdot 5 \cdot 5\,\cdot\,5\cdot 5 \cdot 5\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{2\ {\rm gånger}\ 3\ {\rm st}}=5^{3\cdot2}=5^6\mbox{.}</math>}}


Rad 190:		Rad 190:
	Om basen i ett potensuttryck är <math>-1</math> så blir uttrycket alternerande <math>-1</math> eller <math>+1</math> beroende på exponentens värde		Om basen i ett potensuttryck är <math>-1</math> så blir uttrycket alternerande <math>-1</math> eller <math>+1</math> beroende på exponentens värde

-	{{Fristående formel\|\|<math>\eqalign{(-1)^1 &= -1\cr (-1)^2 &= (-1)\cdot(-1) = +1\cr (-1)^3 &= (-1)\cdot(-1)^2 = (-1)\cdot 1 = -1\cr (-1)^4 &= (-1)\cdot(-1)^3 = (-1)\cdot (-1) = 1\cr \quad\hbox{~~o.s.v~~.}}</math>}}	+	{{Fristående formel\|\|<math>\eqalign{(-1)^1 &= -1\cr (-1)^2 &= (-1)\cdot(-1) = +1\cr (-1)^3 &= (-1)\cdot(-1)^2 = (-1)\cdot 1 = -1\cr (-1)^4 &= (-1)\cdot(-1)^3 = (-1)\cdot (-1) = +1\cr \quad\hbox{osv.}}</math>}}

	Regeln är att <math>(-1)^n</math> är lika med <math>-1</math> om <math>n</math> är udda och lika med <math>+1</math> om <math>n</math> är jämn.		Regeln är att <math>(-1)^n</math> är lika med <math>-1</math> om <math>n</math> är udda och lika med <math>+1</math> om <math>n</math> är jämn.
Rad 313:		Rad 313:
	Om man utan tillgång till miniräknare vill jämföra storleken av potenser, kan man i vissa fall avgöra detta genom att jämföra basen eller exponenten.		Om man utan tillgång till miniräknare vill jämföra storleken av potenser, kan man i vissa fall avgöra detta genom att jämföra basen eller exponenten.

-	Om basen i en potens är större är än <math>1</math> så blir potensen större ju större exponenten är. Är däremot basen mellan <math>0</math> och <math>1</math> så blir potensen mindre istället när exponenten växer.	+	Om basen i en potens är större än <math>1</math> så blir potensen större ju större exponenten är. Är däremot basen mellan <math>0</math> och <math>1</math> så blir potensen mindre istället när exponenten växer.

	<div class="exempel">		<div class="exempel">
Rad 349:		Rad 349:

	<ol type="a">		<ol type="a">
-	<li><math> 25^{1/3} </math>  och  <math> 5^{3/4} </math>	+	<li><math> 25^{1/3} </math>  och  <math> 5^{3/4} </math>.
	<br>		<br>
	<br>		<br>
Rad 362:		Rad 362:
	eftersom <math>\frac{3}{4} > \frac{2}{3}</math> och basen <math>5</math> är större än <math>1</math>.</li>		eftersom <math>\frac{3}{4} > \frac{2}{3}</math> och basen <math>5</math> är större än <math>1</math>.</li>

-	<li><math>(\sqrt{8}\,)^5 </math>  och <math>128</math>	+	<li><math>(\sqrt{8}\,)^5 </math>  och <math>128</math>.
	<br>		<br>
	<br>		<br>
Rad 383:		Rad 383:
	i och med att <math>\frac{15}{2} > \frac{14}{2}</math> och basen <math>2</math> är större än <math>1</math>.</li>		i och med att <math>\frac{15}{2} > \frac{14}{2}</math> och basen <math>2</math> är större än <math>1</math>.</li>

-	<li><math> (8^2)^{1/5} </math> och <math> (\sqrt{27}\,)^{4/5}</math>	+	<li><math> (8^2)^{1/5} </math> och <math> (\sqrt{27}\,)^{4/5}</math>.
	<br>		<br>
	<br>		<br>

Tek den 27 mars 2008 kl. 18.12

2008-03-27T18:12:54Z

← Äldre version		Versionen från 27 mars 2008 kl. 18.12
Rad 1:		Rad 1:
	__NOTOC__		__NOTOC__
		+	{\| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
		+	\| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" \|
		+	{{Mall:Vald flik\|[[1.3 Potenser\|Teori]]}}
		+	{{Mall:Ej vald flik\|[[1.3 Övningar\|Övningar]]}}
		+	\| style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"\|
		+	\|}
		+
	{{Info\|		{{Info\|
	'''Innehåll:'''		'''Innehåll:'''
Rad 421:		Rad 428:


-	<div class="inforuta">	+	<div class="inforuta" style="width:580px;">
	'''Råd för inläsning'''		'''Råd för inläsning'''

Tek: Ny sida: NOTOC {{Info| '''Innehåll:''' * Positiv heltalsexponent * Negativ heltalsexponent * Rationell exponent * Potenslagar }} {{Info| '''Lärandemål:''' Efter detta avsnitt ska du ha lär...

2008-03-19T09:48:45Z

Ny sida: __NOTOC__ {{Info| '''Innehåll:''' * Positiv heltalsexponent * Negativ heltalsexponent * Rationell exponent * Potenslagar }} {{Info| '''Lärandemål:''' Efter detta avsnitt ska du ha lär...

Ny sida

__NOTOC__
{{Info|
'''Innehåll:'''
* Positiv heltalsexponent
* Negativ heltalsexponent
* Rationell exponent
* Potenslagar
}}

{{Info|
'''Lärandemål:'''

Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att:

*Känna till begreppen bas och exponent.
*Beräkna uttryck med heltalsexponent.
*Hantera potenslagarna i förenkling av potensuttryck.
*Veta när potenslagarna är giltiga (positiv bas).
*Avgöra vilket av två potensuttryck som är störst baserat på jämförelse av bas/exponent.
}}

== Heltalspotenser ==

Vi använder multiplikationssymbolen som ett kortare skrivsätt
för upprepad addition av samma tal, t.ex.

{{Fristående formel||<math>4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 4 \cdot 5\mbox{.}</math>}}

På ett liknande sätt används potenser som ett kortare skrivsätt för upprepad multiplikation av samma tal:

{{Fristående formel||<math> 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 = 4^5\mbox{.}</math>}}

Siffran 4 kallas för potensens ''bas'' och siffran 5 dess ''exponent''.

<div class="exempel">
'''Exempel 1'''

<ol type="a">
<li><math>5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5
= 125</math></li>
<li><math>10^5
= 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 100 000</math></li>
<li><math>0{,}1^3
= 0{,}1 \cdot 0{,}1 \cdot 0{,}1 = 0{,}001</math></li>
<li><math>(-2)^4
= (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2)= 16</math>, men <math> -2^4
= -(2^4) = - (2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2) = -16</math></li>
<li><math> 2\cdot 3^2 = 2 \cdot 3 \cdot 3 = 18</math>, men <math>
(2\cdot3)^2 = 6^2 = 36</math></li>
</ol>
</div>

<div class="exempel">
'''Exempel 2'''

<ol type="a">
<li><math>
\left(\displaystyle\frac{2}{3}\right)^3
= \displaystyle\frac{2}{3}\cdot \displaystyle\frac{2}{3}
\cdot \displaystyle\frac{2}{3}
= \displaystyle\frac{2^3}{3^3}
= \displaystyle\frac{8}{27}</math></li>
<li><math>(2\cdot 3)^4
= (2\cdot 3)\cdot(2\cdot 3)\cdot(2\cdot 3)\cdot(2\cdot 3)</math><br>
<math>\phantom{(2\cdot 3)^4}{}
= 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3
= 2^4 \cdot 3^4 = 1296</math></li>
</ol>
</div>

Det sista exemplet kan generaliseras till två användbara räkneregler för potenser:

<div class="regel">
{{Fristående formel||<math>\left(\displaystyle\frac{a}{b}\right)^m = \displaystyle\frac{a^m}{b^m} \quad \mbox{och}\quad (ab)^m = a^m b^m</math>}}
</div>

== Potenslagar ==

Med definitionen av potens följer ytterligare några räkneregler som förenklar beräkningar med potenser inblandade. Man ser t.ex. att

{{Fristående formel||<math>2^3 \cdot 2^5 = \underbrace{\,2\cdot 2\cdot 2\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{ 3\ {\rm st }} \cdot \underbrace{\,2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{ 5\ {\rm st }} = \underbrace{\,2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{ (3 + 5)\ {\rm st}} = 2^{3+5} = 2^8</math>}}

vilket generellt kan skrivas
<div class="regel">
{{Fristående formel||<math>a^m \cdot a^n = a^{m+n}\mbox{.}</math>}}
</div>

Vid division av potenser kan också beräkningarna förenklas om potenserna har samma bas

{{Fristående formel||<math>\frac{2^7}{2^3}=\displaystyle\frac{ 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot \not{2}\cdot \not{2}\cdot \not{2} }{ \not{2}\cdot \not{2}\cdot \not{2}} = 2^{7-3}=2^4\mbox{.}</math>}}

Den allmänna regeln blir
<div class="regel">
{{Fristående formel||<math>\displaystyle\frac{a^m}{a^n}= a^{m-n}\mbox{.}</math>}}
</div>

När man råkar ut för en potens av en potens finns ytterligare
en användbar räkneregel. Vi ser att

{{Fristående formel||<math> (5^2)^3 = 5^2 \cdot 5^2 \cdot 5^2 = \underbrace{\,5\cdot 5\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{ 2\ {\rm st}} \cdot \underbrace{\,5\cdot 5\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{ 2\ {\rm st}} \cdot \underbrace{\,5\cdot 5\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{2\ {\rm st}} = \underbrace{\,5\cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{3\ {\rm gånger}\ 2\ {\rm st}} = 5^{2 \cdot 3} = 5^6\mbox{.}</math>}}

och

{{Fristående formel||<math> (5^3)^2 = 5^3\cdot5^3= \underbrace{\,5\cdot 5 \cdot 5\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{3\ {\rm st}} \cdot \underbrace{\,5\cdot 5 \cdot 5\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{3\ {\rm st}} = \underbrace{\,5\cdot 5 \cdot 5\,\cdot\,5\cdot 5 \cdot 5\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{2\ {\rm gånger}\ 3\ {\rm st}}=5^{2\cdot3}=5^6\mbox{.}</math>}}

Allmänt kan detta skrivas
<div class="regel">
{{Fristående formel||<math>(a^m)^n = a^{m \cdot n}\mbox{.} </math>}}
</div>

<div class="exempel">
'''Exempel 3'''

<ol type="a">
<li><math>2^9 \cdot 2^{14}
= 2^{9+14} = 2^{23}</math></li>
<li><math>5\cdot5^3
= 5^1\cdot5^3 = 5^{1+3} = 5^4</math></li>
<li><math>3^2 \cdot 3^3 \cdot 3^4
= 3^{2+3+4} = 3^9</math></li>
<li><math>10^5 \cdot 1000 = 10^5 \cdot 10^3 = 10^{5+3} = 10^8</math></li>
</ol>
</div>

<div class="exempel">
'''Exempel 4'''

<ol type="a">
<li><math>\frac{3^{100}}{3^{98}}
= 3^{100-98} = 3^2</math></li>
<li><math>\frac{7^{10}}{7} = \frac{7^{10}}{7^1}
= 7^{10-1} = 7^9</math></li>
</ol>
</div>

Om ett bråk har samma potensuttryck i både täljare och nämnare så inträffar följande:
{{Fristående formel||<math>\frac{5^3}{5^3} = 5^{3-3} = 5^0\quad\text{samtidigt som}\quad \frac{5^3}{5^3} = \frac{ 5 \cdot 5 \cdot 5 }{ 5 \cdot 5 \cdot 5 } = \frac{125}{125} = 1\mbox{.}</math>}}

För att räknereglerna för potenser ska stämma gör man alltså den naturliga definitionen att för alla ''a'' som inte är 0 gäller att

<div class="regel">
{{Fristående formel||<math> a^0 = 1\mbox{.} </math>}}
</div>

Vi kan också råka ut för att exponenten i nämnaren är större än den i täljaren. Vi får t.ex.
{{Fristående formel||<math>\frac{3^4}{3^6} = 3^{4-6} = 3^{-2}\quad\text{och}\quad \frac{3^4}{3^6} = \frac{\not{3} \cdot \not{3} \cdot \not{3} \cdot \not{3} }{ \not{3} \cdot \not{3} \cdot \not{3} \cdot \not{3} \cdot 3 \cdot 3} = \frac{1}{3 \cdot 3} = \frac{1}{3^2}\mbox{.}</math>}}

Vi ser här att enligt våra räkneregler måste den negativa exponenten betyda att
{{Fristående formel||<math>3^{-2} = \frac{1}{3^2}\mbox{.}</math>}}

Den allmänna definitionen av negativa exponenter är att, för alla tal ''a'' som inte är 0 gäller att

<div class="regel">
{{Fristående formel||<math>a^{-n} = \frac{1}{a^n}\mbox{.}</math>}}
</div>

<div class="exempel">
'''Exempel 5'''

<ol type="a">
<li><math>\frac{7^{1293}}{7^{1293}}
= 7^{1293 - 1293} = 7^0 = 1</math></li>
<li><math>3^7 \cdot 3^{-9} \cdot 3^4
= 3^{7+(-9)+4} = 3^2</math></li>
<li><math>0{,}001 = \frac{1}{1000}
= \frac{1}{10^3} = 10^{-3}</math></li>
<li><math>0{,}008 = \frac{8}{1000}
= \frac{1}{125} = \frac{1}{5^3} = 5^{-3}</math></li>
<li><math>\left(\frac{2}{3}\right)^{-1}
= \frac{1}{\displaystyle\left(\frac{2}{3}\right)^1}
= 1\cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{2}</math></li>
<li><math>\left(\frac{1}{3^2}\right)^{-3}
= (3^{-2})^{-3} = 3^{(-2)\cdot(-3)}=3^6</math></li>
<li><math>0.01^5 = (10^{-2})^5 = 10^{-2 \cdot 5} = 10^{-10}</math></li>
</ol>
</div>

Om basen i ett potensuttryck är <math>-1</math> så blir uttrycket alternerande <math>-1</math> eller <math>+1</math> beroende på exponentens värde

{{Fristående formel||<math>\eqalign{(-1)^1 &= -1\cr (-1)^2 &= (-1)\cdot(-1) = +1\cr (-1)^3 &= (-1)\cdot(-1)^2 = (-1)\cdot 1 = -1\cr (-1)^4 &= (-1)\cdot(-1)^3 = (-1)\cdot (-1) = 1\cr \quad\hbox{o.s.v.}}</math>}}

Regeln är att <math>(-1)^n</math> är lika med <math>-1</math> om <math>n</math> är udda och lika med <math>+1</math> om <math>n</math> är jämn.

<div class="exempel">
'''Exempel 6'''

<ol type="a">
<li><math>(-1)^{56} = 1\quad</math> eftersom <math>56</math> är ett jämnt tal</li>
<li><math>\frac{1}{(-1)^{11}} = \frac{1}{-1} = -1\quad</math> eftersom 11 är ett udda tal</li>
<li><math>\frac{(-2)^{127}}{2^{130}} = \frac{(-1 \cdot 2)^{127}}{2^{130}}
= \frac{(-1)^{127} \cdot 2^{127}}{2^{130}}
= \frac{-1 \cdot 2^{127}}{2^{130}}</math>
<math>\phantom{\frac{(-2)^{127}}{2^{130}}}{} = - 2^{127-130} = -2^{-3}
= - \frac{1}{2^3} = - \frac{1}{8}</math></li>
</ol>
</div>

== Byte av bas ==

Man bör vara uppmärksam på att vid förenkling av uttryck om möjligt försöka skriva ihop potenser genom att välja samma bas. Det handlar ofta om att välja 2, 3 eller 5 som bas och därför bör man lära sig att känna igen potenser av dessa tal, exempelvis

{{Fristående formel||<math>4=2^2,\;\; 8=2^3,\;\; 16=2^4,\;\; 32=2^5,\;\; 64=2^6,\;\; 128=2^7,\;\ldots</math>}}

{{Fristående formel||<math>9=3^2,\;\; 27=3^3,\;\; 81=3^4,\;\; 243=3^5,\;\ldots</math>}}

{{Fristående formel||<math>25=5^2,\;\; 125=5^3,\;\; 625=5^4,\;\ldots</math>}}

Men även

{{Fristående formel||<math>\frac{1}{4}=\frac{1}{2^2} = 2^{-2},\;\; \frac{1}{8}=\frac{1}{2^3}=2^{-3},\;\; \frac{1}{16}=\frac{1}{2^4}=2^{-4},\;\ldots</math>}}

{{Fristående formel||<math>\frac{1}{9}=\frac{1}{3^2}=3^{-2},\;\; \frac{1}{27}=\frac{1}{3^3}=3^{-3},\;\ldots</math>}}

{{Fristående formel||<math>\frac{1}{25}=\frac{1}{5^2}=5^{-2},\;\; \frac{1}{125}=\frac{1}{5^3}=5^{-3},\;\ldots</math>}}

osv.

<div class="exempel">
'''Exempel 7'''

<ol type="a">
<li>Skriv <math>\ 8^3 \cdot 4^{-2} \cdot 16\ </math> som en potens med basen 2.
<br/>
<br/>
:<math>8^3 \cdot 4^{-2} \cdot 16 = (2^3)^3 \cdot (2^2)^{-2} \cdot 2^4 = 2^{3 \cdot 3} \cdot 2^{2 \cdot (-2)} \cdot 2^4</math>
:<math>\qquad\quad{}= 2^9 \cdot 2^{-4} \cdot 2^4 = 2^{9-4+4} =2^9</math></li>

<li>Skriv <math>\ \frac{27^2 \cdot (1/9)^{-2}}{81^2}\ </math> som en potens av basen 3.
<br/>
<br/>
:<math>\frac{27^2 \cdot (1/9)^{-2}}{81^2} = \frac{(3^3)^2 \cdot (1/3^2)^{-2}}{(3^4)^2} = \frac{(3^3)^2 \cdot (3^{-2})^{-2}}{(3^4)^2}</math>
:<math>\qquad\quad{} = \frac{3^{3 \cdot 2} \cdot 3^{(-2) \cdot (-2)}}{3^{4 \cdot 2}} = \frac{3^6\cdot 3^4}{3^8} = \frac{3^{6 + 4}}{3^8}= \frac{3^{10}}{3^8} = 3^{10-8}= 3^2</math></li>

<li>Skriv <math>\frac{81 \cdot 32^2 \cdot (2/3)^2}{2^5+2^4}</math> så enkelt som möjligt.
<br/>
<br/>
:<math>\frac{81 \cdot 32^2 \cdot (2/3)^2}{2^5+2^4} = \frac{3^4 \cdot (2^5)^2 \cdot \displaystyle\frac{2^2}{3^2}}{2^{4+1}+2^4} = \frac{3^4 \cdot 2^{5 \cdot 2} \cdot \displaystyle\frac{2^2}{3^2}}{2^4 \cdot 2^1 +2^4} = \frac{3^4 \cdot 2^{10} \cdot \displaystyle\frac{2^2}{3^2}}{2^4 \cdot(2^1+1)}</math>
:<math>\qquad\quad{} = \frac{ \displaystyle\frac{3^4 \cdot 2^{10} \cdot 2^2}{3^2}}{2^4 \cdot 3} = \frac{ 3^4 \cdot 2^{10} \cdot 2^2 }{3^2 \cdot 2^4 \cdot 3 } = 3^{4-2-1} \cdot 2^{10+2-4} = 3^1 \cdot 2^8= 3\cdot 2^8</math></li>
</ol>
</div>

== Rationell exponent ==

Vad händer om ett tal höjs upp till en rationell exponent? Gäller fortfarande de definitioner och räkneregler vi har använt oss av ovan?

Eftersom exempelvis
{{Fristående formel||<math>2^{1/2} \cdot 2^{1/2} = 2^{1/2 + 1/2} = 2^1 = 2</math>}}
så måste <math> 2^{1/2} </math> vara samma sak som <math>\sqrt{2}</math> i och med att <math>\sqrt2</math> definieras som det tal som uppfyller <math>\sqrt2\cdot\sqrt2 = 2</math> .

Allmänt kan vi göra definitionen

<div class="regel">
{{Fristående formel||<math>a^{1/2} = \sqrt{a}\mbox{.}</math>}}
</div>

Vi måste då förutsätta att <math>a\ge 0</math>, eftersom inget reellt tal multiplicerat med sig själv kan ge ett negativt tal.

Man ser också att exempelvis
{{Fristående formel||<math>5^{1/3} \cdot 5^{1/3} \cdot 5^{1/3} = 5^{1/3 + 1/3 +1/3} = 5^1 = 5</math>}}

som innebär att <math>\,5^{1/3} = \sqrt[\scriptstyle3]{5}\mbox{,}\,</math> vilket kan generaliseras till att

<div class="regel">
{{Fristående formel||<math>a^{1/n} = \sqrt[\scriptstyle n]{a}\mbox{.}</math>}}
</div>

Genom att kombinera denna definition med en av de tidigare potenslagarna <math>((a^m)^n=a^{m\cdot n})</math> får vi att, för alla <math>a\ge0</math> gäller att

<div class="regel">
{{Fristående formel||<math>a^{m/n} = (a^m)^{1/n} = \sqrt[\scriptstyle n]{a^m}</math>}}

eller

{{Fristående formel||<math>a^{m/n} = (a^{1/n})^m = (\sqrt[\scriptstyle n]{a}\,)^m\mbox{.} </math>}}
</div>

<div class="exempel">
'''Exempel 8'''

<ol type="a">
<li><math>27^{1/3} = \sqrt[\scriptstyle 3]{27}
= 3\quad</math> eftersom <math>3 \cdot 3 \cdot 3 =27</math></li>
<li><math>1000^{-1/3} = \frac{1}{1000^{1/3}}
= \frac{1}{(10^3)^{1/3}}
= \frac{1}{10^{3 \cdot \frac{1}{3}}} = \frac{1}{10^1}
= \frac{1}{10}</math></li>
<li><math>\frac{1}{\sqrt{8}}
= \frac{1}{8^{1/2}} = \frac{1}{(2^3)^{1/2}}
= \frac{1}{2^{3/2}} = 2^{-3/2}</math></li>
<li><math>\frac{1}{16^{-1/3}} = \frac{1}{(2^4)^{-1/3}}
= \frac{1}{2^{-4/3}} = 2^{-(-4/3)}= 2^{4/3}</math></li>
</ol>
</div>

== Jämförelse av potenser ==

Om man utan tillgång till miniräknare vill jämföra storleken av potenser, kan man i vissa fall avgöra detta genom att jämföra basen eller exponenten.

Om basen i en potens är större är än <math>1</math> så blir potensen större ju större exponenten är. Är däremot basen mellan <math>0</math> och <math>1</math> så blir potensen mindre istället när exponenten växer.

<div class="exempel">
'''Exempel 9'''

<ol type="a">
<li><math>\quad 3^{5/6} > 3^{3/4}\quad</math> eftersom basen <math>3</math> är större än <math>1</math> och den första exponenten <math>5/6</math> är större än den andra exponenten <math>3/4</math>.</li>
<li><math>\quad 3^{-3/4} > 3^{-5/6}\quad</math> eftersom basen är större än <math>1</math> och exponenterna uppfyller <math> -3/4 > - 5/6</math>.</li>
<li><math> \quad 0{,}3^5 < 0{,}3^4 \quad</math> eftersom basen <math> 0{,}3</math> är mellan <math>0</math> och <math>1</math> och <math>5 > 4</math>.
</ol>
</div>

Har en potens en positiv exponent så blir potensen större ju större basen är. Det motsatta gäller om exponenten är negativ: då blir potensen mindre när basen blir större.

<div class="exempel">
'''Exempel 10'''

<ol type="a">
<li><math>\quad 5^{3/2} > 4^{3/2}\quad</math> eftersom basen <math>5</math> är större än basen <math>4</math> och båda potenserna har samma positiva exponenten <math>3/2</math>.</li>
<li><math> \quad 2^{-5/3} > 3^{-5/3}\quad</math> eftersom baserna uppfyller <math>2<3</math> och potenserna har den negativa exponenten <math>-5/3</math>.</li>
</ol>
</div>

Ibland krävs det en omskrivning av potenserna för att kunna avgöra storleksförhållandet. Vill man t.ex. jämföra <math>125^2</math> med <math>36^3</math> kan man göra omskrivningarna
{{Fristående formel||<math>
125^2 = (5^3)^2 = 5^6\quad \text{och}\quad 36^3 = (6^2)^3 = 6^6
</math>}}

varefter man kan konstatera att <math>36^3 > 125^2</math>.

<div class="exempel">
'''Exempel 11'''

Avgör vilket tal som är störst av

<ol type="a">
<li><math> 25^{1/3} </math>  och  <math> 5^{3/4} </math>
<br>
<br>
Basen 25 kan skrivas om i termer av den andra basen <math>5</math> genom att <math>25= 5\cdot 5= 5^2</math>. Därför är

{{Fristående formel||<math>25^{1/3} = (5^2)^{1/3} = 5^{2 \cdot \frac{1}{3}}= 5^{2/3}</math>}}

och då ser vi att

{{Fristående formel||<math>5^{3/4} > 25^{1/3} </math>}}

eftersom <math>\frac{3}{4} > \frac{2}{3}</math> och basen <math>5</math> är större än <math>1</math>.</li>

<li><math>(\sqrt{8}\,)^5 </math>  och <math>128</math>
<br>
<br>
Både <math>8</math> och <math>128</math> kan skrivas som potenser av <math>2</math>

{{Fristående formel||<math>\eqalign{8 &= 2\cdot 4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3\mbox{,}\\ 128 &= 2\cdot 64 = 2\cdot 2\cdot 32 = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 16 = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 8\\ &= 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2^3 = 2^7\mbox{.}}</math>}}

Detta betyder att

{{Fristående formel||<math>\begin{align*}
(\sqrt{8}\,)^5 &= (8^{1/2})^5 = (8)^{5/2} = (2^3)^{5/2}
= 2^{3\cdot\frac{5}{2}}= 2^{15/2}\\
128 &= 2^7 = 2^{14/2}
\end{align*}</math>}}

och därför är

{{Fristående formel||<math>(\sqrt{8}\,)^5 > 128 </math>}}

i och med att <math>\frac{15}{2} > \frac{14}{2}</math> och basen <math>2</math> är större än <math>1</math>.</li>

<li><math> (8^2)^{1/5} </math> och <math> (\sqrt{27}\,)^{4/5}</math>
<br>
<br>
Eftersom <math>8=2^3</math> och <math>27=3^3</math> så kan ett första steg vara att förenkla och skriva talen som potenser av <math>2</math> respektive <math>3</math>,

{{Fristående formel||<math>\begin{align*}
(8^2)^{1/5} &= (8)^{2/5} = (2^3)^{2/5} = 2^{3\cdot \frac{2}{5}}
= 2^{6/5}\mbox{,}\\
(\sqrt{27}\,)^{4/5} &= (27^{1/2})^{4/5}
= 27^{ \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{5}} = 27^{2/5}
= (3^3)^{2/5} = 3^{3 \cdot \frac{2}{5}}
= 3^{6/5}\mbox{.}
\end{align*}</math>}}

Nu ser vi att

{{Fristående formel||<math>(\sqrt{27}\,)^{4/5} > (8^2)^{1/5} </math>}}

eftersom <math> 3>2</math> och exponenten <math>\frac{6}{5}</math> är positiv.

<li><math> 3^{1/3} </math>  och  <math> 2^{1/2}</math>
<br>
<br>
Vi skriver exponenterna med gemensam nämnare

{{Fristående formel||<math>\frac{1}{3} = \frac{2}{6} \quad</math> och <math>\quad \frac{1}{2} = \frac{3}{6}</math>.}}

Då har vi att

{{Fristående formel||<math>\begin{align*}
3^{1/3} &= 3^{2/6} = (3^2)^{1/6} = 9^{1/6}\\
2^{1/2} &= 2^{3/6} = (2^3)^{1/6} = 8^{1/6}
\end{align*}</math>}}

och vi ser att

{{Fristående formel||<math> 3^{1/3} > 2^{1/2} </math>}}

eftersom <math> 9>8</math> och exponenten <math>1/6</math> är positiv.</li>
</ol>
</div>

[[1.3 Övningar|Övningar]]

<div class="inforuta">
'''Råd för inläsning'''

'''Grund- och slutprov'''

Efter att du har läst texten och arbetat med övningarna ska du göra grund- och slutprovet för att bli godkänd på detta avsnitt. Du hittar länken till proven i din student lounge.

'''Tänk på att:'''

Ett tal upphöjt till 0 är 1, om talet (basen) är skild från 0.

'''Lästips'''

för dig som vill fördjupa dig ytterligare eller behöver en längre förklaring

[http://en.wikipedia.org/wiki/Exponent Läs mer om potenser på engelska Wikipedia]

[http://primes.utm.edu/ Vilket är det största primtalet? Läs mer på The Prime Pages]

'''Länktips'''

[http://www.ltcconline.net/greenl/java/BasicAlgebra/ExponentRules/ExponentRules.html Här kan du träna på potenslagarna]

</div>

← Äldre version		Versionen från 30 april 2010 kl. 11.20
Rad 4:		Rad 4:
	{{Mall:Vald flik\|[[1.3 Potenser\|Teori]]}}		{{Mall:Vald flik\|[[1.3 Potenser\|Teori]]}}
	{{Mall:Ej vald flik\|[[1.3 Övningar\|Övningar]]}}		{{Mall:Ej vald flik\|[[1.3 Övningar\|Övningar]]}}
		+	{{Mall:Ej vald flik\|[[1.3 Ja eller Nej?\|Ja/Nej?]]}}
	\| style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"\|		\| style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"\|
	\|}		\|}