Lösningar 14 - Versionshistorik

Clas Löfwall den 16 oktober 2007 kl. 08.34

2007-10-16T08:34:03Z

← Äldre version		Versionen från 16 oktober 2007 kl. 08.34
Rad 325:		Rad 325:


-	Derivatans nollställen är alltså 0 och <math>-\root3\of 2</math>.	+	Derivatans nollställen är alltså 0 och $-\root3\of 2$.
	Nämnaren är $\ge 0$ för alla $x$, så den behöver vi inte ta med i		Nämnaren är $\ge 0$ för alla $x$, så den behöver vi inte ta med i
	teckenschemat:		teckenschemat:
Rad 331:		Rad 331:

	<math>\begin{array}{cccccc}		<math>\begin{array}{cccccc}
-	x & & - \root 3\of 2 & & 0 &\\	+	x & & - \sqrt[3]{2} & & 0 &\\
	-1 & - & - & - & - & - \\		-1 & - & - & - & - & - \\
	x & - & - & - & 0 & + \\		x & - & - & - & 0 & + \\

Clas Löfwall den 16 oktober 2007 kl. 08.31

2007-10-16T08:31:22Z

← Äldre version		Versionen från 16 oktober 2007 kl. 08.31
Rad 325:		Rad 325:


-	Derivatans nollställen är alltså 0 och $-\root3\of 2$.	+	Derivatans nollställen är alltså 0 och <math>-\root3\of 2</math>.
	Nämnaren är $\ge 0$ för alla $x$, så den behöver vi inte ta med i		Nämnaren är $\ge 0$ för alla $x$, så den behöver vi inte ta med i
	teckenschemat:		teckenschemat:
Rad 331:		Rad 331:

	<math>\begin{array}{cccccc}		<math>\begin{array}{cccccc}
-	x & & - 2 & & 0 &\\	+	x & & - \root 3\of 2 & & 0 &\\
	-1 & - & - & - & - & - \\		-1 & - & - & - & - & - \\
	x & - & - & - & 0 & + \\		x & - & - & - & 0 & + \\

Clas Löfwall den 16 oktober 2007 kl. 08.29

2007-10-16T08:29:30Z

← Äldre version		Versionen från 16 oktober 2007 kl. 08.29
Rad 331:		Rad 331:

	<math>\begin{array}{cccccc}		<math>\begin{array}{cccccc}
-	x & & -\root3\of 2 & & 0 &\\	+	x & & - 2 & & 0 &\\
	-1 & - & - & - & - & - \\		-1 & - & - & - & - & - \\
	x & - & - & - & 0 & + \\		x & - & - & - & 0 & + \\

Clas Löfwall den 16 oktober 2007 kl. 08.27

2007-10-16T08:27:44Z

← Äldre version		Versionen från 16 oktober 2007 kl. 08.27
Rad 269:		Rad 269:
	<math>\begin{array}{cccccc}		<math>\begin{array}{cccccc}
	x & & -1 & & 0 &\\		x & & -1 & & 0 &\\
-	\hline\\
	x+1 & - & 0 & + & + & + \\		x+1 & - & 0 & + & + & + \\
	x & - & - & - & 0 & + \\		x & - & - & - & 0 & + \\
Rad 400:		Rad 399:
	<math>\begin{array}{cccccccc}		<math>\begin{array}{cccccccc}
	x & & -2 & & 2 & & 5/2 & \\		x & & -2 & & 2 & & 5/2 & \\
-	\hline \\
	-1 & - & - & - & - & - & - & - \\		-1 & - & - & - & - & - & - & - \\
	x+2 & - & 0 & + & + & + & + & + \\		x+2 & - & 0 & + & + & + & + & + \\
Rad 430:		Rad 428:
	<math>\begin{array}{cccccc}		<math>\begin{array}{cccccc}
	x & & 1 & & 4 &\\		x & & 1 & & 4 &\\
-	\hline\\
	x-1 & - & 0 & + & + & + \\		x-1 & - & 0 & + & + & + \\
	x-4 & - & - & - & 0 & + \\		x-4 & - & - & - & 0 & + \\

Clas Löfwall den 16 oktober 2007 kl. 08.23

2007-10-16T08:23:45Z

← Äldre version		Versionen från 16 oktober 2007 kl. 08.23
Rad 150:		Rad 150:
	$x=2±\sqrt{2^2-3}=2±1$, alltså 1 och 3. Enligt faktorsatsen är		$x=2±\sqrt{2^2-3}=2±1$, alltså 1 och 3. Enligt faktorsatsen är
	$y'=3(x-1)(x-3)$. Vi gör ett teckenschema:		$y'=3(x-1)(x-3)$. Vi gör ett teckenschema:
		+

	<math>\begin{array}{cccccc}		<math>\begin{array}{cccccc}
	x & & 1 & & 3 &\\		x & & 1 & & 3 &\\
-	\\
	3 & + & + & + & + & + \\		3 & + & + & + & + & + \\
	x-1 & - & 0 & + & + & + \\		x-1 & - & 0 & + & + & + \\
Rad 183:		Rad 183:
	Teckenschemat blir alltså ganska enkelt:		Teckenschemat blir alltså ganska enkelt:

-	<math>\begin{array}{cccccccccc}	+
-	x & & 1 \\	+	<math>\begin{array}{cccc}
-	\hline\\	+	x & & 1 &\\
	-2 & - & - & - \\		-2 & - & - & - \\
	x-1 & - & 0 & + \\		x-1 & - & 0 & + \\
Rad 224:		Rad 224:
	Teckenschemat se ut så här:		Teckenschemat se ut så här:

-	<math>\begin{array}{ccccccccccccc}	+
-	x & & -2& & 2/3 \\	+	<math>\begin{array}{cccccc}
-	\hline\\	+	x & & -2& & 2/3 &\\
	-3 & - & - & - & - & - \\		-3 & - & - & - & - & - \\
	x+2& - & 0 & + & + & + \\		x+2& - & 0 & + & + & + \\
Rad 266:		Rad 266:
	$y=x(x+1)$ så får vi teckenschemat		$y=x(x+1)$ så får vi teckenschemat

-	<math>\begin{array}{ccccccccc}	+
-	x & & -1 & & 0 \\	+	<math>\begin{array}{cccccc}
		+	x & & -1 & & 0 &\\
	\hline\\		\hline\\
	x+1 & - & 0 & + & + & + \\		x+1 & - & 0 & + & + & + \\
Rad 329:		Rad 330:
	teckenschemat:		teckenschemat:

-	<math>\begin{array}{ccccccccccc}	+
-	x & & -\root3\of 2 & & 0 \\	+	<math>\begin{array}{cccccc}
-	\hline\\	+	x & & -\root3\of 2 & & 0 &\\
	-1 & - & - & - & - & - \\		-1 & - & - & - & - & - \\
	x & - & - & - & 0 & + \\		x & - & - & - & 0 & + \\
Rad 348:		Rad 349:
	Funktionen är inte definierad för $x=1$ och har ett enda		Funktionen är inte definierad för $x=1$ och har ett enda
	nollställe $x=4/3$. Teckenschema för funktionen:		nollställe $x=4/3$. Teckenschema för funktionen:
		+

	<math>		<math>
-	\begin{array}{ccccccccccccc}	+	\begin{array}{cccccc}
-	x & & 1 & & 4/3 \\	+	x & & 1 & & 4/3 &\\
-	\hline\\	+
	4-3x & + & + & + & 0 & - \\		4-3x & + & + & + & 0 & - \\
	1-x & + & 0 & - & - & - \\		1-x & + & 0 & - & - & - \\
Rad 396:		Rad 397:
	$y=-(2x-5)/(x+2)(x-2)$:		$y=-(2x-5)/(x+2)(x-2)$:

-	<math>\begin{array}{cccccccccccc}	+
-	x & & -2 & & 2 & & 5/2 \\	+	<math>\begin{array}{cccccccc}
		+	x & & -2 & & 2 & & 5/2 & \\
	\hline \\		\hline \\
	-1 & - & - & - & - & - & - & - \\		-1 & - & - & - & - & - & - & - \\
Rad 425:		Rad 427:
	$x=±2$.		$x=±2$.

-	<math>\begin{array}{ccccccccccc}	+
-	x & & 1 & & 4 \\	+	<math>\begin{array}{cccccc}
		+	x & & 1 & & 4 &\\
	\hline\\		\hline\\
	x-1 & - & 0 & + & + & + \\		x-1 & - & 0 & + & + & + \\

Clas Löfwall den 16 oktober 2007 kl. 08.19

2007-10-16T08:19:16Z

← Äldre version		Versionen från 16 oktober 2007 kl. 08.19
Rad 153:		Rad 153:
	<math>\begin{array}{cccccc}		<math>\begin{array}{cccccc}
	x & & 1 & & 3 &\\		x & & 1 & & 3 &\\
-	\hline \\	+	\\
	3 & + & + & + & + & + \\		3 & + & + & + & + & + \\
	x-1 & - & 0 & + & + & + \\		x-1 & - & 0 & + & + & + \\
Rad 226:		Rad 226:
	<math>\begin{array}{ccccccccccccc}		<math>\begin{array}{ccccccccccccc}
	x & & -2& & 2/3 \\		x & & -2& & 2/3 \\
-	\hline \\	+	\hline\\
	-3 & - & - & - & - & - \\		-3 & - & - & - & - & - \\
	x+2& - & 0 & + & + & + \\		x+2& - & 0 & + & + & + \\

Clas Löfwall den 16 oktober 2007 kl. 08.17

2007-10-16T08:17:04Z

← Äldre version		Versionen från 16 oktober 2007 kl. 08.17
Rad 149:		Rad 149:
	Derivatan är $y'=3x^2-12x+9=3(x^2-4x+3)$ med nollställena		Derivatan är $y'=3x^2-12x+9=3(x^2-4x+3)$ med nollställena
	$x=2±\sqrt{2^2-3}=2±1$, alltså 1 och 3. Enligt faktorsatsen är		$x=2±\sqrt{2^2-3}=2±1$, alltså 1 och 3. Enligt faktorsatsen är
-	$y'=3(x-1)(x-3)$. Vi gör ett teckenschema: <math>\nearrow</math>	+	$y'=3(x-1)(x-3)$. Vi gör ett teckenschema:

-	<math>\begin{array}{ccccc}	+	<math>\begin{array}{cccccc}
-	x & & 1 & & 3 \\	+	x & & 1 & & 3 &\\
	\hline \\		\hline \\
	3 & + & + & + & + & + \\		3 & + & + & + & + & + \\

Clas Löfwall den 16 oktober 2007 kl. 08.15

2007-10-16T08:15:02Z

← Äldre version		Versionen från 16 oktober 2007 kl. 08.15
Rad 149:		Rad 149:
	Derivatan är $y'=3x^2-12x+9=3(x^2-4x+3)$ med nollställena		Derivatan är $y'=3x^2-12x+9=3(x^2-4x+3)$ med nollställena
	$x=2±\sqrt{2^2-3}=2±1$, alltså 1 och 3. Enligt faktorsatsen är		$x=2±\sqrt{2^2-3}=2±1$, alltså 1 och 3. Enligt faktorsatsen är
-	$y'=3(x-1)(x-3)$. Vi gör ett teckenschema:	+	$y'=3(x-1)(x-3)$. Vi gör ett teckenschema: <math>\nearrow</math>

-	<math>\begin{array}{cccccccccc}	+	<math>\begin{array}{ccccc}
	x & & 1 & & 3 \\		x & & 1 & & 3 \\
	\hline \\		\hline \\

Clas Löfwall den 16 oktober 2007 kl. 08.07

2007-10-16T08:07:25Z

(Skillnad mellan versioner)

Clas Löfwall den 16 oktober 2007 kl. 07.59

2007-10-16T07:59:26Z

← Äldre version		Versionen från 16 oktober 2007 kl. 07.59
Rad 38:		Rad 38:

	Medelhastigheten för tillväxten mellan tidpunkterna $t_{1}$ och		Medelhastigheten för tillväxten mellan tidpunkterna $t_{1}$ och
-	$t_{2}$ är <math>	+	$t_{2}$ är
-	\frac{H(t_{2})-H(t_{1})}{t_{2}-t_{1}}.</math>	+
-	Medelhastigheten mellan 4:e och 6:e veckan blir <math>	+	<math>
		+	\frac{H(t_{2})-H(t_{1})}{t_{2}-t_{1}}
		+	</math>
		+
		+	Medelhastigheten mellan 4:e och 6:e veckan blir
		+
		+	<math>
	\frac{H(6)-H(4)}{6-4}=\frac{6^2/4+6-(4^2/4+4)}{6-4}=		\frac{H(6)-H(4)}{6-4}=\frac{6^2/4+6-(4^2/4+4)}{6-4}=
	\frac{15-8}{2}=3,5\quad\mbox{mm per vecka}</math>		\frac{15-8}{2}=3,5\quad\mbox{mm per vecka}</math>
		+
		+
	Tillväxthastigheten när vecka 5 börjar är $H'(5)=5/2+1=3,5$ mm per		Tillväxthastigheten när vecka 5 börjar är $H'(5)=5/2+1=3,5$ mm per
	vecka. Att värdena blir desamma beror på att tangenten i $t=5$ är		vecka. Att värdena blir desamma beror på att tangenten i $t=5$ är