Lexikon - Nya sidor [sv]

Linjär

2008-01-12T11:43:27Z

Sammanfattning: Ny sida: Inom matematiken används ofta '''linjär''' eller ''linear'' som en benämning för att någonting är "av första graden" eller också "rätlinjig". För många matematiska operationer ...

Inom matematiken används ofta '''linjär''' eller ''linear'' som en benämning för att någonting är "av första graden" eller också "rätlinjig".

För många matematiska operationer och objekt innebär begreppet '''linjär''' en mer strikt egenskap som går ut på att den linjära strukturen är bevarad vid en operation eller en transformation. Till exempel kallas en funktional $F$ ''linjär'' om det gäller att $F(af+bg)=aF(f)+bF(g)$ för alla tal $a$ och $b$ och för alla funktioner $f$ och $g$ som $F$ är definierad för.

Oftast kallas en vanlig funktion $f(x)$ som beror av en variabel $x$ kallas ''linjär'' om den kan skrivas $f(x)=kx+m$ där $k$ och $m$ är konstanter. Detta är något oegentligt och beror på att grafen till en sådan funktion är en rät linje i $x,y$-planet. Inom matematiken kallar man allmänt en sådan funktion en ''affin funktion''. Utrycket som definierar funktionssambandet är här ett polynom av första graden.

Allmänt kallar man en funktion $f(x)$ som beror av en variabel $x$ (som kan vara en vektor) för linjär om det gäller att $f(ax + by)=af(x)+bf(y)$ för alla tal $a$ och $b$. Detta är likvärdigt med att följande två villkor är uppfyllda:

1) $f(ax)=af(x)$ för alla tal $a$

2) $f(x+y)=f(x) +f(y)$ för alla $x, y$

En differentialekvation kallas en '''linjär differentialekvation''' om den ges av ett polynom av första graden i den obekanta funktionen och dess derivator.

'''Linjär algebra''' handlar om teorin för linjära ekvationssystem, vektorrum, matriser och determinanter. Alla linjära ekvationssystem kan representeras med hjälp av matriser. Vektorrum är exempel på en modul över en ring, och teorin för linjär algebra gäller sådana moduler. Allmänt gäller att alla homomorfismer mellan ändligt genererade moduler kan representeras med hjälp av matriser.

'''Funktionalanalys''' kallas den del av matematisk analys där man studerar klasser av funktioner, där var och en av funktionerna uppfattas som en vektor i ett oändlig-dimensionellt vektorrum. En funktional är en avbildning som till varje funktion tillordnar ett tal. Ett exempel på en funktional är funktionalen $F(f)$ som till funktionen $f$ tillordnar talet

$F(f)=\displaystyle{\int_0^1 f(x)\, dx}$.

Funktionalanalysen kan ses som en generalisering av teorin för linjär algebra.

Ordet "linjär" kommer från franskans ''linéaire'' och ursprungligen senlatinets ''linea´ris'' som betyder "hörande till linjer", och kommer av latinets ''linea'' som betyder "linje" eller "streck", av latinets ''li´num'' som betyder "lin", "garn", "tråd" eller "snöre".

Jalusimetoden

2008-01-06T00:44:09Z

Sammanfattning: Ändrade på bild 1 där det fanns en knapp "spela"

Multiplikation är en matematisk operation som definieras på ett sätt men kan utföras på flera olika sätt. Multplikation av två heltal definieras som upprepad addition. T.ex. betyder "3 multiplicerat med 4" att man ska addera 3+3+3+3. I vardagligt tal säger man ofta "gånger" istället för "multiplicerat med". Med exempelvis "3 gånger 4" kan man mena både "3+3+3+3" och "4+4+4". Det visar sig att slutresultatet blir detsamma:

[[Bild:Vandring_talramsa_multiplikation.gif‎|center]]

I det mest primitiva systemet där man låter heltal motsvaras av streck så kan multiplikationen 11 gånger 34 gestalta sig som nedanstående uppställning. Resultatet av multiplikationen får man genom att räkna alla streck, eller utföra motsvarande addition.

[[Bild: Multiplikation_mest_primitiva_11x34.gif‎|center]]

För att beräkna resultatet av en multiplikation behöver man inte alltid utföra motsvarande addition (vilken kan bli mödosam). Det finns en mängd standardmetoder och metoder från olika kulturer att utföra multiplikation, t.ex.

1. Jalusimetoden (eller indiska metoden)

2. Dubbleringsmetoden (egyptisk multiplikation)

3. Dubblering/halvering (den ryske bondens algoritm)

4. Standardmetoden för multiplikation

Det finns också en mängd hjälpmedel att utföra multiplikation, t.ex. [http://sv.wikipedia.org/wiki/R%C3%A4knesticka räknesticka] (som använder sig av addition av faktorernas logaritmer), [http://web.telia.com/~u13101111/shortcut.html räknesnurra], elektroniska kalkylatorer, [http://webhome.idirect.com/~totton/abacus/pages.htm#Multiplication1 abakus].

==Jalusimetoden==

Jalusimetoden är en gammal indisk metod som ibland därför kallas "indiska metoden". Även benämningen "lattice-multiplikation" förekommer. Den introducerades i Europa av matematikern Fibonacci (Leondardo från Pisa), som år 1202 publicerade boken Liber Abacii. Benämningen "jalusi" kommer från en typ av järngaller som användes som skydd för insyn i fönster i Italien.

[http://www-groups.dcs.st-andrews.ac.uk/~history/Mathematicians/Fibonacci.html Läs mer om Fibonacci (1170 - 1250)]

===Se en flash-film hur man utför multiplikation med hjälp av Jalusimetoden===

[http://www.math.se/artiklar/jalusimetoden/jalusimetoden.swf Du kan enkelt se hela processen här genom att klicka dig fram i en flash-film.]

[http://www.macromedia.com/se/shockwave/download/index.cgi?P1_Prod_Version=ShockwaveFlash Du behöver Flash player för att se grafiken.]

I nedanstående följd av bilder kan du också se hur man utför multiplikation med hjälp av Jalusimetoden.

____________

[[Bild:Jalusi swe 080105 1.jpg]]

____________

[[Bild:Jalusi swe 080105 3.jpg]]

____________

[[Bild:Jalusi swe 080105 8.jpg]]

____________

[[Bild:Jalusi swe 080105 9.jpg]]

____________

[[Bild:Jalusi swe 080105 11.jpg]]

____________

[[Bild:Jalusi swe 080105 13.jpg]]

===Öva på Jalusimetoden===

[http://www.math.se/artiklar/jalusimetoden/jalusimetoden_interaktiv.swf Här kan du själv öva på Jalusimetoden interaktivt direkt på skärmen.]

==Grafisk form av Jalusimetoden==

Jalusimetoden kan också utföras genom att man ritar grupper av streck horisontellt och vertikalt. Istället för siffrorna i den vanliga uppställningen för Jalusimetoden ritar man lika många streck som entalssiffran, tiotalssiffran, hundratalssiffran, etc. Antalet skärningspunkter är resultatet av multiplikationen av motsvarande siffror. Man adderar sedan antalet skärningspunkter utefter samma sneda rader som i den vanliga uppställningen för Jalusimetoden.

[[Bild:Jalusi grafisk.jpg]]

Denna "grafiska" variant av Jalusimetoden illustreras i nedanstående film.

===Se på filmen här hur man kan utföra multiplikation genom att dra streck och räkna skärningspunkter===

[http://www.metacafe.com/watch/296904/easy_mental_multiplication_trick http://www.metacafe.com/watch/296904/easy_mental_multiplication_trick]

==Napiers räknestavar==

Samma princip som ligger till grund för Jalusimetoden ligger också till grund för Napiers räknestavar. Dessa räknestavar konstruerades av John Napier (matematiker som levde 1550-1617), som bland annat anses vara den person som först "upptäckte" logaritmerna.

Läs mer om John Napier:
[http://sv.wikipedia.org/wiki/John_Napier http://sv.wikipedia.org/wiki/John_Napier]
[http://ualr.edu/lasmoller/napier.html http://ualr.edu/lasmoller/napier.html]

Läs mer om Napiers räknestavar:
[http://mathworld.wolfram.com/NapiersBones.html http://mathworld.wolfram.com/NapiersBones.html]
[http://www.cut-the-knot.org/blue/Napier.shtml http://www.cut-the-knot.org/blue/Napier.shtml]

Experimentera med Napiers räknestavar:
[http://ww2.gannon.edu/cetl/napier/ http://ww2.gannon.edu/cetl/napier/]

En fördel med Jalusimetoden jämfört med exempelvis standardmetoden är att man utför additionerna sist efter det att man utfört alla ingående multiplikationer. I standardmetoden blandar man operationerna multiplikation och addition och det är inte lika lätt att i uppställningen se vad som respektive "minnessiffra" hör till (ifall man t.ex. blir avbruten eller vill kontrollera sina kalkyler):

[[Bild: Standardmetoden 345x67.gif]]

==Läs mer i Förberedande kurs i matematik 3 (7,5 hp)==

Innehållet i denna artikel ingår delvis i Förberedande kurs i matematik 3 (7,5 hp) som ges som nätkurs vid högskolor och universitet inom ramen för MATH.SE.
[http://www.math.se/kursbeskrivning.html Anmäl dig och sätt igång direkt]

Bråktal

2007-12-09T19:13:55Z

Sammanfattning: /* Se även */

Ett '''bråktal''' är ett tal som kan skrivas som en kvot mellan två heltal $a/b$ (där $b\ne 0$). Ett sådant tal kallas också ett '''rationellt tal'''. Ett tal som inte är rationellt kallas '''irrationellt'''.

Exempel på bråktal är $1/3$ och $4/12$ samt $-11/5$. Även heltal är exempel på bråktal eftersom $a/1 = a$ för alla tal $a$. Exempel på tal som inte är bråktal (irrationella tal) är talet $\sqrt{2}$, talet $\pi$ och det naturliga talet $e$. Man vet redan sedan antiken att $\sqrt{2}, \sqrt{3}$ och $\sqrt{5}$ samt många andra heltalsrötter är irrationella tal.

Med hjälp av oändliga följder av bråktal kan man definiera de '''reella talen''' (alla decimaltal).

==Bråktal som svar på ett delningsproblem==
När man multiplicerar två heltal med varandra får man ett nytt heltal. Om $b$ och $x$ är två heltal så är alltså $b\cdot x$ ett heltal som vi kan kalla $a$. Talen $b, x$ och $a$ uppfyller alltså sambandet

$b\cdot x = a$

som beskriver delningsproblemet att dela ett tal eller en storhet $a$ i $b$ stycken lika delar. Exempelvis uppfyller $b=2, x=3$ och $a=6$ sambandet

$2\cdot 3 = 6$.

Ett problem är dock att om vi ställer upp t.ex. ekvationen

$2\cdot x = 5$

så finns inget '''heltal''' $x$ som uppfyller detta samband. Det tal som vi tänker oss uppfylla detta samband betecknas med hjälp av ett bråkstreck $x=5/2$. Talet är inget heltal och ligger mellan talet 2 och talet 3 på tallinjen. Talet kan också skrivas som ett decimaltal $x=2,5$ (vilket egentligen betyder 2 hela och 5 tiondelar).

Allmänt för alla heltal $a$ och alla heltal $b$ som inte är $0$ definiera talet $a/b$ som det tal $x$ som uppfyller sambandet

$b\cdot x = a$.

Bråktalen kan åskådliggöras som punkter på tallinjen. Mellan varje par av bråktal ligger oändligt många andra bråktal. De ligger alltså tätt på tallinjen. Men trots att bråktalen är så många så finns ändå oändligt många andra tal som inte är bråktal (alltså irrationella tal). (Detta visade Georg Cantor år 1874.)

Mängden av alla bråktal (rationella tal) betecknas $Q$.

Talet $x=a/b$ ovan kallas ibland '''kvoten''' mellan $a$ och $b$, och talet $a$ kallas '''täljare''' och $b$ kallas '''nämnare'''. Dock används även begreppet '''kvot''' i samband med division: när man vill '''dividera''' två heltal $a$ och $b$ med varandra så söker man ett heltal $q$ och en rest $r$ sådan att

$a=b\cdot q + r$.

Här kallas $q$ för '''kvoten''' då $a$ divideras med $b$ och $r$ kallas '''resten'''. Om resten väljs som det minsta möjliga positiva heltal som uppfyller detta samband så kallar man motsvarande värden på $q$ och $r$ för den '''principala kvoten''' respektive den '''principala resten'''. Exempelvis så blir kvoten 3 då 7 divideras med 2 och resten blir 1, eftersom

$7=2\cdot 3 + 1$.

Detta betyder bland annat om man vill dela 7 kakor lika på 2 personer så får var och en personerna 3 kakor var medan det blir 1 kaka över.

==Likhet mellan bråktal==

Två bråktal $a/b$ och $c/d$ är lika precis då $a\cdot d = b\cdot c$.

Ett bråktal $a/b$ är mindre än ett annat bråktal $c/d$ precis då $a\cdot d < b\cdot c$.

Exempelvis gäller att $2/3<3/4$ eftersom $2\cdot 4<3\cdot 3$.

==Läs mer i exempel och övningsuppgifter på MATH.SE==

[http://wiki.math.se/wikis/sf0600_0701/index.php/1.2_Br%C3%A5kr%C3%A4kning Bråkräkning - teori och exempel]

[http://wiki.math.se/wikis/sf0600_0701/index.php/1.2_%C3%96vningar Bråkräkning - övningsuppgifter med lösningar]

==Se även==
[http://sv.wikipedia.org/wiki/Br%C3%A5ktal Läs om bråktal på Wikipedia]

[http://www.webbmatte.se/display_page.php?id=128&on_menu=675&page_id_to_fetch=1717&lang=swedish&no_cache=897806149# Läs om bråk på webbmatte.se]