Lösningar 16 - Versionshistorik

Clas Löfwall den 16 oktober 2007 kl. 14.22

2007-10-16T14:22:18Z

← Äldre version		Versionen från 16 oktober 2007 kl. 14.22
Rad 313:		Rad 313:
	-2\sqrt 2\cos(x/2)+C\end{array}</math>		-2\sqrt 2\cos(x/2)+C\end{array}</math>

-	Observera att $\sin(x/2)\ge 0$ då $x\in\left[0,2¹\right]$, så att	+	Observera att $\sin(x/2)\ge 0$ då $x\in\left[0,2\pi\right]$, så att

	<math>		<math>
Rad 548:		Rad 548:

	<math>		<math>
-	P_{d}(12)=\frac{26¹}{3}-18+C,</math>	+	P_{d}(12)=\frac{26\pi}{3}-18+C,</math>


Rad 559:		Rad 559:

	För $12\le t\le 24$ avtar $P_{d}$ linjärt på så sätt att		För $12\le t\le 24$ avtar $P_{d}$ linjärt på så sätt att
-	$P_{d}(12)=26¹/3-5$ och $P_{d}(24)=P_{d}(0)=13$. Detta ger	+	$P_{d}(12)=26\pi/3-5$ och $P_{d}(24)=P_{d}(0)=13$. Detta ger

	<math>		<math>
-	P_{d}(t)-13=\frac{26¹/3-5-13}{12-24}(x-24)\quad\mbox{eller}\quad	+	P_{d}(t)-13=\frac{26\pi/3-5-13}{12-24}(x-24)\quad\mbox{eller}\quad
-	P_{d}(t)=\frac{27-13¹}{18}t+\frac{26¹}{3}-23.</math>	+	P_{d}(t)=\frac{27-13\pi}{18}t+\frac{26\pi}{3}-23.</math>

Clas Löfwall den 16 oktober 2007 kl. 14.16

2007-10-16T14:16:13Z

← Äldre version		Versionen från 16 oktober 2007 kl. 14.16
Rad 162:		Rad 162:
	<math>		<math>
	2\int e^{-x}\cos x\, dx=-e^{-x}\cos x+e^{-x}\sin x+C=e^{-x}(\sin		2\int e^{-x}\cos x\, dx=-e^{-x}\cos x+e^{-x}\sin x+C=e^{-x}(\sin
-	x-\cos x)+C\]	+	x-\cos x)+C</math>
-	och \[	+
		+	och
		+
		+	<math>
	\int e^{-x}\cos x\, dx=\frac{1}{2}e^{-x}(\sin		\int e^{-x}\cos x\, dx=\frac{1}{2}e^{-x}(\sin
	x-\cos x)+C'</math>		x-\cos x)+C'</math>

Clas Löfwall den 16 oktober 2007 kl. 14.14

2007-10-16T14:14:51Z

← Äldre version		Versionen från 16 oktober 2007 kl. 14.14
Rad 100:		Rad 100:
	t&=&\sqrt 2\, x\\		t&=&\sqrt 2\, x\\
	dt&=&\frac{1}{\sqrt 2}\, dx\end{array}\right\}=		dt&=&\frac{1}{\sqrt 2}\, dx\end{array}\right\}=
-	\frac{1}{\sqrt 2}int\frac{dt}{1+t^2}\\	+	\frac{1}{\sqrt 2}\int\frac{dt}{1+t^2}\\
	&=&\frac{1}{\sqrt 2}\arctan t+C=\frac{1}{\sqrt 2}\arctan(\sqrt 2\, x)+C\end{array}</math>		&=&\frac{1}{\sqrt 2}\arctan t+C=\frac{1}{\sqrt 2}\arctan(\sqrt 2\, x)+C\end{array}</math>

Clas Löfwall den 16 oktober 2007 kl. 14.13

2007-10-16T14:13:26Z

← Äldre version		Versionen från 16 oktober 2007 kl. 14.13
Rad 101:		Rad 101:
	dt&=&\frac{1}{\sqrt 2}\, dx\end{array}\right\}=		dt&=&\frac{1}{\sqrt 2}\, dx\end{array}\right\}=
	\frac{1}{\sqrt 2}int\frac{dt}{1+t^2}\\		\frac{1}{\sqrt 2}int\frac{dt}{1+t^2}\\
-	&=&\frac{1}{\sqrt 2}\arctan t+C=\frac{1}{\sqrt 2}\arctan(\sqrt 2\, x)+C\end{array}	+	&=&\frac{1}{\sqrt 2}\arctan t+C=\frac{1}{\sqrt 2}\arctan(\sqrt 2\, x)+C\end{array}</math>


Rad 124:		Rad 124:
	(2x-5)^2e^{2x}/2-(2x-5)e^{2x}+e^{2x}+C\\		(2x-5)^2e^{2x}/2-(2x-5)e^{2x}+e^{2x}+C\\
	&=&		&=&
-	2x^2e^{2x}-12xe^{2x}-(37/2)e^{2x}+C\end{array}	+	2x^2e^{2x}-12xe^{2x}-(37/2)e^{2x}+C\end{array}</math>


Rad 182:		Rad 182:

	<math>\begin{array}{lll}		<math>\begin{array}{lll}
-	\int e^{2x}\cos 2x\, dx&=&\left\{\begin{array}{ccccc}	+	\int e^{2x}\cos 2x\, dx&=&\left\{\begin{array}{ccc}
	2x&=&-t\\		2x&=&-t\\
	x&=&-t/2\\		x&=&-t/2\\
Rad 198:		Rad 198:
	\end{array}</math>		\end{array}</math>

-	Svaret är således <math>\begin{array}{lll}	+	Svaret är således
		+
		+	<math>\begin{array}{lll}
	\int e^{2x}\cos^2x\, dx&=&\frac{1}{4}e^{2x}+\frac{1}{2}\cdot		\int e^{2x}\cos^2x\, dx&=&\frac{1}{4}e^{2x}+\frac{1}{2}\cdot
	\frac{1}{4}e^{2x}(\sin 2x+\cos 2t)+C\\		\frac{1}{4}e^{2x}(\sin 2x+\cos 2t)+C\\
Rad 206:		Rad 208:


-	f) Om vi sätter $f(x)=\ln x$, så är integranden $f'(x)f(x)$, vilket	+	'''9.3.f)'''
		+
		+	Om vi sätter $f(x)=\ln x$, så är integranden $f'(x)f(x)$, vilket
	enligt kedjeregeln		enligt kedjeregeln
	är derivatan av $(f(x))^2/2$. Svaret är således $(\ln x)^2/2+C$.		är derivatan av $(f(x))^2/2$. Svaret är således $(\ln x)^2/2+C$.
Rad 212:		Rad 216:


-	g)	+	'''9.3.g)'''

	<math>\begin{array}{lll}		<math>\begin{array}{lll}
Rad 226:		Rad 230:


-	9.4.f)	+	'''9.4.f)'''

	<math>		<math>
Rad 234:		Rad 238:


-	h)	+	'''9.4.h)'''

	<math>		<math>
Rad 243:		Rad 247:


-	i)	+	'''9.4.i)'''

	<math>		<math>
Rad 251:		Rad 255:


-	j)	+	'''9.4.j)'''

	<math>\begin{array}{lll}		<math>\begin{array}{lll}
Rad 265:		Rad 269:


-	k)	+	'''9.4.k)'''

	<math>		<math>
Rad 274:		Rad 278:


-	l) Använd trigonometriska ettan.	+	'''9.4.l)'''

		+	Använd trigonometriska ettan.


-	9.5.a) Använder vi Exempel 9.26 så får vi	+
		+	'''9.5.a)'''
		+
		+	Använder vi Exempel 9.26 så får vi

	<math>\begin{array}{lll}		<math>\begin{array}{lll}
	\int\sqrt{4-x^2}\, dx&=&2\int\sqrt{1-(x/2)^2}\,		\int\sqrt{4-x^2}\, dx&=&2\int\sqrt{1-(x/2)^2}\,
-	dx=\left\{\begin{array}{ccccc}	+	dx=\left\{\begin{array}{ccc}
	x/2&=&t\\		x/2&=&t\\
	dx&=&2\, dt\end{array}\right\}\\		dx&=&2\, dt\end{array}\right\}\\
Rad 293:		Rad 301:


-	b)	+	'''9.5.b)'''

	<math>\begin{array}{lll}		<math>\begin{array}{lll}
Rad 309:		Rad 317:


-	c)	+	'''9.5.c)'''

	<math>\begin{array}{lll}		<math>\begin{array}{lll}
Rad 320:		Rad 328:


-	d) Integranden är $f(x)f'(x)$, där $f(x)=\arctan x$, som är	+	'''9.5.d)'''
		+
		+	Integranden är $f(x)f'(x)$, där $f(x)=\arctan x$, som är
	derivatan av $(f(x))^2/2$. Svaret är således $(\arctan x)^2/2+C$.		derivatan av $(f(x))^2/2$. Svaret är således $(\arctan x)^2/2+C$.



-	e)	+	'''9.5.e)'''

	<math>\begin{array}{lll}		<math>\begin{array}{lll}
-	\int\cos x\ln\|\sin x\|\, dx&=&\left\{\begin{array}{cccccc}	+	\int\cos x\ln\|\sin x\|\, dx&=&\left\{\begin{array}{ccc}
	\sin x&=&t\\		\sin x&=&t\\
	\cos x\, dx&=&dt\end{array}\right\}		\cos x\, dx&=&dt\end{array}\right\}
Rad 338:		Rad 348:


-	f)	+	'''9.5.f)'''

	<math>\begin{array}{lll}		<math>\begin{array}{lll}
	\int\cos x\cos 2x\, dx&=&		\int\cos x\cos 2x\, dx&=&
-	\int\cos x(1-2\sin^2x)\, dx=\left\{\begin{array}{ccccc}	+	\int\cos x(1-2\sin^2x)\, dx=\left\{\begin{array}{ccc}
	t&=&\sin x\\		t&=&\sin x\\
	dt&=&\cos x\, dx\end{array}\right\}\\		dt&=&\cos x\, dx\end{array}\right\}\\
Rad 371:		Rad 381:


-	g) Eftersom $1+\tan^2x=1/\cos^2x$, så är	+	'''9.5.g)'''
		+
		+	Eftersom $1+\tan^2x=1/\cos^2x$, så är

	<math>\begin{array}{lll}		<math>\begin{array}{lll}
Rad 404:		Rad 416:


-	h) Sätt $t=x^2$.	+	'''9.5.h)'''

		+	Sätt $t=x^2$.


-	i) Sätt $t=x^3$.

		+	'''9.5.i)'''

		+	Sätt $t=x^3$.

-	9.6.c)	+
		+
		+	'''9.6.c)'''

	<math>\begin{array}{lll}		<math>\begin{array}{lll}
	\int\frac{x^3}{\sqrt{1-x^4}}\, dx&=&		\int\frac{x^3}{\sqrt{1-x^4}}\, dx&=&
-	\left\{\begin{array}{ccccc}	+	\left\{\begin{array}{ccc}
	x^4&=&t\\		x^4&=&t\\
	x^3\, dx&=&dt/4\end{array}\right\}=		x^3\, dx&=&dt/4\end{array}\right\}=
Rad 427:		Rad 443:


-	d) Sätt $t=\cos x$.	+	'''9.6.d)'''
		+
		+	Sätt $t=\cos x$.
		+


		+	'''9.6.e)'''

-	e) Partialintegrera två gånger:	+	Partialintegrera två gånger:

	<math>\begin{array}{lll}		<math>\begin{array}{lll}
Rad 453:		Rad 473:


-	f)	+	'''9.6.f)'''

	<math>\begin{array}{lll}		<math>\begin{array}{lll}
Rad 470:		Rad 490:


-	9.8. I intervallet $0\le t\le 5$ är $V'(t)\ge 0$, så den maximala	+	'''9.8.'''
		+
		+	I intervallet $0\le t\le 5$ är $V'(t)\ge 0$, så den maximala
	volymen fås för $t=5$. Vi har		volymen fås för $t=5$. Vi har

Rad 486:		Rad 508:


-	9.9. Vi studerar först derivatans nollställen och teckenväxlingarna.	+	'''9.9.'''
		+
		+	Vi studerar först derivatans nollställen och teckenväxlingarna.
	Vi har $P_{d}'(t)=0\Leftrightarrow 1664-144t-t^3=0$. För att hitta		Vi har $P_{d}'(t)=0\Leftrightarrow 1664-144t-t^3=0$. För att hitta
	rötterna till tredjegradsekvationen gissar vi heltalsrötter. En		rötterna till tredjegradsekvationen gissar vi heltalsrötter. En

Clas Löfwall den 16 oktober 2007 kl. 14.02

2007-10-16T14:02:37Z

← Äldre version		Versionen från 16 oktober 2007 kl. 14.02
Rad 68:		Rad 68:

	<math>		<math>
-	\sin\left(\frac{¹x}{4}-\frac{¹}{2}\right)=	+	\sin\left(\frac{\pi x}{4}-\frac{\pi}{2}\right)=
-	-\sin\left(\frac{¹}{2}-\frac{¹x}{4}\right)=	+	-\sin\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi x}{4}\right)=
-	-\cos\frac{¹x}{4}</math>	+	-\cos\frac{\pi x}{4}</math>

	De primitiva funktionerna är således		De primitiva funktionerna är således
Rad 88:		Rad 88:
	-\frac{1}{3}\int		-\frac{1}{3}\int
	\frac{dt}{t}\\		\frac{dt}{t}\\
-	&=&-\frac{1}{3}\ln\|t\|+C=-\frac{\ln\|1-3x\|}{3}+C\end{array}	+	&=&-\frac{1}{3}\ln\|t\|+C=-\frac{\ln\|1-3x\|}{3}+C\end{array}</math>

Clas Löfwall den 16 oktober 2007 kl. 13.59

2007-10-16T13:59:48Z

(Skillnad mellan versioner)

Clas Löfwall: Ny sida: ==Lösningar till några övningar till lektion 16== Tillbaka till lösningarna

2007-10-02T13:34:49Z

Ny sida: ==Lösningar till några övningar till lektion 16== Tillbaka till lösningarna

Ny sida

==Lösningar till några övningar till lektion 16==

[[Exempellösningar|Tillbaka till lösningarna]]