3.4 Logaritmekvationer - Versionshistorik

Tek: Länkar in Ja/Nej-frågor

2010-04-30T11:29:41Z

Länkar in Ja/Nej-frågor

← Äldre version		Versionen från 30 april 2010 kl. 11.29
Rad 4:		Rad 4:
	{{Mall:Vald flik\|[[3.4 Logaritmekvationer\|Teori]]}}		{{Mall:Vald flik\|[[3.4 Logaritmekvationer\|Teori]]}}
	{{Mall:Ej vald flik\|[[3.4 Övningar\|Övningar]]}}		{{Mall:Ej vald flik\|[[3.4 Övningar\|Övningar]]}}
		+	{{Mall:Ej vald flik\|[[3.4 Ja eller Nej?\|Ja/Nej?]]}}
	\| style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"\|		\| style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"\|
	\|}		\|}

Tek: Tog bort mellanslag i början av rader i fristående formler för att undvika tomma boxar i IE

2009-08-19T08:13:58Z

Tog bort mellanslag i början av rader i fristående formler för att undvika tomma boxar i IE

← Äldre version		Versionen från 19 augusti 2009 kl. 08.13
Rad 27:		Rad 27:

	{{Fristående formel\|\|<math>\begin{align*}		{{Fristående formel\|\|<math>\begin{align*}
-	10^x = y\quad&\Leftrightarrow\quad x = \lg y\\	+	10^x = y\quad&\Leftrightarrow\quad x = \lg y\\
-	e^x = y\quad&\Leftrightarrow\quad x = \ln y\\	+	e^x = y\quad&\Leftrightarrow\quad x = \ln y\\
-	\end{align*}</math>}}	+	\end{align*}</math>}}

	(Vi använder oss här enbart av 10-logaritmer eller naturliga logaritmer.)		(Vi använder oss här enbart av 10-logaritmer eller naturliga logaritmer.)
Rad 175:		Rad 175:

	{{Fristående formel\|\|<math>\begin{align*}		{{Fristående formel\|\|<math>\begin{align*}
-	\textstyle (\ln x)^2 + \ln x -1	+	\textstyle (\ln x)^2 + \ln x -1
-	&= \bigl( \ln x + \frac{1}{2} \bigr)^2 - \bigl(\frac{1}{2} \bigr)^2 - 1\\	+	&= \bigl( \ln x + \frac{1}{2} \bigr)^2 - \bigl(\frac{1}{2} \bigr)^2 - 1\\
-	&= \bigl( \ln x + \frac{1}{2} \bigr)^2 - \frac{5}{4}\\	+	&= \bigl( \ln x + \frac{1}{2} \bigr)^2 - \frac{5}{4}\\
-	\end{align*}</math>}}	+	\end{align*}</math>}}

	följt av rotutdragning ger att		följt av rotutdragning ger att

	{{Fristående formel\|\|<math>		{{Fristående formel\|\|<math>
-	\ln x = -\frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{5}}{2} \,\mbox{.}</math>}}	+	\ln x = -\frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{5}}{2} \,\mbox{.}</math>}}

	Detta betyder att ekvationen har två lösningar		Detta betyder att ekvationen har två lösningar

	{{Fristående formel\|\|<math>		{{Fristående formel\|\|<math>
-	x= e^{(-1 + \sqrt{5})/2}	+	x= e^{(-1 + \sqrt{5})/2}
-	\quad \mbox{och} \quad	+	\quad \mbox{och} \quad
-	x= e^{-(1+\sqrt{5})/2}\,\mbox{.}</math>}}	+	x= e^{-(1+\sqrt{5})/2}\,\mbox{.}</math>}}
	</div>		</div>

Rad 215:		Rad 215:

	{{Fristående formel\|\|<math>		{{Fristående formel\|\|<math>
-	\textstyle x= -\frac{1}{2}	+	\textstyle x= -\frac{1}{2}
-	\quad\mbox{och}\quad	+	\quad\mbox{och}\quad
-	x = \frac{1}{2} \; \mbox{.}</math>}}	+	x = \frac{1}{2} \; \mbox{.}</math>}}

	Vi kontrollerar nu om båda led i <math>(*)</math> är positiva		Vi kontrollerar nu om båda led i <math>(*)</math> är positiva
Rad 242:		Rad 242:

	{{Fristående formel\|\|<math>\begin{align*}		{{Fristående formel\|\|<math>\begin{align*}
-	\textstyle \bigl(t-\frac{1}{2}\bigr)^2 - \bigl(\frac{1}{2}\bigr)^2	+	\textstyle \bigl(t-\frac{1}{2}\bigr)^2 - \bigl(\frac{1}{2}\bigr)^2
-	&= \frac{1}{2}\,\mbox{,}\\	+	&= \frac{1}{2}\,\mbox{,}\\
-	\bigl(t-\frac{1}{2}\bigr)^2	+	\bigl(t-\frac{1}{2}\bigr)^2
-	&= \frac{3}{4}\,\mbox{,}\\	+	&= \frac{3}{4}\,\mbox{,}\\
-	\end{align*}</math>}}	+	\end{align*}</math>}}

	vilket ger lösningarna		vilket ger lösningarna

	{{Fristående formel\|\|<math>		{{Fristående formel\|\|<math>
-	t=\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}	+	t=\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}
-	\quad\mbox{och}\quad	+	\quad\mbox{och}\quad
-	t=\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \, \mbox{.}</math>}}	+	t=\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \, \mbox{.}</math>}}

	Eftersom <math>\sqrt3 > 1</math> så är <math>\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\sqrt3 <0</math> och det är bara <math>t= \frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt3</math> som ger en lösning till den ursprungliga ekvationen eftersom <math>e^x</math> alltid är positiv. Logaritmering ger slutligen att		Eftersom <math>\sqrt3 > 1</math> så är <math>\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\sqrt3 <0</math> och det är bara <math>t= \frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt3</math> som ger en lösning till den ursprungliga ekvationen eftersom <math>e^x</math> alltid är positiv. Logaritmering ger slutligen att

	{{Fristående formel\|\|<math>		{{Fristående formel\|\|<math>
-	x = \ln \Bigl(\,\frac{1}{2}+\frac{\sqrt3}{2}\,\Bigr)</math>}}	+	x = \ln \Bigl(\,\frac{1}{2}+\frac{\sqrt3}{2}\,\Bigr)</math>}}

	är den enda lösningen till ekvationen.		är den enda lösningen till ekvationen.

Tek den 27 mars 2008 kl. 18.50

2008-03-27T18:50:23Z

← Äldre version		Versionen från 27 mars 2008 kl. 18.50
Rad 1:		Rad 1:
	__NOTOC__		__NOTOC__
		+	{\| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
		+	\| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" \|
		+	{{Mall:Vald flik\|[[3.4 Logaritmekvationer\|Teori]]}}
		+	{{Mall:Ej vald flik\|[[3.4 Övningar\|Övningar]]}}
		+	\| style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"\|
		+	\|}
		+
	{{Info\|		{{Info\|
	'''Innehåll:'''		'''Innehåll:'''
Rad 259:		Rad 266:
	[[3.4 Övningar\|Övningar]]		[[3.4 Övningar\|Övningar]]

-	<div class="inforuta">	+	<div class="inforuta" style="width:580px;">
	'''Råd för inläsning'''		'''Råd för inläsning'''

Tek: Ny sida: NOTOC {{Info| '''Innehåll:''' * Logaritmekvationer * Exponentialekvationer * Falska rötter. }} {{Info| '''Lärandemål:''' Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att: * Lösa ekvat...

2008-03-20T11:29:23Z

Ny sida: __NOTOC__ {{Info| '''Innehåll:''' * Logaritmekvationer * Exponentialekvationer * Falska rötter. }} {{Info| '''Lärandemål:''' Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att: * Lösa ekvat...

Ny sida

__NOTOC__
{{Info|
'''Innehåll:'''
* Logaritmekvationer
* Exponentialekvationer
* Falska rötter.
}}

{{Info|
'''Lärandemål:'''

Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att:
* Lösa ekvationer som innehåller logaritm- eller exponentialuttryck och som kan reduceras till första- eller andragradsekvationer.
* Hantera falska rötter och veta när de uppstår.
}}

== Grundekvationer ==

Ekvationer där logaritmer behövs eller är inblandade förekommer i många olika fall. Först ges några exempel där lösningen ges nästan direkt genom definitionen av logaritm, dvs.

{{Fristående formel||<math>\begin{align*}
10^x = y\quad&\Leftrightarrow\quad x = \lg y\\
e^x = y\quad&\Leftrightarrow\quad x = \ln y\\
\end{align*}</math>}}

(Vi använder oss här enbart av 10-logaritmer eller naturliga logaritmer.)

<div class="exempel">
'''Exempel 1'''

Lös ekvationerna
<ol type="a">
<li><math>10^x = 537\quad</math> har lösningen <math>x = \lg 537</math>.</li>
<li><math>10^{5x} = 537\quad</math> ger att <math>5x
= \lg 537</math>, dvs. <math>x=\frac{1}{5} \lg 537</math>.</li>
<li><math>\frac{3}{e^x} = 5 \quad
</math> Multiplikation av båda led med <math>e^x
</math> och division med 5 ger att <math>\tfrac{3}{5}=e^x
</math>, vilket betyder att <math>x=\ln\tfrac{3}{5}</math>.</li>
<li><math>\lg x = 3 \quad</math> Definitionen ger direkt att <math>
x=10^3 = 1000</math>.</li>
<li><math>\lg(2x-4) = 2 \quad</math> Från definitionen har vi att <math>
2x-4 = 10^2 = 100</math> och då följer att <math>x = 52</math>.</li>
</ol>
</div>

<div class="exempel">
'''Exempel 2'''

<ol type="a">
<li> Lös ekvationen <math>\,(\sqrt{10}\,)^x = 25</math>.
<br>
<br>
Eftersom <math>\sqrt{10} = 10^{1/2}</math> är vänsterledet lika med <math>(\sqrt{10}\,)^x = (10^{1/2})^x = 10^{x/2}</math> och ekvationen lyder
{{Fristående formel||<math>10^{x/2} = 25\,\mbox{.}</math>}}
Denna grundekvation har lösningen <math>\frac{x}{2} = \lg 25</math>, dvs. <math>x = 2 \lg 25</math>.</li>

<li>Lös ekvationen <math>\,\frac{3 \ln 2x}{2} + 1 = \frac{1}{2}</math>.
<br>
<br>
Multiplicera båda led med 2 och subtrahera sedan 2 från båda led
{{Fristående formel||<math> 3 \ln 2x = -1\,\mbox{.}</math>}}
Dividera båda led med 3
{{Fristående formel||<math> \ln 2x = -\frac{1}{3}\,\mbox{.}</math>}}
Nu ger definitionen direkt att <math>2x = e^{-1/3}</math>, vilket betyder att
{{Fristående formel||<math> x = {\textstyle\frac{1}{2}} e^{-1/3} = \frac{1}{2e^{1/3}}\,\mbox{.} </math>}}</li>
</ol>
</div>

I många praktiska tillämpningar rörande exponentiell tillväxt eller avtagande dyker det upp ekvationer av typen
{{Fristående formel||<math>a^x = b\,\mbox{,}</math>}}
där <math>a</math> och <math>b</math> är positiva tal. Dessa ekvationer löses enklast genom att ta logaritmen för båda led

{{Fristående formel||<math>\lg a^x = \lg b</math>}}

och använda logaritmlagen för potenser

{{Fristående formel||<math>x \cdot \lg a = \lg b</math>}}

vilket ger lösningen <math>\ x = \displaystyle \frac{\lg b}{\lg a}</math>.

<div class="exempel">
'''Exempel 3'''

<ol type="a">
<li>Lös ekvationen <math>\,3^x = 20</math>.
<br>
<br>
Logaritmera båda led
{{Fristående formel||<math>\lg 3^x = \lg 20\,\mbox{.}</math>}}
Vänsterledet kan skrivas som <math>\lg 3^x = x \cdot \lg 3</math> och då får vi att
{{Fristående formel||<math>x = \displaystyle \frac{\lg 20}{\lg 3} \quad ({}\approx 2{,}727)\,\mbox{.}</math>}}</li>

<li>Lös ekvationen <math>\ 5000 \cdot 1{,}05^x = 10\,000</math>.
<br>
<br>
Dividera båda led med 5000
{{Fristående formel||<math>1{,}05^x = \displaystyle \frac{ 10\,000}{5\,000} = 2\,\mbox{.}</math>}}
Denna ekvation löser vi genom att logaritmera båda led med lg och skriva om vänsterledet som <math>\lg 1{,}05^x = x\cdot\lg 1{,}05</math>,
{{Fristående formel||<math>x = \frac{\lg 2}{\lg 1{,}05} \quad ({}\approx 14{,}2)\,\mbox{.}</math>}}</li>
</ol>
</div>

<div class="exempel">
'''Exempel 4'''

<ol type="a">
<li>Lös ekvationen <math>\ 2^x \cdot 3^x = 5</math>.
<br>
<br>
Vänsterledet kan skrivas om med potenslagarna till <math>2^x\cdot 3^x=(2 \cdot 3)^x</math> och ekvationen blir
{{Fristående formel||<math>6^x = 5\,\mbox{.}</math>}}
Denna ekvation löser vi på vanligt sätt med logaritmering och får att
{{Fristående formel||<math>x = \frac{\lg 5}{\lg 6}\quad ({}\approx 0{,}898)\,\mbox{.}</math>}}</li>

<li>Lös ekvationen <math>\ 5^{2x + 1} = 3^{5x}</math>.
<br>
<br>
Logaritmera båda led och använd logaritmlagen <math>\lg a^b = b \cdot \lg a</math>
{{Fristående formel||<math>\eqalign{(2x+1)\lg 5 &= 5x \cdot \lg 3\,\mbox{,}\cr 2x \cdot \lg 5 + \lg 5 &= 5x \cdot \lg 3\,\mbox{.}\cr}</math>}}
Samla <math>x</math> i ena ledet
{{Fristående formel||<math>\eqalign{\lg 5 &= 5x \cdot \lg 3 -2x \cdot \lg 5\,\mbox{,}\cr \lg 5 &= x\,(5 \lg 3 -2 \lg 5)\,\mbox{.}\cr}</math>}}
Lösningen är
{{Fristående formel||<math>x = \frac{\lg 5}{5 \lg 3 -2 \lg 5}\,\mbox{.}</math>}}</li>
</ol>

</div>

== Några mer komplicerade ekvationer ==

Ekvationer som innehåller exponential- eller logaritmuttryck kan ibland behandlas som förstagrads- eller andragradsekvationer genom att betrakta "<math>\ln x</math>" eller "<math>e^x</math>" som obekant.

<div class="exempel">
'''Exempel 5'''

Lös ekvationen <math>\,\frac{6e^x}{3e^x+1}=\frac{5}{e^{-x}+2}</math>.
<br>
<br>
Multiplicera båda led med <math>3e^x+1</math> och <math>e^{-x}+2</math> för att få bort nämnarna

{{Fristående formel||<math>6e^x(e^{-x}+2) = 5(3e^x+1)\,\mbox{.}</math>}}

Notera att eftersom <math>e^x</math> och <math>e^{-x}</math> alltid är positiva oavsett värdet på <math>x</math> så multiplicerar vi alltså ekvationen med faktorer <math>3e^x+1</math> och <math>e^{-x} +2</math> som är skilda från noll, så detta steg riskerar inte att introducera nya (falska) rötter till ekvationen.

Förenkla båda led
{{Fristående formel||<math>6+12e^x = 15e^x+5\,\mbox{,}</math>}}
där vi använt att <math>e^{-x} \cdot e^x = e^{-x + x} = e^0 = 1</math>. Betraktar vi nu <math>e^x</math> som obekant är ekvationen väsentligen en förstagradsekvation som har lösningen
{{Fristående formel||<math>e^x=\frac{1}{3}\,\mbox{.}</math>}}

En logaritmering ger sedan svaret
{{Fristående formel||<math>x=\ln\frac{1}{3}= \ln 3^{-1} = -1 \cdot \ln 3 = -\ln 3\,\mbox{.}</math>}}
</div>

<div class="exempel">
'''Exempel 6'''

Lös ekvationen <math>\,\frac{1}{\ln x} + \ln\frac{1}{x} = 1</math>.
<br>
<br>
Termen <math>\ln\frac{1}{x}</math> kan skrivas som <math>\ln\frac{1}{x} = \ln x^{-1} = -1 \cdot \ln x = - \ln x</math> och då blir ekvationen
{{Fristående formel||<math>\frac{1}{\ln x} - \ln x = 1\,\mbox{,}</math>}}
där vi kan betrakta <math>\ln x</math> som en ny obekant. Multiplicerar vi båda led med <math>\ln x</math> (som är skild från noll när <math>x \neq 1</math>) får vi en andragradsekvation i <math>\ln x</math>
{{Fristående formel||<math>1 - (\ln x)^2 = \ln x\,\mbox{,}</math>}}
{{Fristående formel||<math> (\ln x)^2 + \ln x - 1 = 0\,\mbox{.}</math>}}

Kvadratkomplettering av vänsterledet

{{Fristående formel||<math>\begin{align*}
\textstyle (\ln x)^2 + \ln x -1
&= \bigl( \ln x + \frac{1}{2} \bigr)^2 - \bigl(\frac{1}{2} \bigr)^2 - 1\\
&= \bigl( \ln x + \frac{1}{2} \bigr)^2 - \frac{5}{4}\\
\end{align*}</math>}}

följt av rotutdragning ger att

{{Fristående formel||<math>
\ln x = -\frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{5}}{2} \,\mbox{.}</math>}}

Detta betyder att ekvationen har två lösningar

{{Fristående formel||<math>
x= e^{(-1 + \sqrt{5})/2}
\quad \mbox{och} \quad
x= e^{-(1+\sqrt{5})/2}\,\mbox{.}</math>}}
</div>

== Falska rötter ==

När man löser ekvationer gäller det också att tänka på att argument till logaritmer måste vara positiva och att uttryck av typen <math>e^{(\ldots)}</math> bara kan anta positiva värden. Risken är annars att man får med falska rötter.

<div class="exempel">
'''Exempel 7'''

Lös ekvationen <math>\,\ln(4x^2 -2x) = \ln (1-2x)</math>.
<br>
<br>
För att ekvationen ska vara uppfylld måste argumenten <math>4x^2-2x</math> och <math>1-2x</math> vara lika,

{{Fristående formel||<math>4x^2 - 2x = 1 - 2x\,,</math>|<math>(*)</math>}}

och dessutom positiva. Vi löser ekvationen <math>(*)</math> genom att flytta över alla termer i ena ledet

{{Fristående formel||<math>4x^2 - 1= 0</math>}}

och använder rotutdragning. Detta ger att

{{Fristående formel||<math>
\textstyle x= -\frac{1}{2}
\quad\mbox{och}\quad
x = \frac{1}{2} \; \mbox{.}</math>}}

Vi kontrollerar nu om båda led i <math>(*)</math> är positiva
* Om <math>x= -\tfrac{1}{2}</math> blir båda led lika med <math>4x^2 - 2x = 1-2x = 1-2 \cdot \bigl(-\tfrac{1}{2}\bigr) = 1+1 = 2 > 0</math>.
* Om <math>x= \tfrac{1}{2}</math> blir båda led lika med <math>4x^2 - 2x = 1-2x = 1-2 \cdot \tfrac{1}{2} = 1-1 = 0 \not > 0</math>.

Alltså har logaritmekvationen bara en lösning <math>x= -\frac{1}{2}</math>.
</div>

<div class="exempel">
'''Exempel 8'''

Lös ekvationen <math>\,e^{2x} - e^{x} = \frac{1}{2}</math>.
<br>
<br>
Den första termen kan vi skriva som <math>e^{2x} = (e^x)^2</math>. Hela ekvationen är alltså en andragradsekvation med <math>e^x</math> som obekant
{{Fristående formel||<math>(e^x)^2 - e^x = \tfrac{1}{2}\,\mbox{.}</math>}}

Ekvationen kan vara lite enklare att hantera om vi skriver <math>t</math> istället för <math>e^x</math>,

{{Fristående formel||<math>t^2 -t = \tfrac{1}{2}\,\mbox{.}</math>}}

Kvadratkomplettera vänsterledet

{{Fristående formel||<math>\begin{align*}
\textstyle \bigl(t-\frac{1}{2}\bigr)^2 - \bigl(\frac{1}{2}\bigr)^2
&= \frac{1}{2}\,\mbox{,}\\
\bigl(t-\frac{1}{2}\bigr)^2
&= \frac{3}{4}\,\mbox{,}\\
\end{align*}</math>}}

vilket ger lösningarna

{{Fristående formel||<math>
t=\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}
\quad\mbox{och}\quad
t=\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \, \mbox{.}</math>}}

Eftersom <math>\sqrt3 > 1</math> så är <math>\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\sqrt3 <0</math> och det är bara <math>t= \frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt3</math> som ger en lösning till den ursprungliga ekvationen eftersom <math>e^x</math> alltid är positiv. Logaritmering ger slutligen att

{{Fristående formel||<math>
x = \ln \Bigl(\,\frac{1}{2}+\frac{\sqrt3}{2}\,\Bigr)</math>}}

är den enda lösningen till ekvationen.
</div>

[[3.4 Övningar|Övningar]]

<div class="inforuta">
'''Råd för inläsning'''

'''Grund- och slutprov'''

Efter att du har läst texten och arbetat med övningarna ska du göra grund- och slutprovet för att bli godkänd på detta avsnitt. Du hittar länken till proven i din student lounge.

'''Tänk på att:'''

Du kan behöva lägga ner mycket tid på logaritmer.

Logaritmer brukar behandlas översiktligt i gymnasiet. Därför brukar många högskolestudenter stöta på problem när det gäller att räkna med logaritmer.
</div>

← Äldre version		Versionen från 30 april 2010 kl. 11.29
Rad 4:		Rad 4:
	{{Mall:Vald flik\|[[3.4 Logaritmekvationer\|Teori]]}}		{{Mall:Vald flik\|[[3.4 Logaritmekvationer\|Teori]]}}
	{{Mall:Ej vald flik\|[[3.4 Övningar\|Övningar]]}}		{{Mall:Ej vald flik\|[[3.4 Övningar\|Övningar]]}}
		+	{{Mall:Ej vald flik\|[[3.4 Ja eller Nej?\|Ja/Nej?]]}}
	\| style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"\|		\| style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"\|
	\|}		\|}

3.4 Logaritmekvationer - Versionshistorik

Tek: Länkar in Ja/Nej-frågor

Tek: Tog bort mellanslag i början av rader i fristående formler för att undvika tomma boxar i IE

Tek den 27 mars 2008 kl. 18.50

Tek: Ny sida: __NOTOC__ {{Info| '''Innehåll:''' * Logaritmekvationer * Exponentialekvationer * Falska rötter. }} {{Info| '''Lärandemål:''' Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att: * Lösa ekvat...

Tek: Ny sida: NOTOC {{Info| '''Innehåll:''' * Logaritmekvationer * Exponentialekvationer * Falska rötter. }} {{Info| '''Lärandemål:''' Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att: * Lösa ekvat...