3.3 Logaritmer - Versionshistorik

Tek: Länkar in Ja/Nej-frågor

Tek — Fri, 30 Apr 2010 11:28:48 GMT

Länkar in Ja/Nej-frågor

← Äldre version		Versionen från 30 april 2010 kl. 11.28
Rad 4:		Rad 4:
	{{Mall:Vald flik\|[[3.3 Logaritmer\|Teori]]}}		{{Mall:Vald flik\|[[3.3 Logaritmer\|Teori]]}}
	{{Mall:Ej vald flik\|[[3.3 Övningar\|Övningar]]}}		{{Mall:Ej vald flik\|[[3.3 Övningar\|Övningar]]}}
		+	{{Mall:Ej vald flik\|[[3.3 Ja eller Nej?\|Ja/Nej?]]}}
	\| style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"\|		\| style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"\|
	\|}		\|}

Tek: Tog bort mellanslag i början av rader i fristående formler för att undvika tomma boxar i IE

Tek — Wed, 19 Aug 2009 07:54:08 GMT

Tog bort mellanslag i början av rader i fristående formler för att undvika tomma boxar i IE

← Äldre version		Versionen från 19 augusti 2009 kl. 07.54
Rad 34:		Rad 34:

	{{Fristående formel\|\|<math>\begin{align*}		{{Fristående formel\|\|<math>\begin{align*}
-	10^3 &= 10 \cdot 10 \cdot 10 = 1000\,,\\	+	10^3 &= 10 \cdot 10 \cdot 10 = 1000\,,\\
-	10^{-2} &= \frac{1}{10 \cdot 10} = \frac{1}{100} = 0{,}01\,\mbox{.}	+	10^{-2} &= \frac{1}{10 \cdot 10} = \frac{1}{100} = 0{,}01\,\mbox{.}
-	\end{align*}</math>}}	+	\end{align*}</math>}}

	Om man enbart betraktar exponenten skulle man i stället kunna säga att		Om man enbart betraktar exponenten skulle man i stället kunna säga att
Rad 173:		Rad 173:
	Om vi vet att <math>35 \approx 10^{\,1{,}5441}</math> och <math>54 \approx 10^{\,1{,}7324}</math> (dvs. <math>\lg 35 \approx 1{,}5441</math> och <math>\lg 54 \approx 1{,}7324</math>) då kan vi räkna ut att		Om vi vet att <math>35 \approx 10^{\,1{,}5441}</math> och <math>54 \approx 10^{\,1{,}7324}</math> (dvs. <math>\lg 35 \approx 1{,}5441</math> och <math>\lg 54 \approx 1{,}7324</math>) då kan vi räkna ut att

-	{{Fristående formel\|\|<math>	+	{{Fristående formel\|\|<math>35 \cdot 54 \approx 10^{\,1{,}5441} \cdot 10^{\,1{,}7324} = 10^{\,1{,}5441 + 1{,}7324} = 10^{\,3{,}2765}</math>}}
-	35 \cdot 54 \approx 10^{\,1{,}5441} \cdot 10^{\,1{,}7324}	+
-	= 10^{\,1{,}5441 + 1{,}7324}	+
-	= 10^{\,3{,}2765}</math>}}	+

	och vet vi sedan att <math>10^{\,3{,}2765} \approx 1890</math> (dvs. <math>\lg 1890 \approx 3{,}2765</math>) så har vi lyckats beräkna produkten		och vet vi sedan att <math>10^{\,3{,}2765} \approx 1890</math> (dvs. <math>\lg 1890 \approx 3{,}2765</math>) så har vi lyckats beräkna produkten
Rad 191:		Rad 188:
	och som följer av att å ena sidan är		och som följer av att å ena sidan är

-	{{Fristående formel\|\|<math>	+	{{Fristående formel\|\|<math>a\cdot b = 10^{\textstyle\log a} \cdot 10^{\textstyle\log b} = \left\{ \mbox{potenslagarna} \right\} = 10^{\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,\log a+\log b\,}}</math>}}
-	a\cdot b = 10^{\textstyle\log a} \cdot 10^{\textstyle\log b}	+
-	= \left\{ \mbox{potenslagarna} \right\}	+
-	= 10^{\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,\log a+\log b\,}}</math>}}	+

	och å andra sidan är		och å andra sidan är

-	{{Fristående formel\|\|<math>	+	{{Fristående formel\|\|<math>a\cdot b = 10^{\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,\log (ab)\,}}\,\mbox{.}</math>}}
-	a\cdot b = 10^{\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,\log (ab)\,}}\,\mbox{.}</math>}}	+

	Genom att utnyttja potenslagarna på detta sätt kan vi få fram motsvarande ''logaritmlagar'':		Genom att utnyttja potenslagarna på detta sätt kan vi få fram motsvarande ''logaritmlagar'':
Rad 205:		Rad 198:
	<div class="regel">		<div class="regel">
	{{Fristående formel\|\|<math>\begin{align*}		{{Fristående formel\|\|<math>\begin{align*}
-	\log(ab) &= \log a + \log b,\\[4pt]	+	\log(ab) &= \log a + \log b,\\[4pt]
-	\log\frac{a}{b} &= \log a - \log b,\\[4pt]	+	\log\frac{a}{b} &= \log a - \log b,\\[4pt]
-	\log a^b &= b\cdot \log a\,\mbox{.}\\	+	\log a^b &= b\cdot \log a\,\mbox{.}\\
-	\end{align*}</math>}}	+	\end{align*}</math>}}
	</div>		</div>

Rad 280:		Rad 273:

	Dela nu båda led med <math>\ln 10</math> så får vi svaret		Dela nu båda led med <math>\ln 10</math> så får vi svaret
-	{{Fristående formel\|\|<math>	+	{{Fristående formel\|\|<math>\lg 5 = \frac{\ln 5}{\ln 10}
-	\lg 5 = \frac{\ln 5}{\ln 10}	+	\qquad (\approx 0{,}699\,,
-	\qquad (\approx 0{,}699\,,	+	\quad\text{dvs.}\ 10^{0{,}699} \approx 5)\,\mbox{.}
-	\quad\text{dvs.}\ 10^{0{,}699} \approx 5)\,\mbox{.}	+
	</math>}}</li>		</math>}}</li>

Rad 293:		Rad 285:

	och logaritmerar båda led med 10-logaritmen (lg) så får vi att		och logaritmerar båda led med 10-logaritmen (lg) så får vi att
-	{{Fristående formel\|\|<math>	+	{{Fristående formel\|\|<math>\lg 2^{\log_{\scriptstyle 2} 100} = \lg 100\,\mbox{.}</math>}}
-	\lg 2^{\log_{\scriptstyle 2} 100} = \lg 100\,\mbox{.}</math>}}	+

	Eftersom <math>\lg a^b = b \lg a</math> så är <math>\lg 2^{\log_2 100} = \log_{\scriptstyle 2} 100 \cdot \lg 2</math> och högerledet kan förenklas till <math>\lg 100 = 2</math>. Detta ger oss likheten		Eftersom <math>\lg a^b = b \lg a</math> så är <math>\lg 2^{\log_2 100} = \log_{\scriptstyle 2} 100 \cdot \lg 2</math> och högerledet kan förenklas till <math>\lg 100 = 2</math>. Detta ger oss likheten
	{{Fristående formel\|\|<math>		{{Fristående formel\|\|<math>
-	\log_{\scriptstyle 2} 100 \cdot \lg 2 = 2\,\mbox{.}</math>}}	+	\log_{\scriptstyle 2} 100 \cdot \lg 2 = 2\,\mbox{.}</math>}}

	Division med <math>\lg 2</math> ger slutligen att		Division med <math>\lg 2</math> ger slutligen att
	{{Fristående formel\|\|<math>		{{Fristående formel\|\|<math>
-	\log_{\scriptstyle 2} 100 = \frac{2}{\lg 2}	+	\log_{\scriptstyle 2} 100 = \frac{2}{\lg 2}
-	\qquad ({}\approx 6{,}64\,,	+	\qquad ({}\approx 6{,}64\,,
-	\quad\text{dvs.}\ 2^{6{,}64}\approx 100 )\,\mbox{.}</math>}}	+	\quad\text{dvs.}\ 2^{6{,}64}\approx 100 )\,\mbox{.}</math>}}
	</ol>		</ol>
	</div>		</div>
Rad 311:		Rad 302:

	{{Fristående formel\|\|<math>		{{Fristående formel\|\|<math>
-	\log_{\scriptstyle\,a} x	+	\log_{\scriptstyle\,a} x
-	= \frac{\log_{\scriptstyle\, b} x}{\log_{\scriptstyle\, b} a}	+	= \frac{\log_{\scriptstyle\, b} x}{\log_{\scriptstyle\, b} a}
-	\,\mbox{.}</math>}}	+	\,\mbox{.}</math>}}

	Vill man byta bas i en potens kan man göra detta med hjälp av logaritmer. Om man exempelvis vill skriva <math> 2^5 </math> med basen 10 så skriver man först om 2 med basen 10,		Vill man byta bas i en potens kan man göra detta med hjälp av logaritmer. Om man exempelvis vill skriva <math> 2^5 </math> med basen 10 så skriver man först om 2 med basen 10,
Rad 320:		Rad 311:
	och utnyttjar sedan en av potenslagarna		och utnyttjar sedan en av potenslagarna
	{{Fristående formel\|\|<math>		{{Fristående formel\|\|<math>
-	2^5 = (10^{\lg 2})^5 = 10^{5\cdot \lg 2}	+	2^5 = (10^{\lg 2})^5 = 10^{5\cdot \lg 2}
-	\quad ({}\approx 10^{1,505}\,)\,\mbox{.}</math>}}	+	\quad ({}\approx 10^{1,505}\,)\,\mbox{.}</math>}}

	<div class="exempel">		<div class="exempel">
Rad 335:		Rad 326:
	och använder sedan potenslagarna		och använder sedan potenslagarna
	{{Fristående formel\|\|<math>		{{Fristående formel\|\|<math>
-	10^x = (e^{\ln 10})^x = e^{\,x \cdot \ln 10}	+	10^x = (e^{\ln 10})^x = e^{\,x \cdot \ln 10}
-	\approx e^{2{,}3 x}\,\mbox{.}</math>}}</li>	+	\approx e^{2{,}3 x}\,\mbox{.}</math>}}</li>

	<li>Skriv <math>e^{\,a}</math> med basen 10.		<li>Skriv <math>e^{\,a}</math> med basen 10.
Rad 343:		Rad 334:
	Talet <math>e</math> kan vi skriva som <math>e=10^{\lg e}</math> och därför är		Talet <math>e</math> kan vi skriva som <math>e=10^{\lg e}</math> och därför är
	{{Fristående formel\|\|<math>		{{Fristående formel\|\|<math>
-	e^a = (10^{\lg e})^a	+	e^a = (10^{\lg e})^a
-	= 10^{\,a \cdot \lg e}	+	= 10^{\,a \cdot \lg e}
-	\approx 10^{\,0{,}434a}\,\mbox{.}</math>}}	+	\approx 10^{\,0{,}434a}\,\mbox{.}</math>}}
	</ol>		</ol>
	</div>		</div>

Tek den 27 mars 2008 kl. 18.46

Tek — Thu, 27 Mar 2008 18:46:55 GMT

← Äldre version		Versionen från 27 mars 2008 kl. 18.46
Rad 1:		Rad 1:
	__NOTOC__		__NOTOC__
		+	{\| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
		+	\| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" \|
		+	{{Mall:Vald flik\|[[3.3 Logaritmer\|Teori]]}}
		+	{{Mall:Ej vald flik\|[[3.3 Övningar\|Övningar]]}}
		+	\| style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"\|
		+	\|}
		+
	{{Info\|		{{Info\|
	'''Innehåll:'''		'''Innehåll:'''
Rad 345:		Rad 352:
	[[3.3 Övningar\|Övningar]]		[[3.3 Övningar\|Övningar]]

-	<div class="inforuta">	+	<div class="inforuta" style="width:580px;">
	'''Råd för inläsning'''		'''Råd för inläsning'''

Tek: Ny sida: NOTOC {{Info| '''Innehåll:''' Logaritmer Logaritmlagar }} {{Info| '''Lärandemål:''' Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att: Känna till begreppen bas och exponent. Känna ...

Tek — Thu, 20 Mar 2008 09:52:27 GMT

Ny sida: __NOTOC__ {{Info| '''Innehåll:''' *Logaritmer *Logaritmlagar }} {{Info| '''Lärandemål:''' Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att: *Känna till begreppen bas och exponent. *Känna ...

Ny sida

__NOTOC__
{{Info|
'''Innehåll:'''
*Logaritmer
*Logaritmlagar
}}

{{Info|
'''Lärandemål:'''

Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att:
*Känna till begreppen bas och exponent.
*Känna till beteckningarna <math>\ln</math>, <math>\lg</math>, <math>\log</math> och <math>\log_{a}</math>.
*Beräkna enkla logaritmuttryck med hjälp av logaritmens definition.
*Logaritmen är bara definierad för positiva tal.
*Känna till talet <math>e</math>.
*Hantera logaritmlagarna i förenkling av logaritmuttryck.
*Veta när logaritmlagarna är giltiga.
*Uttrycka en logaritm i termer av en logaritm med en annan bas.
*Lösa ekvationer som innehåller exponentialuttryck och som med logaritmering leder till förstagradsekvationer.
*Avgöra vilket av två logaritmuttryck som är störst baserat på jämförelse av bas/argument.
}}

== Logaritmer med basen 10 ==

Man använder gärna potenser med basen <math>10</math> för att skriva stora och små tal, t.ex.

{{Fristående formel||<math>\begin{align*}
10^3 &= 10 \cdot 10 \cdot 10 = 1000\,,\\
10^{-2} &= \frac{1}{10 \cdot 10} = \frac{1}{100} = 0{,}01\,\mbox{.}
\end{align*}</math>}}

Om man enbart betraktar exponenten skulle man i stället kunna säga att

:::"exponenten för 1000 är 3", eller
:::"exponenten för 0,01 är -2".

Precis så är ''logaritmer'' definierade. Man uttrycker sig på följande sätt:

:::"''logaritmen'' för 1000 är 3", vilket skrivs <math>\lg 1000 = 3</math>,
:::"''logaritmen'' för 0,01 är -2", vilket skrivs <math>\lg 0{,}01 = -2</math>.

Mer allmänt kan man uttrycka sig:

:::Logaritmen av ett tal <math>y</math> betecknas med <math>\lg y</math> och är den exponent som ska stå i den blåa rutan i likheten

{{Fristående formel||<math>10^{\ \bbox[#AAEEFF,2pt]{\,\phantom{a}\,}} = y\,\mbox{.} </math>}}

Notera här att <math>y</math> måste vara ett positivt tal för att logaritmen <math>\lg y</math> ska vara definerad, eftersom det inte finns någon potens av 10 som blir negativ eller noll.

<div class="exempel">
'''Exempel 1'''

<ol type="a">
<li><math>\lg 100000 = 5\quad</math> eftersom <math>
10^{\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\scriptstyle\,5\vphantom{,}\,}}
= 100\,000</math>.</li>
<li><math>\lg 0{,}0001 = -4\quad</math> eftersom <math>
10^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,-4\vphantom{,}\,}}
= 0{,}0001</math>.</li>
<li><math>\lg \sqrt{10} = \frac{1}{2}\quad</math> eftersom <math>
10^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,1/2\,}} = \sqrt{10}</math>.</li>
<li><math>\lg 1 = 0\quad</math> eftersom <math>
10^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,0\vphantom{,}\,}} = 1</math>.</li>
<li><math>\lg 10^{78} = 78\quad</math> eftersom <math>
10^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,78\vphantom{,}\,}}
= 10^{78}</math>.</li>
<li><math>\lg 50 \approx 1{,}699\quad</math> eftersom <math>
10^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,1{,}699\,}} \approx 50</math>.</li>
<li><math>\lg (-10)</math> existerar inte eftersom <math>
10^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,a\vphantom{b,}\,}}</math> aldrig kan bli -10 oavsett hur <math>a</math> väljs.</li>
</ol>
</div>

I det näst sista exemplet kan man snabbt inse att <math>\lg 50</math> måste ligga någonstans mellan 1 och 2 eftersom <math>10^1 < 50 < 10^2</math>, men för att få fram ett mer exakt värde på det irrationella talet <math>\lg 50 = 1{,}69897\ldots</math> behövs i praktiken en miniräknare (eller tabell.)

<div class="exempel">
'''Exempel 2'''

<ol type="a">
<li><math>10^{\textstyle\,\lg 100} = 100</math></li>
<li><math> 10^{\textstyle\,\lg a} = a</math></li>
<li><math> 10^{\textstyle\,\lg 50} = 50</math></li>
</ol>
</div>

== Olika baser ==

Man kan tänka sig logaritmer som använder en annan bas än 10 (utom 1!). Man måste då tydligt ange vilket tal man använder som bas för logaritmen. Använder man t.ex. 2 som bas skriver man <math>\log_{\,2}</math> för "2-logaritmen".

<div class="exempel">
'''Exempel 3'''

<ol type="a">
<li><math>\log_{\,2} 8 = 3\quad</math> eftersom <math>
2^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,3\vphantom{,}\,}} = 8</math>.</li>
<li><math>\log_{\,2} 2 = 1\quad</math> eftersom <math>
2^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,1\vphantom{,}\,}} = 2</math>.</li>
<li><math>\log_{\,2} 1024 = 10\quad</math> eftersom <math>
2^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,10\vphantom{,}\,}} = 1024</math>.</li>
<li><math>\log_{\,2}\frac{1}{4} = -2\quad</math> eftersom <math>
2^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,-2\vphantom{,}\,}} = \frac{1}{2^2}
= \frac{1}{4}</math>.</li>
</ol>
</div>

På samma sätt fungerar logaritmer i andra baser.

<div class="exempel">
'''Exempel 4'''

<ol type="a">
<li><math> \log_{\,3} 9 = 2\quad</math> eftersom <math>
3^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,2\vphantom{,}\,}} = 9</math>.</li>
<li><math> \log_{\,5} 125 = 3\quad</math> eftersom <math>
5^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,3\vphantom{,}\,}} = 125</math>.</li>
<li><math> \log_{\,4} \frac{1}{16} = -2\quad</math> eftersom <math>
4^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,-2\vphantom{,}\,}} = \frac{1}{4^2}
= \frac{1}{16}</math>.</li>
<li><math> \log_{\,b} \frac{1}{\sqrt{b}} = -\frac{1}{2}\quad
</math> eftersom <math>b^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,-1/2\,}}
= \frac{1}{b^{1/2}} = \frac{1}{\sqrt{b}}</math> (om <math>b>0</math> och <math>b\not=1</math>).</li>
</ol>
</div>

Om basen 10 används, skriver man sällan <math>\log_{\,10}</math>, utan som vi tidigare sett lg, eller enbart log, vilket förekommer på många miniräknare.

== Naturliga logaritmer ==

I praktiken är det två baser som oftast används för logaritmer, förutom 10 även talet <math>e</math> <math>({}\approx 2{,}71828 \ldots\,)</math>. Logaritmer med basen ''e'' kallas ''naturliga logaritmer'' och skrivs ln i stället för <math>\log_{\,e}</math>.

<div class="exempel">
'''Exempel 5'''

<ol type="a">
<li><math> \ln 10 \approx 2{,}3\quad</math> eftersom <math>
e^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,2{,}3\,}} \approx 10</math>.</li>
<li><math> \ln e = 1\quad</math> eftersom <math>
e^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,1\vphantom{,}\,}} = e</math>.</li>
<li><math> \ln\frac{1}{e^3} = -3\quad</math> eftersom <math>
e^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,-3\vphantom{,}\,}}
= \frac{1}{e^3}</math>.</li>
<li><math> \ln 1 = 0\quad</math> eftersom <math>
e^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,0\vphantom{,}\,}} = 1</math>.</li>
<li>Om <math>y= e^{\,a}</math> så är <math>a = \ln y</math>.</li>
<li><math> e^{\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,\ln 5\vphantom{,}\,}} = 5</math></li>
<li><math> e^{\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,\ln x\vphantom{,}\,}} = x</math></li>
</ol>
</div>

På de flesta mer avancerade miniräknare finns vanligtvis knappar för 10-logaritmer och naturliga logaritmer.

== Logaritmlagar ==

Mellan år 1617 och 1624 publicerade Henry Biggs en logaritmtabell av alla heltal upp till 20 000 och år 1628 utökade Adriaan Vlacq tabellen till alla heltal upp till 100 000. Anledningen till att man la ned så enormt mycket arbete på sådana tabeller är att man med hjälp av logaritmer kan multiplicera ihop tal bara genom att addera ihop deras logaritmer (addition går mycket snabbare att utföra än multiplikation).

<div class="exempel">
'''Exempel 6'''

Beräkna <math>\,35\cdot 54</math>.
<br>
<br>
Om vi vet att <math>35 \approx 10^{\,1{,}5441}</math> och <math>54 \approx 10^{\,1{,}7324}</math> (dvs. <math>\lg 35 \approx 1{,}5441</math> och <math>\lg 54 \approx 1{,}7324</math>) då kan vi räkna ut att

{{Fristående formel||<math>
35 \cdot 54 \approx 10^{\,1{,}5441} \cdot 10^{\,1{,}7324}
= 10^{\,1{,}5441 + 1{,}7324}
= 10^{\,3{,}2765}</math>}}

och vet vi sedan att <math>10^{\,3{,}2765} \approx 1890</math> (dvs. <math>\lg 1890 \approx 3{,}2765</math>) så har vi lyckats beräkna produkten

{{Fristående formel||<math>35 \cdot 54 = 1890</math>}}

och detta bara genom att addera ihop exponenterna <math>1{,}5441</math> och <math>1{,}7324</math>.
</div>

Detta är ett exempel på en logaritmlag som säger att

{{Fristående formel||<math>\log (ab) = \log a + \log b</math>}}

och som följer av att å ena sidan är

{{Fristående formel||<math>
a\cdot b = 10^{\textstyle\log a} \cdot 10^{\textstyle\log b}
= \left\{ \mbox{potenslagarna} \right\}
= 10^{\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,\log a+\log b\,}}</math>}}

och å andra sidan är

{{Fristående formel||<math>
a\cdot b = 10^{\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,\log (ab)\,}}\,\mbox{.}</math>}}

Genom att utnyttja potenslagarna på detta sätt kan vi få fram motsvarande ''logaritmlagar'':

<div class="regel">
{{Fristående formel||<math>\begin{align*}
\log(ab) &= \log a + \log b,\\[4pt]
\log\frac{a}{b} &= \log a - \log b,\\[4pt]
\log a^b &= b\cdot \log a\,\mbox{.}\\
\end{align*}</math>}}
</div>

Logaritmlagarna gäller oavsett bas.

<div class="exempel">
'''Exempel 7'''

<ol type="a">
<li><math>\lg 4 + \lg 7 = \lg(4 \cdot 7) = \lg 28</math></li>
<li><math> \lg 6 - \lg 3 = \lg\frac{6}{3} = \lg 2</math></li>
<li><math> 2 \cdot \lg 5 = \lg 5^2 = \lg 25</math></li>
<li><math>\lg 200 = \lg(2 \cdot 100) = \lg 2 + \lg 100 = \lg 2 + 2</math></li>
</ol>
</div>

<div class="exempel">
'''Exempel 8'''

<ol type="a">
<li><math>\lg 9 + \lg 1000 - \lg 3 + \lg 0{,}001 = \lg 9 + 3 - \lg 3 - 3
= \lg 9- \lg 3 = \lg \displaystyle \frac{9}{3} = \lg 3</math></li>
<li><math>\ln\frac{1}{e} + \ln \sqrt{e}
= \ln\left(\frac{1}{e} \cdot \sqrt{e}\,\right)
= \ln\left( \frac{1}{(\sqrt{e}\,)^2} \cdot \sqrt{e}\,\right)
= \ln\frac{1}{\sqrt{e}}</math><br>
<math>\phantom{\ln\frac{1}{e} + \ln \sqrt{e}}{} = \ln e^{-1/2}
= -\frac{1}{2} \cdot \ln e =-\frac{1}{2} \cdot 1
= -\frac{1}{2}\vphantom{\biggl(}</math></li>
<li><math> \log_2 36 - \frac{1}{2} \log_2 81
= \log_2 (6 \cdot 6) - \frac{1}{2} \log_2 (9 \cdot 9)</math><br>
<math>\phantom{\log_2 36 - \frac{1}{2} \log_2 81}{}
= \log_2 (2\cdot 2 \cdot 3 \cdot 3)
- \frac{1}{2} \log_2 (3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3)</math><br>
<math>\phantom{\log_2 36 - \frac{1}{2} \log_2 81}{}
= \log_2 (2^2 \cdot 3^2)
- \frac{1}{2} \log_2 (3^4)\vphantom{\Bigl(}</math><br>
<math>\phantom{\log_2 36 - \frac{1}{2} \log_2 81}{}
= \log_2 2^2 + \log_2 3^2 - \frac{1}{2} \log_2 3^4</math><br>
<math>\phantom{\log_2 36 - \frac{1}{2} \log_2 81}{}
= 2 \log_2 2 + 2 \log_2 3 - \frac{1}{2} \cdot 4 \log_2 3</math><br>
<math>\phantom{\log_2 36 - \frac{1}{2} \log_2 81}{}
= 2\cdot 1 + 2 \log_2 3 - 2 \log_2 3 = 2\vphantom{\Bigl(}</math></li>
<li><math> \lg a^3 - 2 \lg a + \lg\frac{1}{a}
= 3 \lg a - 2 \lg a + \lg a^{-1}</math><br>
<math>\phantom{\lg a^3 - 2 \lg a + \lg\frac{1}{a}}{}
= (3-2)\lg a + (-1) \lg a = \lg a - \lg a = 0</math></li>
</ol>
</div>

== Byte av bas ==

Ibland kan det vara bra att kunna uttrycka en logaritm som en logaritm av en annan bas.

<div class="exempel">
'''Exempel 9'''

<ol type="a">
<li>Uttryck <math>\lg 5</math> i naturliga logaritmen.
<br>
<br>
Per definition är <math>\lg 5</math> det tal som uppfyller likheten
{{Fristående formel||<math>10^{\lg 5} = 5\,\mbox{.}</math>}}

Logaritmera båda led med ln (naturliga logaritmen)
{{Fristående formel||<math>\ln 10^{\lg 5} = \ln 5\,\mbox{.}</math>}}

Med hjälp av logaritmlagen <math>\ln a^b = b \ln a</math> kan vänsterledet skrivas som <math>\lg 5 \cdot \ln 10</math> och likheten blir
{{Fristående formel||<math>\lg 5 \cdot \ln 10 = \ln 5\,\mbox{.}</math>}}

Dela nu båda led med <math>\ln 10</math> så får vi svaret
{{Fristående formel||<math>
\lg 5 = \frac{\ln 5}{\ln 10}
\qquad (\approx 0{,}699\,,
\quad\text{dvs.}\ 10^{0{,}699} \approx 5)\,\mbox{.}
</math>}}</li>

<li> Uttryck 2-logaritmen för 100 i 10-logaritmen lg.
<br>
<br>
Om vi skriver upp sambandet som definierar <math>\log_2 100</math>
{{Fristående formel||<math>2^{\log_{\scriptstyle 2} 100} = 100</math>}}

och logaritmerar båda led med 10-logaritmen (lg) så får vi att
{{Fristående formel||<math>
\lg 2^{\log_{\scriptstyle 2} 100} = \lg 100\,\mbox{.}</math>}}

Eftersom <math>\lg a^b = b \lg a</math> så är <math>\lg 2^{\log_2 100} = \log_{\scriptstyle 2} 100 \cdot \lg 2</math> och högerledet kan förenklas till <math>\lg 100 = 2</math>. Detta ger oss likheten
{{Fristående formel||<math>
\log_{\scriptstyle 2} 100 \cdot \lg 2 = 2\,\mbox{.}</math>}}

Division med <math>\lg 2</math> ger slutligen att
{{Fristående formel||<math>
\log_{\scriptstyle 2} 100 = \frac{2}{\lg 2}
\qquad ({}\approx 6{,}64\,,
\quad\text{dvs.}\ 2^{6{,}64}\approx 100 )\,\mbox{.}</math>}}
</ol>
</div>

Den allmänna formeln för byte från en bas <math>a</math> till en bas <math>b</math> kan härledas på samma sätt

{{Fristående formel||<math>
\log_{\scriptstyle\,a} x
= \frac{\log_{\scriptstyle\, b} x}{\log_{\scriptstyle\, b} a}
\,\mbox{.}</math>}}

Vill man byta bas i en potens kan man göra detta med hjälp av logaritmer. Om man exempelvis vill skriva <math> 2^5 </math> med basen 10 så skriver man först om 2 med basen 10,
{{Fristående formel||<math>2 = 10^{\lg 2}</math>}}

och utnyttjar sedan en av potenslagarna
{{Fristående formel||<math>
2^5 = (10^{\lg 2})^5 = 10^{5\cdot \lg 2}
\quad ({}\approx 10^{1,505}\,)\,\mbox{.}</math>}}

<div class="exempel">
'''Exempel 10'''

<ol type="a">
<li>Skriv <math> 10^x </math> med basen ''e''.
<br>
<br>
Först skriver vi 10 som en potens av ''e'',
{{Fristående formel||<math>10 = e^{\ln 10}</math>}}

och använder sedan potenslagarna
{{Fristående formel||<math>
10^x = (e^{\ln 10})^x = e^{\,x \cdot \ln 10}
\approx e^{2{,}3 x}\,\mbox{.}</math>}}</li>

<li>Skriv <math>e^{\,a}</math> med basen 10.
<br>
<br>
Talet <math>e</math> kan vi skriva som <math>e=10^{\lg e}</math> och därför är
{{Fristående formel||<math>
e^a = (10^{\lg e})^a
= 10^{\,a \cdot \lg e}
\approx 10^{\,0{,}434a}\,\mbox{.}</math>}}
</ol>
</div>

[[3.3 Övningar|Övningar]]

<div class="inforuta">
'''Råd för inläsning'''

'''Grund- och slutprov'''

Efter att du har läst texten och arbetat med övningarna ska du göra grund- och slutprovet för att bli godkänd på detta avsnitt. Du hittar länken till proven i din student lounge.

'''Tänk på att:'''

Du kan behöva lägga ner mycket tid på logaritmer.

Logaritmer brukar behandlas översiktligt i gymnasiet. Därför brukar många högskolestudenter stöta på problem när det gäller att räkna med logaritmer.

'''Lästips'''

För dig som vill fördjupa dig ytterligare eller behöver en längre förklaring

[http://en.wikipedia.org/wiki/Logarithm Läs mer om logaritmer på engelska Wikipedia]

[http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/e.html Läs mer om Talet ''e'' i The MacTutor History of Mathematics archive]

'''Länktips'''

[http://www.ltcconline.net/greenl/java/IntermedCollegeAlgebra/LogGraph/logGraph.html Experimentera med logaritmer och potenser]

[http://www.ltcconline.net/greenl/java/IntermedCollegeAlgebra/LogConcentration/LogConcentration.htm Spela logaritm Memory]

[http://www.ltcconline.net/greenl/java/IntermedCollegeAlgebra/logger.htm Hjälp grodan hoppa till sitt näckrosblad i "log"-spelet ]
</div>

← Äldre version		Versionen från 30 april 2010 kl. 11.28
Rad 4:		Rad 4:
	{{Mall:Vald flik\|[[3.3 Logaritmer\|Teori]]}}		{{Mall:Vald flik\|[[3.3 Logaritmer\|Teori]]}}
	{{Mall:Ej vald flik\|[[3.3 Övningar\|Övningar]]}}		{{Mall:Ej vald flik\|[[3.3 Övningar\|Övningar]]}}
		+	{{Mall:Ej vald flik\|[[3.3 Ja eller Nej?\|Ja/Nej?]]}}
	\| style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"\|		\| style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"\|
	\|}		\|}

3.3 Logaritmer - Versionshistorik

Tek: Länkar in Ja/Nej-frågor

Tek: Tog bort mellanslag i början av rader i fristående formler för att undvika tomma boxar i IE

Tek den 27 mars 2008 kl. 18.46

Tek: Ny sida: __NOTOC__ {{Info| '''Innehåll:''' *Logaritmer *Logaritmlagar }} {{Info| '''Lärandemål:''' Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att: *Känna till begreppen bas och exponent. *Känna ...

Tek: Ny sida: NOTOC {{Info| '''Innehåll:''' Logaritmer Logaritmlagar }} {{Info| '''Lärandemål:''' Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att: Känna till begreppen bas och exponent. Känna ...