3.1 Rötter - Versionshistorik

Tek: Länkar in Ja/Nej-frågor

2010-04-30T11:26:38Z

Länkar in Ja/Nej-frågor

← Äldre version		Versionen från 30 april 2010 kl. 11.26
Rad 4:		Rad 4:
	{{Mall:Vald flik\|[[3.1 Rötter\|Teori]]}}		{{Mall:Vald flik\|[[3.1 Rötter\|Teori]]}}
	{{Mall:Ej vald flik\|[[3.1 Övningar\|Övningar]]}}		{{Mall:Ej vald flik\|[[3.1 Övningar\|Övningar]]}}
		+	{{Mall:Ej vald flik\|[[3.1 Ja eller Nej?\|Ja/Nej?]]}}
	\| style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"\|		\| style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"\|
	\|}		\|}

Tek: Tog bort mellanslag i början av rader i fristående formler för att undvika tomma boxar i IE

2009-08-19T08:11:17Z

Tog bort mellanslag i början av rader i fristående formler för att undvika tomma boxar i IE

← Äldre version		Versionen från 19 augusti 2009 kl. 08.11
Rad 65:		Rad 65:
	När man räknar med kvadratrötter kan det vara bra att känna till några räkneregler. Eftersom <math>\sqrt{a} = a^{1/2}</math> kan vi överföra potenslagarna till "rotlagar". Vi har t.ex. att		När man räknar med kvadratrötter kan det vara bra att känna till några räkneregler. Eftersom <math>\sqrt{a} = a^{1/2}</math> kan vi överföra potenslagarna till "rotlagar". Vi har t.ex. att
	{{Fristående formel\|\|<math>\sqrt{9\cdot 4}		{{Fristående formel\|\|<math>\sqrt{9\cdot 4}
-	= (9\cdot 4)^{1/2}	+	= (9\cdot 4)^{1/2}
-	= 9^{1/2}\cdot 4^{1/2}	+	= 9^{1/2}\cdot 4^{1/2}
-	= \sqrt{9}\cdot \sqrt{4}\mbox{.}</math>}}	+	= \sqrt{9}\cdot \sqrt{4}\mbox{.}</math>}}
	På detta sätt kan vi få fram följande räkneregler för kvadratrötter,		På detta sätt kan vi få fram följande räkneregler för kvadratrötter,
	som gäller för alla reella tal <math> a, b \ge 0:</math>		som gäller för alla reella tal <math> a, b \ge 0:</math>
Rad 73:		Rad 73:
	<div class="regel">		<div class="regel">
	{{Fristående formel\|\|<math>\begin{align*}		{{Fristående formel\|\|<math>\begin{align*}
-	\sqrt{ab} &= \sqrt{\vphantom{b}a}\cdot \sqrt{b}\\[4pt]	+	\sqrt{ab} &= \sqrt{\vphantom{b}a}\cdot \sqrt{b}\\[4pt]
-	\sqrt{\frac{a}{b}} &= \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\\[4pt]	+	\sqrt{\frac{a}{b}} &= \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\\[4pt]
-	a\sqrt{b} &= \sqrt{a^2b}	+	a\sqrt{b} &= \sqrt{a^2b}
-	\end{align*}</math>}}	+	\end{align*}</math>}}
	</div>		</div>
	(Vi måste dock vid divisionen ovan som vanligt förutsätta att ''b'' inte är 0.)		(Vi måste dock vid divisionen ovan som vanligt förutsätta att ''b'' inte är 0.)
Rad 147:		Rad 147:
	<div class="regel">		<div class="regel">
	{{Fristående formel\|\|<math>\begin{align*}		{{Fristående formel\|\|<math>\begin{align*}
-	\sqrt[\scriptstyle n]{ab}	+	\sqrt[\scriptstyle n]{ab}
-	&= \sqrt[\scriptstyle n]{\vphantom{b}a}\cdot	+	&= \sqrt[\scriptstyle n]{\vphantom{b}a}\cdot
-	\sqrt[\scriptstyle n]{b}\\[4pt]	+	\sqrt[\scriptstyle n]{b}\\[4pt]
-	\sqrt[\scriptstyle n]{\frac{a}{b}}	+	\sqrt[\scriptstyle n]{\frac{a}{b}}
-	&= \frac{\sqrt[\scriptstyle n]{a}}{\sqrt[\scriptstyle n]{b}}\\[4pt]	+	&= \frac{\sqrt[\scriptstyle n]{a}}{\sqrt[\scriptstyle n]{b}}\\[4pt]
-	a\,\sqrt[\scriptstyle n]{b}	+	a\,\sqrt[\scriptstyle n]{b}
-	&= \sqrt[\scriptstyle n]{a^nb}	+	&= \sqrt[\scriptstyle n]{a^nb}
-	\end{align*}</math>}}	+	\end{align*}</math>}}
	</div>		</div>

Rad 163:		Rad 163:

	{{Fristående formel\|\|<math>\sqrt{8}		{{Fristående formel\|\|<math>\sqrt{8}
-	= \sqrt{4\cdot2}	+	= \sqrt{4\cdot2}
-	= \sqrt{4} \cdot \sqrt{2}	+	= \sqrt{4} \cdot \sqrt{2}
-	= 2\sqrt{2}</math>}}	+	= 2\sqrt{2}</math>}}

	eftersom man då kan förenkla t.ex.		eftersom man då kan förenkla t.ex.

	{{Fristående formel\|\|<math>\frac{\sqrt{8}}{2}		{{Fristående formel\|\|<math>\frac{\sqrt{8}}{2}
-	= \frac{2 \sqrt{2}}{2}	+	= \frac{2 \sqrt{2}}{2}
-	= \sqrt{2}\mbox{.}</math>}}	+	= \sqrt{2}\mbox{.}</math>}}

	Genom att skriva rotuttryck i termer av "små" rötter kan man också addera rötter av "samma sort", t.ex.		Genom att skriva rotuttryck i termer av "små" rötter kan man också addera rötter av "samma sort", t.ex.

	{{Fristående formel\|\|<math>\sqrt{8} + \sqrt{2}		{{Fristående formel\|\|<math>\sqrt{8} + \sqrt{2}
-	= 2\sqrt{2} + \sqrt{2}	+	= 2\sqrt{2} + \sqrt{2}
-	= (2+1)\sqrt{2}	+	= (2+1)\sqrt{2}
-	= 3\sqrt{2}\mbox{.}</math>}}	+	= 3\sqrt{2}\mbox{.}</math>}}

	<div class="exempel">		<div class="exempel">
Rad 245:		Rad 245:

	{{Fristående formel\|\|<math>\frac{1}{\sqrt{2}}		{{Fristående formel\|\|<math>\frac{1}{\sqrt{2}}
-	= \frac{1\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}	+	= \frac{1\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}
-	= \frac{\sqrt{2}}{2}</math>}}	+	= \frac{\sqrt{2}}{2}</math>}}

	vilket oftast är att föredra.		vilket oftast är att föredra.
Rad 253:		Rad 253:

	{{Fristående formel\|\|<math>\begin{align*}		{{Fristående formel\|\|<math>\begin{align*}
-	\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}+1}	+	\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}+1}
-	&= \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}+1} \cdot \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}-1}	+	&= \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}+1} \cdot \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}-1}
-	= \frac{\sqrt{3}\,(\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)}\\[4pt]	+	= \frac{\sqrt{3}\,(\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)}\\[4pt]
-	&= \frac{\sqrt{3}\cdot\sqrt{2} - \sqrt{3}\cdot1}{(\sqrt{2}\,)^2 - 1^2 }	+	&= \frac{\sqrt{3}\cdot\sqrt{2} - \sqrt{3}\cdot1}{(\sqrt{2}\,)^2 - 1^2 }
-	= \frac{\sqrt{3 \cdot 2} - \sqrt{3}}{ 2 - 1 }	+	= \frac{\sqrt{3 \cdot 2} - \sqrt{3}}{ 2 - 1 }
-	= \frac{\sqrt{6} - \sqrt{3}}{ 1 }	+	= \frac{\sqrt{6} - \sqrt{3}}{ 1 }
-	= \sqrt{6} - \sqrt{3}\mbox{.}	+	= \sqrt{6} - \sqrt{3}\mbox{.}
-	\end{align*}</math>}}	+	\end{align*}</math>}}

	<div class="exempel">		<div class="exempel">

Tek den 9 juni 2008 kl. 17.07

2008-06-09T17:07:32Z

← Äldre version		Versionen från 9 juni 2008 kl. 17.07
Rad 316:		Rad 316:
	För dig som vill fördjupa dig ytterligare eller behöver en längre förklaring		För dig som vill fördjupa dig ytterligare eller behöver en längre förklaring

-	[http://en.wikipedia.org/wiki/~~Root_(mathematics)~~ Läs mer om kvadratrötter i engelska Wikipedia]	+	[http://en.wikipedia.org/wiki/Square_root Läs mer om kvadratrötter i engelska Wikipedia]

	[http://www.mathacademy.com/pr/prime/articles/irr2/ Hur vet man att roten ur 2 inte är ett bråktal?]		[http://www.mathacademy.com/pr/prime/articles/irr2/ Hur vet man att roten ur 2 inte är ett bråktal?]

Tek den 18 april 2008 kl. 10.02

2008-04-18T10:02:40Z

← Äldre version		Versionen från 18 april 2008 kl. 10.02
Rad 309:		Rad 309:
	Rotlagarna är egentligen specialfall av potenslagarna.		Rotlagarna är egentligen specialfall av potenslagarna.

-	Exempelvis: <math>\sqrt{x}=x^{1/2}</math>	+	Exempelvis: <math>\sqrt{x}=x^{1/2}</math>.

Tek den 18 april 2008 kl. 09.12

2008-04-18T09:12:03Z

Tek den 27 mars 2008 kl. 18.40

2008-03-27T18:40:32Z

← Äldre version		Versionen från 27 mars 2008 kl. 18.40
Rad 1:		Rad 1:
	__NOTOC__		__NOTOC__
		+	{\| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
		+	\| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" \|
		+	{{Mall:Vald flik\|[[3.1 Rötter\|Teori]]}}
		+	{{Mall:Ej vald flik\|[[3.1 Övningar\|Övningar]]}}
		+	\| style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"\|
		+	\|}
		+
	{{Info\|		{{Info\|
	'''Innehåll:'''		'''Innehåll:'''
Rad 288:		Rad 295:


-	<div class="inforuta">	+	<div class="inforuta" style="width:580px;">
	'''Råd för inläsning'''		'''Råd för inläsning'''

Tek: Ny sida: NOTOC {{Info| '''Innehåll:''' Kvadratrot och ''n'':te rot Rotlagar }} {{Info| '''Lärandemål:''' Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att: *Skriva om ett rotuttryck i potensfor...

2008-03-20T09:40:04Z

Ny sida: __NOTOC__ {{Info| '''Innehåll:''' *Kvadratrot och ''n'':te rot *Rotlagar }} {{Info| '''Lärandemål:''' Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att: *Skriva om ett rotuttryck i potensfor...

Ny sida

__NOTOC__
{{Info|
'''Innehåll:'''
*Kvadratrot och ''n'':te rot
*Rotlagar
}}

{{Info|
'''Lärandemål:'''

Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att:
*Skriva om ett rotuttryck i potensform.
*Beräkna kvadratroten ur några enkla heltal.
*Kvadratroten ur ett negativt tal inte är definierat.
*Kvadratroten ur ett tal betecknar den positiva roten.
*Hantera rotlagarna i förenkling av rotuttryck.
*Veta när rotlagarna är giltiga (icke-negativa radikander).
*Förenkla rotuttryck med kvadratrötter i nämnaren.
*Veta när ''n'':te roten ur ett negativt tal är definierat (''n'' udda).
}}

== Kvadratrötter ==

[[Bild:rotbubbla.gif|right]]
Symbolen <math>\sqrt{a}</math>, kvadratroten ur <math>a</math>, används som bekant för att beteckna det tal som multiplicerat med sig självt blir <math>a</math>. Man måste dock vara lite mer exakt när man definierar denna symbol.

Ekvationen <math>x^2 = 4</math> har två lösningar <math>x = 2</math> och <math>x = -2</math>, eftersom såväl <math>2\cdot 2 = 4</math> som <math>(-2)\cdot(-2) = 4</math>. Man skulle då kunna tro att <math>\sqrt{4}</math> kan vara vilket som helst av <math>-2</math> och <math>2</math>, dvs. <math>\sqrt{4}= \pm 2</math>, men <math>\sqrt{4}</math> betecknar '''bara''' det positiva talet <math>2</math>.

<div class="regel">
Kvadratroten <math>\sqrt{a}</math> betecknar det '''icke-negativa tal''' som multiplicerat med sig självt blir <math>a,</math> dvs. den icke-negativa lösningen till ekvationen <math>x^2 = a</math>.

Kvadratroten ur <math>a</math> kan även skrivas <math>a^{1/2}</math>.
</div>

Det är därför fel att påstå att <math>\sqrt{4}= \pm 2,</math> men korrekt att säga att ekvationen <math>x^2 = 4</math> har lösningarna <math>x = \pm 2</math>.

<div class="exempel">
'''Exempel 1'''

<ol type="a">
<li><math>\sqrt{0}=0 \quad</math> eftersom <math>0^2 = 0 \cdot 0
= 0</math> och <math>0</math> är inte negativ.</li>
<li><math>\sqrt{100}=10 \quad</math> eftersom <math> 10^2 = 10 \cdot 10
= 100 </math> och <math>10</math> är ett positivt tal.</li>
<li> <math>\sqrt{0{,}25}=0{,}5 \quad</math> eftersom <math>0{,}5^2
= 0{,}5 \cdot 0{,}5 = 0{,}25 </math> och <math>0{,}5</math> är positiv.</li>
<li><math>\sqrt{2} \approx 1{,}4142 \quad</math> eftersom <math>1{,}4142
\cdot 1{,}4142 \approx 2</math> och <math>1{,}4142</math> är positiv.</li>
<li>Ekvationen <math>x^2=2</math> har lösningarna <math>x=\sqrt{2}
\approx 1{,}414</math> och <math>x = -\sqrt{2} \approx -1{,}414</math>.</li>
<li><math>\sqrt{-4}\quad</math> är inte definierat, eftersom det inte finns något reellt tal <math>x</math> som uppfyller <math>x^2=-4</math>.</li>
<li><math>\sqrt{(-7)^2} = 7 \quad</math> eftersom <math> \sqrt{(-7)^2}
= \sqrt{(-7) \cdot (-7)} = \sqrt{49} = \sqrt{ 7 \cdot 7} = 7</math>.</li>
</ol>
</div>

När man räknar med kvadratrötter kan det vara bra att känna till några räkneregler. Eftersom <math>\sqrt{a} = a^{1/2}</math> kan vi överföra potenslagarna till "rotlagar". Vi har t.ex. att
{{Fristående formel||<math>\sqrt{9\cdot 4}
= (9\cdot 4)^{1/2}
= 9^{1/2}\cdot 4^{1/2}
= \sqrt{9}\cdot \sqrt{4}\mbox{.}</math>}}
På detta sätt kan vi få fram följande räkneregler för kvadratrötter,
som gäller för alla reella tal <math> a, b \ge 0:</math>

<div class="regel">
{{Fristående formel||<math>\begin{align*}
\sqrt{ab} &= \sqrt{\vphantom{b}a}\cdot \sqrt{b}\\[4pt]
\sqrt{\frac{a}{b}} &= \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\\[4pt]
a\sqrt{b} &= \sqrt{a^2b}
\end{align*}</math>}}
</div>
(Vi måste dock vid divisionen ovan som vanligt förutsätta att ''b'' inte är 0.)

<div class="exempel">
'''Exempel 2'''

<ol type="a">
<li><math>\sqrt{64\cdot 81} = \sqrt{64}\cdot \sqrt{81} = 8\cdot 9
= 72</math></li>
<li><math>\sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{25}}
= \frac{3}{5}</math></li>
<li><math>\sqrt{18} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{18 \cdot 2} = \sqrt{36}
= 6</math></li>
<li><math>\frac{\sqrt{75}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{75}{3}}
= \sqrt{25} = 5</math></li>
<li><math>\sqrt{12} = \sqrt{ 4 \cdot 3 } = \sqrt{4} \cdot \sqrt{3}
= 2\sqrt{3}</math></li>
</ol>
</div>

Observera att räknereglerna ovan förutsätter att <math>a</math> och <math>b \ge 0</math>. Om <math>a</math> och <math>b</math> är negativa (< 0) så är inte <math>\sqrt{a}</math> och <math>\sqrt{b}</math> definierade som reella tal. Man skulle t.ex. kunna frestas att skriva

{{Fristående formel||<math>-1 = \sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1} = \sqrt{ (-1) \cdot (-1) } = \sqrt{1} = 1</math>}}

men ser då att något inte stämmer. Anledningen är att <math> \sqrt{-1} </math> inte är ett reellt tal, vilket alltså gör att räknereglerna ovan inte får användas.

== Högre ordningars rötter ==

Kubikroten ur ett tal <math>a</math> definieras som det tal som multiplicerat med sig själv tre gånger ger <math>a</math>, och betecknas <math>\sqrt[\scriptstyle 3]{a}</math>.

<div class="exempel">
'''Exempel 3'''

<ol type="a">
<li><math>\sqrt[\scriptstyle 3]{8} = 2 \quad</math> eftersom <math>2
\cdot 2 \cdot 2=8</math>.</li>
<li><math>\sqrt[\scriptstyle 3]{0{,}027} = 0{,}3
\quad</math> eftersom <math>0{,}3 \cdot 0{,}3 \cdot 0{,}3
= 0{,}027</math>.</li>
<li><math>\sqrt[\scriptstyle 3]{-8} = -2 \quad</math> eftersom <math>(-2)
\cdot (-2) \cdot (-2)= -8</math>.
</ol>
</div>

Notera att, till skillnad från kvadratrötter, är kubikrötter även definierade för negativa tal.

Det går sedan att för postiva heltal <math>n</math> definiera n:te roten ur ett tal <math>a</math> som

* om <math>n</math> är jämn och <math>a\ge0</math> är <math>\sqrt[\scriptstyle n]{a}</math> det icke-negativa tal som multiplicerat med sig själv <math>n</math> gånger blir <math>a</math>,
* om <math>n</math> är udda så är <math>\sqrt[\scriptstyle n]{a}</math> det tal som multiplicerat med sig självt <math>n</math> gånger blir <math>a</math>.

Roten <math>\sqrt[\scriptstyle n]{a}</math> kan även skrivas som <math>a^{1/n}</math>.

<div class="exempel">
'''Exempel 4'''

<ol type="a">
<li><math>\sqrt[\scriptstyle 4]{625} = 5\quad</math> eftersom <math>5
\cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 625</math>.</li>
<li><math>\sqrt[\scriptstyle 5]{-243} = -3\quad</math> eftersom <math>(-3)
\cdot (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) = -243</math>.</li>
<li><math>\sqrt[\scriptstyle 6]{-17}\quad</math> är inte definierat eftersom <math>6</math> är jämn och <math>-17</math> är ett negativt tal.</li>
</ol>
</div>

För <math>n</math>:te rötter gäller samma räkneregler som för kvadratrötter om <math>a, \, b \ge 0</math>. Observera att om <math>n</math> är udda gäller de även för negativa <math>a</math> och <math>b</math>, dvs. för alla reella tal <math>a</math> och <math>b</math>.

<div class="regel">
{{Fristående formel||<math>\begin{align*}
\sqrt[\scriptstyle n]{ab}
&= \sqrt[\scriptstyle n]{\vphantom{b}a}\cdot
\sqrt[\scriptstyle n]{b}\\[4pt]
\sqrt[\scriptstyle n]{\frac{a}{b}}
&= \frac{\sqrt[\scriptstyle n]{a}}{\sqrt[\scriptstyle n]{b}}\\[4pt]
a\,\sqrt[\scriptstyle n]{b}
&= \sqrt[\scriptstyle n]{a^nb}
\end{align*}</math>}}
</div>

== Förenkling av rotuttryck ==

Ofta kan man genom att använda räknereglerna för rötter förenkla rotuttryck väsentligt. Liksom vid potensräkning handlar det ofta om att bryta ner uttryck i så "små" rötter som möjligt. Exempelvis gör man gärna omskrivningen

{{Fristående formel||<math>\sqrt{8}
= \sqrt{4\cdot2}
= \sqrt{4} \cdot \sqrt{2}
= 2\sqrt{2}</math>}}

eftersom man då kan förenkla t.ex.

{{Fristående formel||<math>\frac{\sqrt{8}}{2}
= \frac{2 \sqrt{2}}{2}
= \sqrt{2}\mbox{.}</math>}}

Genom att skriva rotuttryck i termer av "små" rötter kan man också addera rötter av "samma sort", t.ex.

{{Fristående formel||<math>\sqrt{8} + \sqrt{2}
= 2\sqrt{2} + \sqrt{2}
= (2+1)\sqrt{2}
= 3\sqrt{2}\mbox{.}</math>}}

<div class="exempel">
'''Exempel 5'''

<ol type="a">
<li><math>\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{18}}
= \frac{\sqrt{2 \cdot 4}}{\sqrt{2 \cdot 9}}
= \frac{\sqrt{2 \cdot 2 \cdot 2}}{\sqrt{2 \cdot 3 \cdot 3}}
= \frac{\sqrt{2 \cdot 2^2}}{\sqrt{2 \cdot 3^2}}
= \frac{2\sqrt{2}}{3\sqrt{2}}
= \frac{2}{3}</math></li>
<li><math>\frac{\sqrt{72}}{6}
= \frac{\sqrt{8 \cdot 9}}{ 2 \cdot 3}
= \frac{\sqrt{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3}}{ 2 \cdot 3}
= \frac{\sqrt{2^2 \cdot 3^2 \cdot 2}}{ 2 \cdot 3}
= \frac{2 \cdot 3\sqrt{2}}{2 \cdot 3}
= \sqrt{2}</math></li>
<li><math>\sqrt{45} + \sqrt{20}
= \sqrt{9\cdot5} + \sqrt{4\cdot5}
= \sqrt{3^2\cdot5} + \sqrt{2^2\cdot5}
= 3\sqrt{5} + 2\sqrt{5}\vphantom{\bigl(}</math><br/>
<math>\phantom{\sqrt{45} + \sqrt{20}\vphantom{\bigl(}}{}
= (3+2)\sqrt{5}
= 5\sqrt{5}</math></li>
<li><math>\sqrt{50} + 2\sqrt{3} -\sqrt{32} + \sqrt{27}\vphantom{\Bigl(}
= \sqrt{5 \cdot 10} + 2\sqrt{3} -\sqrt{2 \cdot 16}
+ \sqrt{3 \cdot 9}</math><br/>
<math>\phantom{\sqrt{50} + 2\sqrt{3} -\sqrt{32} + \sqrt{27}\vphantom{\Bigl(}}{}
= \sqrt{5 \cdot 2 \cdot 5} + 2\sqrt{3} -\sqrt{2 \cdot 4 \cdot 4}
+ \sqrt{3 \cdot 3 \cdot 3}\vphantom{a^{b^c}}</math><br>
<math>\phantom{\sqrt{50} + 2\sqrt{3} -\sqrt{32} + \sqrt{27}\vphantom{\Bigl(}}{}
= \sqrt{5^2 \cdot 2 } + 2\sqrt{3} -\sqrt{2^2 \cdot 2^2 \cdot 2}
+ \sqrt{3 \cdot 3^2}\vphantom{a^{\textstyle b^{\textstyle c}}}</math><br>
<math>\phantom{\sqrt{50} + 2\sqrt{3} -\sqrt{32} + \sqrt{27}\vphantom{\Bigl(}}{}
= 5\sqrt{2} +2\sqrt{3} - 2 \cdot 2\sqrt{2}
+ 3\sqrt{3}\vphantom{a^{\textstyle b^{\textstyle c}}}</math><br>
<math>\phantom{\sqrt{50} + 2\sqrt{3} -\sqrt{32} + \sqrt{27}\vphantom{\Bigl(}}{}
= (5-4)\sqrt{2}
+ (2+3)\sqrt{3}\vphantom{a^{\textstyle b^{\textstyle c}}}</math><br>
<math>\phantom{\sqrt{50} + 2\sqrt{3} -\sqrt{32} + \sqrt{27}\vphantom{\Bigl(}}{}
= \sqrt{2}
+ 5\sqrt{3}\vphantom{a^{\textstyle b^{\textstyle c}}}</math></li>
<li><math>\frac{ 2\cdot\sqrt[\scriptstyle3]{3} }{ \sqrt[\scriptstyle3]{12} }
= \frac{ 2\cdot\sqrt[\scriptstyle3]{3} }{
\sqrt[\scriptstyle3]{3 \cdot 4} }
= \frac{ 2\cdot\sqrt[\scriptstyle3]{3} }{ \sqrt[\scriptstyle3]{3}
\cdot \sqrt[\scriptstyle3]{4} }
= \frac{ 2 }{ \sqrt[\scriptstyle3]{4} }
= \frac{ 2 }{ \sqrt[\scriptstyle3]{2 \cdot 2} }
= \frac{ 2 }{ \sqrt[\scriptstyle3]{2} \cdot \sqrt[\scriptstyle3]{2} }
\cdot \displaystyle \frac{\sqrt[\scriptstyle3]{2}}{
\sqrt[\scriptstyle3]{2}}
= \frac{ 2\cdot\sqrt[\scriptstyle3]{2} }{ 2 }
= \sqrt[\scriptstyle3]{2}</math></li>
<li><math>(\sqrt{3} + \sqrt{2}\,)(\sqrt{3} - \sqrt{2}\,)
= (\sqrt{3}\,)^2-(\sqrt{2}\,)^2 = 3-2 = 1</math>
:där vi använt konjugatregeln <math>(a+b)(a-b) = a^2 - b^2</math> med <math>a=\sqrt{3}</math> och <math>b=\sqrt{2}</math>.</li>
</ol>
</div>

== Rationella rotuttryck ==

När rötter förekommer i ett rationellt uttryck vill man ofta undvika rötter i nämnaren (eftersom det är svårt vid handräkning att dividera med irrationella tal). Genom att förlänga med <math> \sqrt{2} </math> kan man exempelvis göra omskrivningen

{{Fristående formel||<math>\frac{1}{\sqrt{2}}
= \frac{1\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}
= \frac{\sqrt{2}}{2}</math>}}

vilket oftast är att föredra.

I andra fall kan man utnyttja konjugatregeln, <math>(a+b)(a-b) = a^2 - b^2</math>, och förlänga med nämnarens s.k. ''konjugerade uttryck''. På så sätt försvinner rottecknen från nämnaren genom kvadreringen, t.ex.

{{Fristående formel||<math>\begin{align*}
\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}+1}
&= \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}+1} \cdot \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}-1}
= \frac{\sqrt{3}\,(\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)}\\[4pt]
&= \frac{\sqrt{3}\cdot\sqrt{2} - \sqrt{3}\cdot1}{(\sqrt{2}\,)^2 - 1^2 }
= \frac{\sqrt{3 \cdot 2} - \sqrt{3}}{ 2 - 1 }
= \frac{\sqrt{6} - \sqrt{3}}{ 1 }
= \sqrt{6} - \sqrt{3}\mbox{.}
\end{align*}</math>}}

<div class="exempel">
'''Exempel 6'''

<ol type="a">
<li><math>\frac{10\sqrt{3}}{\sqrt{5}}
= \frac{10\sqrt{3}\cdot\sqrt{5}}{\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}}
= \frac{10\sqrt{15}}{5}
= 2\sqrt{15}</math></li>
<li><math>\frac{1+\sqrt{3}}{\sqrt{2}}
= \frac{(1+\sqrt{3})\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}
= \frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}</math></li>
<li><math>\frac{3}{\sqrt{2}-2}
= \frac{3(\sqrt{2}+2)}{(\sqrt{2}-2)(\sqrt{2}+2)}
= \frac{3\sqrt{2}+6}{(\sqrt{2}\,)^2-2^2}
= \frac{3\sqrt{2}+6}{2-4}
= -\frac{3\sqrt{2}+6}{2}</math></li>
<li><math>\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}+\sqrt{3}}
= \frac{\sqrt{2}\,(\sqrt{6}-\sqrt{3}\,)}{(\sqrt{6}+\sqrt{3}\,)
(\sqrt{6}-\sqrt{3}\,)}
= \frac{\sqrt{2}\,\sqrt{6}-\sqrt{2}\,\sqrt{3}}{(\sqrt{6}\,)^2
-(\sqrt{3}\,)^2}\vphantom{\Biggl(}</math><br>
<math>\phantom{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}+\sqrt{3}}\vphantom{\Biggl(}}{}
= \frac{\sqrt{2}\,\sqrt{2\cdot 3}-\sqrt{2}\,\sqrt{3}}{6-3}
= \frac{2\sqrt{3}-\sqrt{2}\,\sqrt{3}}{3}
= \frac{(2-\sqrt{2}\,)\sqrt{3}}{3}
\vphantom{\displaystyle\frac{a^{\textstyle b^{\textstyle c}}}{b}}</math></li>
</ol>
</div>

[[3.1 Övningar|Övningar]]

<div class="inforuta">
'''Råd för inläsning'''

'''Grund- och slutprov'''

Efter att du har läst texten och arbetat med övningarna ska du göra grund- och slutprovet för att bli godkänd på detta avsnitt. Du hittar länken till proven i din student lounge.

'''Tänk på att:'''

Kvadratroten ur ett tal är alltid icke-negativ (dvs. positiv eller lika med noll)!

Rotlagarna är egentligen specialfall av potenslagarna.

Exempelvis: <math>\sqrt{x}=x^{1/2}</math>

'''Lästips'''

För dig som vill fördjupa dig ytterligare eller behöver en längre förklaring

[http://en.wikipedia.org/wiki/Root_(mathematics) Läs mer om kvadratrötter i engelska Wikipedia]

[http://www.mathacademy.com/pr/prime/articles/irr2/ Hur vet man att roten ur 2 inte är ett bråktal?]

'''Länktips'''

[http://mathforum.org/dr.math/faq/faq.sqrt.by.hand.html Hur man finner roten ur ett tal, utan hjälp av miniräknare?]
</div>

← Äldre version		Versionen från 30 april 2010 kl. 11.26
Rad 4:		Rad 4:
	{{Mall:Vald flik\|[[3.1 Rötter\|Teori]]}}		{{Mall:Vald flik\|[[3.1 Rötter\|Teori]]}}
	{{Mall:Ej vald flik\|[[3.1 Övningar\|Övningar]]}}		{{Mall:Ej vald flik\|[[3.1 Övningar\|Övningar]]}}
		+	{{Mall:Ej vald flik\|[[3.1 Ja eller Nej?\|Ja/Nej?]]}}
	\| style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"\|		\| style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"\|
	\|}		\|}

← Äldre version		Versionen från 18 april 2008 kl. 09.12
Rad 19:		Rad 19:
	*Skriva om ett rotuttryck i potensform.		*Skriva om ett rotuttryck i potensform.
	*Beräkna kvadratroten ur några enkla heltal.		*Beräkna kvadratroten ur några enkla heltal.
-	*Kvadratroten ur ett negativt tal inte är ~~definierat~~.	+	*Kvadratroten ur ett negativt tal inte är definierad.
	*Kvadratroten ur ett tal betecknar den positiva roten.		*Kvadratroten ur ett tal betecknar den positiva roten.
	*Hantera rotlagarna i förenkling av rotuttryck.		*Hantera rotlagarna i förenkling av rotuttryck.
	*Veta när rotlagarna är giltiga (icke-negativa radikander).		*Veta när rotlagarna är giltiga (icke-negativa radikander).
	*Förenkla rotuttryck med kvadratrötter i nämnaren.		*Förenkla rotuttryck med kvadratrötter i nämnaren.
-	*Veta när ''n'':te roten ur ett negativt tal är ~~definierat~~ (''n'' udda).	+	*Veta när ''n'':te roten ur ett negativt tal är definierad (''n'' udda).
	}}		}}

Rad 32:		Rad 32:
	Symbolen <math>\sqrt{a}</math>, kvadratroten ur <math>a</math>, används som bekant för att beteckna det tal som multiplicerat med sig självt blir <math>a</math>. Man måste dock vara lite mer exakt när man definierar denna symbol.		Symbolen <math>\sqrt{a}</math>, kvadratroten ur <math>a</math>, används som bekant för att beteckna det tal som multiplicerat med sig självt blir <math>a</math>. Man måste dock vara lite mer exakt när man definierar denna symbol.

-	Ekvationen <math>x^2 = 4</math> har två lösningar <math>x = 2</math> och <math>x = -2</math>, eftersom såväl <math>2\cdot 2 = 4</math> som <math>(-2)\cdot(-2) = 4</math>. Man skulle då kunna tro att <math>\sqrt{4}</math> kan vara ~~vilket~~ som helst av <math>-2</math> och <math>2</math>, dvs. <math>\sqrt{4}= \pm 2</math>, men <math>\sqrt{4}</math> betecknar '''bara''' det positiva talet <math>2</math>.	+	Ekvationen <math>x^2 = 4</math> har två lösningar <math>x = 2</math> och <math>x = -2</math>, eftersom såväl <math>2\cdot 2 = 4</math> som <math>(-2)\cdot(-2) = 4</math>. Man skulle då kunna tro att <math>\sqrt{4}</math> kan vara vilken som helst av <math>-2</math> och <math>2</math>, dvs. <math>\sqrt{4}= \pm 2</math>, men <math>\sqrt{4}</math> betecknar '''bara''' det positiva talet <math>2</math>.


Rad 57:		Rad 57:
	<li>Ekvationen <math>x^2=2</math> har lösningarna <math>x=\sqrt{2}		<li>Ekvationen <math>x^2=2</math> har lösningarna <math>x=\sqrt{2}
	\approx 1{,}414</math> och <math>x = -\sqrt{2} \approx -1{,}414</math>.</li>		\approx 1{,}414</math> och <math>x = -\sqrt{2} \approx -1{,}414</math>.</li>
-	<li><math>\sqrt{-4}\quad</math> är inte ~~definierat~~, eftersom det inte finns något reellt tal <math>x</math> som uppfyller <math>x^2=-4</math>.</li>	+	<li><math>\sqrt{-4}\quad</math> är inte definierad, eftersom det inte finns något reellt tal <math>x</math> som uppfyller <math>x^2=-4</math>.</li>
	<li><math>\sqrt{(-7)^2} = 7 \quad</math> eftersom <math> \sqrt{(-7)^2}		<li><math>\sqrt{(-7)^2} = 7 \quad</math> eftersom <math> \sqrt{(-7)^2}
	= \sqrt{(-7) \cdot (-7)} = \sqrt{49} = \sqrt{ 7 \cdot 7} = 7</math>.</li>		= \sqrt{(-7) \cdot (-7)} = \sqrt{49} = \sqrt{ 7 \cdot 7} = 7</math>.</li>
Rad 106:		Rad 106:
	== Högre ordningars rötter ==		== Högre ordningars rötter ==

-	Kubikroten ur ett tal <math>a</math> definieras som det tal som multiplicerat med sig ~~själv~~ tre gånger ger <math>a</math>, och betecknas <math>\sqrt[\scriptstyle 3]{a}</math>.	+	Kubikroten ur ett tal <math>a</math> definieras som det tal som multiplicerat med sig självt tre gånger ger <math>a</math>, och betecknas <math>\sqrt[\scriptstyle 3]{a}</math>.

	<div class="exempel">		<div class="exempel">
Rad 124:		Rad 124:
	Notera att, till skillnad från kvadratrötter, är kubikrötter även definierade för negativa tal.		Notera att, till skillnad från kvadratrötter, är kubikrötter även definierade för negativa tal.

-	Det går sedan att för ~~postiva~~ heltal <math>n</math> definiera n:te roten ur ett tal <math>a</math> som	+	Det går sedan att för positiva heltal <math>n</math> definiera ''n'':te roten ur ett tal <math>a</math> som

-	* om <math>n</math> är jämn och <math>a\ge0</math> är <math>\sqrt[\scriptstyle n]{a}</math> det icke-negativa tal som multiplicerat med sig ~~själv~~ <math>n</math> gånger blir <math>a</math>,	+	* om <math>n</math> är jämn och <math>a\ge0</math> är <math>\sqrt[\scriptstyle n]{a}</math> det icke-negativa tal som multiplicerat med sig självt <math>n</math> gånger blir <math>a</math>,
	* om <math>n</math> är udda så är <math>\sqrt[\scriptstyle n]{a}</math> det tal som multiplicerat med sig självt <math>n</math> gånger blir <math>a</math>.		* om <math>n</math> är udda så är <math>\sqrt[\scriptstyle n]{a}</math> det tal som multiplicerat med sig självt <math>n</math> gånger blir <math>a</math>.

Rad 139:		Rad 139:
	<li><math>\sqrt[\scriptstyle 5]{-243} = -3\quad</math> eftersom <math>(-3)		<li><math>\sqrt[\scriptstyle 5]{-243} = -3\quad</math> eftersom <math>(-3)
	\cdot (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) = -243</math>.</li>		\cdot (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) = -243</math>.</li>
-	<li><math>\sqrt[\scriptstyle 6]{-17}\quad</math> är inte ~~definierat~~ eftersom <math>6</math> är jämn och <math>-17</math> är ett negativt tal.</li>	+	<li><math>\sqrt[\scriptstyle 6]{-17}\quad</math> är inte definierad eftersom <math>6</math> är jämn och <math>-17</math> är ett negativt tal.</li>
	</ol>		</ol>
	</div>		</div>