Bråktal

Lexikon

Ett bråktal är ett tal som kan skrivas som en kvot mellan två heltal $a/b$ (där $b\ne 0$). Ett sådant tal kallas också ett rationellt tal. Ett tal som inte är rationellt kallas irrationellt.

Exempel på bråktal är $1/3$ och $4/12$ samt $-11/5$. Även heltal är exempel på bråktal eftersom $a/1 = a$ för alla tal $a$. Exempel på tal som inte är bråktal (irrationella tal) är talet $\sqrt{2}$, talet $\pi$ och det naturliga talet $e$. Man vet redan sedan antiken att $\sqrt{2}, \sqrt{3}$ och $\sqrt{5}$ samt många andra heltalsrötter är irrationella tal.

Med hjälp av oändliga följder av bråktal kan man definiera de reella talen (alla decimaltal).

Innehåll

1 Bråktal som svar på ett delningsproblem
2 Likhet mellan bråktal
3 Läs mer i exempel och övningsuppgifter på MATH.SE
4 Se även

[redigera] Bråktal som svar på ett delningsproblem

När man multiplicerar två heltal med varandra får man ett nytt heltal. Om $b$ och $x$ är två heltal så är alltså $b\cdot x$ ett heltal som vi kan kalla $a$. Talen $b, x$ och $a$ uppfyller alltså sambandet

$b\cdot x = a$

som beskriver delningsproblemet att dela ett tal eller en storhet $a$ i $b$ stycken lika delar. Exempelvis uppfyller $b=2, x=3$ och $a=6$ sambandet

$2\cdot 3 = 6$.

Ett problem är dock att om vi ställer upp t.ex. ekvationen

$2\cdot x = 5$

så finns inget heltal $x$ som uppfyller detta samband. Det tal som vi tänker oss uppfylla detta samband betecknas med hjälp av ett bråkstreck $x=5/2$. Talet är inget heltal och ligger mellan talet 2 och talet 3 på tallinjen. Talet kan också skrivas som ett decimaltal $x=2,5$ (vilket egentligen betyder 2 hela och 5 tiondelar).

Allmänt för alla heltal $a$ och alla heltal $b$ som inte är $0$ definiera talet $a/b$ som det tal $x$ som uppfyller sambandet

$b\cdot x = a$.

Bråktalen kan åskådliggöras som punkter på tallinjen. Mellan varje par av bråktal ligger oändligt många andra bråktal. De ligger alltså tätt på tallinjen. Men trots att bråktalen är så många så finns ändå oändligt många andra tal som inte är bråktal (alltså irrationella tal). (Detta visade Georg Cantor år 1874.)

Mängden av alla bråktal (rationella tal) betecknas $Q$.

Talet $x=a/b$ ovan kallas ibland kvoten mellan $a$ och $b$, och talet $a$ kallas täljare och $b$ kallas nämnare. Dock används även begreppet kvot i samband med division: när man vill dividera två heltal $a$ och $b$ med varandra så söker man ett heltal $q$ och en rest $r$ sådan att

$a=b\cdot q + r$.

Här kallas $q$ för kvoten då $a$ divideras med $b$ och $r$ kallas resten. Om resten väljs som det minsta möjliga positiva heltal som uppfyller detta samband så kallar man motsvarande värden på $q$ och $r$ för den principala kvoten respektive den principala resten. Exempelvis så blir kvoten 3 då 7 divideras med 2 och resten blir 1, eftersom

$7=2\cdot 3 + 1$.

Detta betyder bland annat om man vill dela 7 kakor lika på 2 personer så får var och en personerna 3 kakor var medan det blir 1 kaka över.