Lösningar 19 - Versionshistorik

Clas Löfwall den 16 oktober 2007 kl. 15.37

2007-10-16T15:37:39Z

← Äldre version		Versionen från 16 oktober 2007 kl. 15.37
Rad 360:		Rad 360:

	<math>		<math>
-	N\to\frac{N_{0}M}{N_{0}}=M\quad\text{då }t\to\infty.</math>	+	t\to\infty\text{ ger }N\to\frac{N_{0}M}{N_{0}}=M.</math>

Clas Löfwall den 16 oktober 2007 kl. 15.35

2007-10-16T15:35:13Z

← Äldre version		Versionen från 16 oktober 2007 kl. 15.35
Rad 360:		Rad 360:

	<math>		<math>
-	N\to\frac{N_{0}M}{N_{0}}=M\quad\mbox{då }t\to\infty.</math>	+	N\to\frac{N_{0}M}{N_{0}}=M\quad\text{då }t\to\infty.</math>

Clas Löfwall den 16 oktober 2007 kl. 15.34

2007-10-16T15:34:40Z

← Äldre version		Versionen från 16 oktober 2007 kl. 15.34
Rad 360:		Rad 360:

	<math>		<math>
-	N\to\frac{N_{0}M}{N_{0}}=M\quad\mbox{då $t\to\infty$}.</math>	+	N\to\frac{N_{0}M}{N_{0}}=M\quad\mbox{då }t\to\infty.</math>

Clas Löfwall den 16 oktober 2007 kl. 15.32

2007-10-16T15:32:16Z

← Äldre version		Versionen från 16 oktober 2007 kl. 15.32
Rad 145:		Rad 145:


-	c.'''	+	'''11.6.c)'''

	Nämnaren har faktoriseringen $x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$, där		Nämnaren har faktoriseringen $x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$, där
	andragradsfaktorn inte har några reella nollställen (och således inte		andragradsfaktorn inte har några reella nollställen (och således inte
-	går att faktorisera vidare). Partialbråksuppdelningen har utseendet <math>	+	går att faktorisera vidare). Partialbråksuppdelningen har utseendet
		+
		+	<math>
	\frac{1}{x^3-1}=\frac{A}{x-1}+\frac{Bx+C}{x^2+x+1}.</math>		\frac{1}{x^3-1}=\frac{A}{x-1}+\frac{Bx+C}{x^2+x+1}.</math>
-	Vi gör liknämnigt i HL: <math>\begin{array}{lll}	+
		+
		+	Vi gör liknämnigt i HL:
		+
		+	<math>\begin{array}{lll}
	\frac{A}{x-1}+\frac{Bx+C}{x^2+x+1}&=&		\frac{A}{x-1}+\frac{Bx+C}{x^2+x+1}&=&
	\frac{A(x^2+x+1)+(Bx+C)(x-1)}{(x-1)(x^2+x+1)}\\		\frac{A(x^2+x+1)+(Bx+C)(x-1)}{(x-1)(x^2+x+1)}\\
	&=&		&=&
	\frac{(A+B)x^2+(A-B+C)x+A-C}{x^3-1}.\end{array}</math>		\frac{(A+B)x^2+(A-B+C)x+A-C}{x^3-1}.\end{array}</math>
-	Detta ger ekvationsystemet <math>	+
		+
		+	Detta ger ekvationsystemet
		+
		+	<math>
	\left\{\begin{array}{cccccccccc}		\left\{\begin{array}{cccccccccc}
	A&+&B&&&=&0\\		A&+&B&&&=&0\\
Rad 166:		Rad 176:
	C&=&-2/3\end{array}\right.		C&=&-2/3\end{array}\right.
	</math>		</math>
-	och vi får till sist <math>	+
		+
		+	och vi får till sist
		+
		+	<math>
	\frac{1}{x^3-1}=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{x-1}-\frac{x+2}{x^2+x+1}\right).</math>		\frac{1}{x^3-1}=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{x-1}-\frac{x+2}{x^2+x+1}\right).</math>



-	'''11.7.a.<math>	+	'''11.7.a)'''
		+
		+	<math>
	\int\frac{3}{9-x^2}\,		\int\frac{3}{9-x^2}\,
	dx=\frac{1}{2}\int\left(\frac{1}{3+x}-\frac{1}{x-3}\right)\, dx=		dx=\frac{1}{2}\int\left(\frac{1}{3+x}-\frac{1}{x-3}\right)\, dx=
Rad 178:		Rad 194:


-	b.'''<math>\begin{array}{lll}	+	'''11.7.b)'''
		+
		+	<math>\begin{array}{lll}
	\int\frac{dx}{6x-x^2-5}&=&\frac{1}{4}\int\left(		\int\frac{dx}{6x-x^2-5}&=&\frac{1}{4}\int\left(
	\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x-5}\right)\, dx\\		\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x-5}\right)\, dx\\
Rad 186:		Rad 204:


-	c.'''Vi skriver den andra termen i parentesen som <math>	+	'''11.7.c)'''
		+
		+	Vi skriver den andra termen i parentesen som
		+
		+	<math>
	\frac{x+2}{x^2+x+1}=\frac{1}{2}\left(		\frac{x+2}{x^2+x+1}=\frac{1}{2}\left(
	\frac{2x+1}{x^2+x+1}+\frac{3}{x^2+x+1}\right).</math>		\frac{2x+1}{x^2+x+1}+\frac{3}{x^2+x+1}\right).</math>
		+
		+
	Här har den första termen utseendet $f'(x)/f(x)$, där $f(x)=x^2+x+1$.		Här har den första termen utseendet $f'(x)/f(x)$, där $f(x)=x^2+x+1$.
	En primitiv funktion är således $\ln\|f(x)\|=\ln(x^2+x+1)$ (observera		En primitiv funktion är således $\ln\|f(x)\|=\ln(x^2+x+1)$ (observera
	att $x^2+x+1>0$ för alla $x$). För att integrera den andra termen		att $x^2+x+1>0$ för alla $x$). För att integrera den andra termen
-	kvadratkompletterar vi nämnaren: <math>	+	kvadratkompletterar vi nämnaren:
		+
		+	<math>
	x^2+x+1=\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}=		x^2+x+1=\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}=
	\frac{3}{4}\left(1+\left(\frac{2x+1}{\sqrt 3}\right)^2\right)</math>		\frac{3}{4}\left(1+\left(\frac{2x+1}{\sqrt 3}\right)^2\right)</math>
-	Alltså är <math>	+
		+
		+	Alltså är
		+
		+	<math>
	\int\frac{dx}{x^2+x+1}=\frac{4}{3}\cdot\frac{\sqrt 3}{2}\arctan\frac{2x+1}{\sqrt		\int\frac{dx}{x^2+x+1}=\frac{4}{3}\cdot\frac{\sqrt 3}{2}\arctan\frac{2x+1}{\sqrt
	3}+C=		3}+C=
	\frac{2}{\sqrt 3}\arctan\frac{2x+1}{\sqrt 3}+C</math>		\frac{2}{\sqrt 3}\arctan\frac{2x+1}{\sqrt 3}+C</math>
-	De primitiva funktionerna till $1/(x^3-1)$ är således <math>	+
		+
		+	De primitiva funktionerna till $1/(x^3-1)$ är således
		+
		+	<math>
	\frac{1}{3}\left(\ln\|x-1\|-\frac{1}{2}\ln(x^2+x+1)-\sqrt 3		\frac{1}{3}\left(\ln\|x-1\|-\frac{1}{2}\ln(x^2+x+1)-\sqrt 3
	\arctan\frac{2x+1}{\sqrt 3}\right)+C.		\arctan\frac{2x+1}{\sqrt 3}\right)+C.
Rad 206:		Rad 240:


-	'''11.9.b.'''Partialbråksuppdela: <math>	+	'''11.9.b.'''
		+
		+	Partialbråksuppdela:
		+
		+	<math>
	\frac{x+3}{x(x+2)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x+2}=\frac{(A+B)x+2A}{x(x+2)}</math>		\frac{x+3}{x(x+2)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x+2}=\frac{(A+B)x+2A}{x(x+2)}</math>
		+
		+
	Detta ger $A+B=1$, $2A=3$, alltså $A=3/2$, $B=-1/2$. Alltså		Detta ger $A+B=1$, $2A=3$, alltså $A=3/2$, $B=-1/2$. Alltså
		+
		+
	<math>\begin{array}{lll}		<math>\begin{array}{lll}
	\int_{1}^2\frac{x+3}{x(x+2)}\, dx&=&		\int_{1}^2\frac{x+3}{x(x+2)}\, dx&=&
Rad 220:		Rad 262:


-	d.'''Den andra faktorn kan faktoriseras: $x^2+2x-3=(x-1)(x+3)$.	+	'''11.9.d)'''
-	Partialbråksuppdelning: <math>	+
		+	Den andra faktorn kan faktoriseras: $x^2+2x-3=(x-1)(x+3)$.
		+	Partialbråksuppdelning:
		+
		+	<math>
	\frac{1}{(x+1)(x^2+2x-3)}=\frac{1}{(x+1)(x-1)(x+3)}=		\frac{1}{(x+1)(x^2+2x-3)}=\frac{1}{(x+1)(x-1)(x+3)}=
	\frac{A}{x+1}+\frac{B}{x-1}+\frac{C}{x+3}.</math>		\frac{A}{x+1}+\frac{B}{x-1}+\frac{C}{x+3}.</math>
-	Ekvationsystemet blir <math>	+
		+
		+	Ekvationsystemet blir
		+
		+	<math>
	\left\{\begin{array}{ccccccc}		\left\{\begin{array}{ccccccc}
	A&+&B&+&C&=&0\\		A&+&B&+&C&=&0\\
Rad 233:		Rad 283:
	B&=&1/8\\		B&=&1/8\\
	C&=&1/8\end{array}\right.</math>		C&=&1/8\end{array}\right.</math>
-	Alltså <math>\begin{array}{lll}	+
		+
		+	Alltså
		+
		+	<math>\begin{array}{lll}
	\int\frac{dx}{(x+1)(x^2+2x-3)}&=&		\int\frac{dx}{(x+1)(x^2+2x-3)}&=&
	-\frac{1}{4}\ln\|x+1\|+\frac{1}{8}\ln\|x-1\|+\frac{1}{8}\ln\|x+3\|+C\\		-\frac{1}{4}\ln\|x+1\|+\frac{1}{8}\ln\|x-1\|+\frac{1}{8}\ln\|x+3\|+C\\
	&=&		&=&
	\frac{1}{8}\ln\frac{\|(x-1)(x+3)\|}{(x+1)^2}+C\end{array}</math>		\frac{1}{8}\ln\frac{\|(x-1)(x+3)\|}{(x+1)^2}+C\end{array}</math>
-	Vi har <math>	+
		+
		+	Vi har
		+
		+	<math>
	\lim_{x\to\infty}\ln\frac{\|(x-1)(x+3)\|}{(x+1)^2}=		\lim_{x\to\infty}\ln\frac{\|(x-1)(x+3)\|}{(x+1)^2}=
	\lim_{x\to\infty}\ln\frac{(1-1/x)(1+3/x)}{(1+1/x)^2}=		\lim_{x\to\infty}\ln\frac{(1-1/x)(1+3/x)}{(1+1/x)^2}=
	\ln 1=0,</math>		\ln 1=0,</math>
-	så <math>\begin{array}{lll}	+
		+
		+	så
		+
		+	<math>\begin{array}{lll}
	\int_{2}^{\infty}\frac{dx}{(x+1)(x^2+2x-3)}&=&		\int_{2}^{\infty}\frac{dx}{(x+1)(x^2+2x-3)}&=&
	\left[\frac{1}{8}\ln\frac{\|(x-1)(x+3)\|}{(x+1)^2}\right]_{2}^{\infty}\\		\left[\frac{1}{8}\ln\frac{\|(x-1)(x+3)\|}{(x+1)^2}\right]_{2}^{\infty}\\
Rad 251:		Rad 313:


-	e.'''Här är partialbråksuppdelningen <math>	+	'''11.9.e)'''
		+
		+	Här är partialbråksuppdelningen
		+
		+	<math>
	\frac{17x^2-x-26}{(x^2-1)(x^2-4)}=\frac{1}{3}\left(		\frac{17x^2-x-26}{(x^2-1)(x^2-4)}=\frac{1}{3}\left(
	-\frac{4}{x+1}+\frac{5}{x-1}-\frac{11}{x+2}+\frac{10}{x-2}\right)</math>		-\frac{4}{x+1}+\frac{5}{x-1}-\frac{11}{x+2}+\frac{10}{x-2}\right)</math>
-	och integralen blir <math>\begin{array}{lll}	+
		+	och integralen blir
		+
		+	<math>\begin{array}{lll}
	&\frac{1}{3}\left[-4\ln\|x+1\|+5\ln\|x-1\|-11\ln\|x+2\|+10\ln\|x-2\|\right]_{3}^4&\\		&\frac{1}{3}\left[-4\ln\|x+1\|+5\ln\|x-1\|-11\ln\|x+2\|+10\ln\|x-2\|\right]_{3}^4&\\
	&=\frac{1}{3}(7\ln 5-6\ln 3+2\ln 2).&\end{array}</math>		&=\frac{1}{3}(7\ln 5-6\ln 3+2\ln 2).&\end{array}</math>
Rad 260:		Rad 329:


-	'''11.10.'''Partialbråksuppdelning ger <math>\begin{array}{lll}	+	'''11.10.'''
		+
		+	Partialbråksuppdelning ger
		+
		+	<math>\begin{array}{lll}
	t&=&\int_{N_{0}}^{N}\frac{K\, dn}{n(M-n)}=		t&=&\int_{N_{0}}^{N}\frac{K\, dn}{n(M-n)}=
	\frac{K}{M}\int_{N_{0}}^{N}\left(\frac{1}{n}+\frac{1}{M-n}\right)\,		\frac{K}{M}\int_{N_{0}}^{N}\left(\frac{1}{n}+\frac{1}{M-n}\right)\,
Rad 268:		Rad 341:
	\frac{K}{M}\left(\ln\frac{N}{M-N}-\ln\frac{N_{0}}{M-N_{0}}\right)		\frac{K}{M}\left(\ln\frac{N}{M-N}-\ln\frac{N_{0}}{M-N_{0}}\right)
	\end{array}</math>		\end{array}</math>
-	Detta ger i sin tur <math>	+
		+
		+	Detta ger i sin tur
		+
		+	<math>
	\frac{N}{M-N}=\frac{N_{0}}{M-N_{0}}\, e^{Mt/K}\quad		\frac{N}{M-N}=\frac{N_{0}}{M-N_{0}}\, e^{Mt/K}\quad
	\mbox{och}\quad N=\frac{N_{0}Me^{Mt/K}}{N_{0}(e^{Mt/K}-1)+M}.</math>		\mbox{och}\quad N=\frac{N_{0}Me^{Mt/K}}{N_{0}(e^{Mt/K}-1)+M}.</math>
		+
		+
	För att kunna se vad som händer då $t\to\infty$ förkortar vi med		För att kunna se vad som händer då $t\to\infty$ förkortar vi med
-	$e^{Mt/K}$: <math>	+	$e^{Mt/K}$:
		+
		+	<math>
	N=\frac{N_{0}M}{N_{0}(1-e^{-Mt/K})+Me^{-Mt/K}}.</math>		N=\frac{N_{0}M}{N_{0}(1-e^{-Mt/K})+Me^{-Mt/K}}.</math>
-	Eftersom $e^{-Mt/K}\to 0$ då $t\to\infty$, så får vi <math>	+
		+
		+	Eftersom $e^{-Mt/K}\to 0$ då $t\to\infty$, så får vi
		+
		+	<math>
	N\to\frac{N_{0}M}{N_{0}}=M\quad\mbox{då $t\to\infty$}.</math>		N\to\frac{N_{0}M}{N_{0}}=M\quad\mbox{då $t\to\infty$}.</math>

Clas Löfwall den 16 oktober 2007 kl. 15.27

2007-10-16T15:27:17Z

← Äldre version		Versionen från 16 oktober 2007 kl. 15.27
Rad 145:		Rad 145:


-	c.'''Nämnaren har faktoriseringen $x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$, där	+	c.'''
		+
		+	Nämnaren har faktoriseringen $x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$, där
	andragradsfaktorn inte har några reella nollställen (och således inte		andragradsfaktorn inte har några reella nollställen (och således inte
	går att faktorisera vidare). Partialbråksuppdelningen har utseendet <math>		går att faktorisera vidare). Partialbråksuppdelningen har utseendet <math>

Clas Löfwall den 16 oktober 2007 kl. 15.25

2007-10-16T15:25:37Z

← Äldre version		Versionen från 16 oktober 2007 kl. 15.25
Rad 6:		Rad 6:


-	'''11.1.'''Att bestämma partialbråksuppdelningar utan ansats är förstås	+	'''11.1.'''
		+
		+	Att bestämma partialbråksuppdelningar utan ansats är förstås
	tramsigt eftersom man i praktiken alltid använder olika ansatser. Lös		tramsigt eftersom man i praktiken alltid använder olika ansatser. Lös
	därför övningen hur du vill!		därför övningen hur du vill!
Rad 12:		Rad 14:


-	a.'''<math>	+	'''11.1.a)'''
		+
		+	<math>
	\frac{1}{x(x+1)}=\frac{(x+1)-x}{x(x+1)}=\frac{x+1}{x(x+1)}-\frac{x}{x(x+1)}=		\frac{1}{x(x+1)}=\frac{(x+1)-x}{x(x+1)}=\frac{x+1}{x(x+1)}-\frac{x}{x(x+1)}=
	\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}</math>		\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}</math>
Rad 18:		Rad 22:


-	b.'''<math>\begin{array}{lll}	+	'''11.1.b)'''
		+
		+	<math>\begin{array}{lll}
	\frac{1}{x^2(x-1)}&=&\frac{x^2-(x^2-x)-(x-1)}{x^2(x-1)}=		\frac{1}{x^2(x-1)}&=&\frac{x^2-(x^2-x)-(x-1)}{x^2(x-1)}=
	\frac{x^2}{x^2(x-1)}-\frac{x(x-1)}{x^2(x-1)}-\frac{x-1}{x^2(x-1)}\\		\frac{x^2}{x^2(x-1)}-\frac{x(x-1)}{x^2(x-1)}-\frac{x-1}{x^2(x-1)}\\
Rad 26:		Rad 32:


-	c.'''<math>	+	'''11.1.c)'''
		+
		+	<math>
	\frac{1}{x(4x^2+1)}=\frac{4x^2+1-4x^2}{x(4x^2+1)}=		\frac{1}{x(4x^2+1)}=\frac{4x^2+1-4x^2}{x(4x^2+1)}=
	\frac{4x^2+1}{x(4x^2+1)}-\frac{4x^2}{x(4x^2+1)}=		\frac{4x^2+1}{x(4x^2+1)}-\frac{4x^2}{x(4x^2+1)}=
Rad 33:		Rad 41:


-	'''11.2.a.'''<math>	+	'''11.2.a.'''
		+
		+	<math>
	\int\frac{dx}{x(x+1)}=\int\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}\right)\, dx=		\int\frac{dx}{x(x+1)}=\int\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}\right)\, dx=
	\ln \|x\|-\ln\|x+1\|+C=\ln\left\|\frac{x}{x+1}\right\|+C</math>		\ln \|x\|-\ln\|x+1\|+C=\ln\left\|\frac{x}{x+1}\right\|+C</math>
Rad 39:		Rad 49:


-	b.'''<math>	+	'''11.2.b)'''
		+
		+	<math>
	\int\frac{dx}{x^2(x-1)}=\int\left(		\int\frac{dx}{x^2(x-1)}=\int\left(
	\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}\right)\, dx=		\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}\right)\, dx=
Rad 46:		Rad 58:


-	c.'''<math>\begin{array}{lll}	+	'''11.2.c)'''
		+
		+	<math>\begin{array}{lll}
	\int\frac{dx}{x(4x^2+1)}&=&\int\left(\frac{1}{x}-\frac{4x}{4x^2+1}\right)\, dx=		\int\frac{dx}{x(4x^2+1)}&=&\int\left(\frac{1}{x}-\frac{4x}{4x^2+1}\right)\, dx=
	\ln\|x\|-\frac{1}{2}\int\frac{8x}{4x^2+1}\, dx\\		\ln\|x\|-\frac{1}{2}\int\frac{8x}{4x^2+1}\, dx\\
Rad 55:		Rad 69:


-	'''11.6.a.'''Vi har $9-x^2=(3+x)(3-x)$ så uppdelningen har utseendet <math>	+	'''11.6.a.'''
		+
		+	Vi har $9-x^2=(3+x)(3-x)$ så uppdelningen har utseendet
		+
		+	<math>
	\frac{3}{9-x^2}=\frac{A}{3+x}+\frac{B}{3-x}.</math>		\frac{3}{9-x^2}=\frac{A}{3+x}+\frac{B}{3-x}.</math>
-	Vi gör liknämnigt: <math>	+
		+
		+	Vi gör liknämnigt:
		+
		+	<math>
	\frac{A}{3+x}+\frac{B}{3-x}=\frac{B(3+x)+A(3-x)}{(3+x)(3-x)}=		\frac{A}{3+x}+\frac{B}{3-x}=\frac{B(3+x)+A(3-x)}{(3+x)(3-x)}=
	\frac{(-A+B)x+3(A+B)}{9-x^2}</math>		\frac{(-A+B)x+3(A+B)}{9-x^2}</math>
-	Detta ger ekvationssystemet <math>	+
		+
		+	Detta ger ekvationssystemet
		+
		+	<math>
	\left\{\begin{array}{cccc}		\left\{\begin{array}{cccc}
	-A+B&=&0\\		-A+B&=&0\\
	A+B&=&1\end{array}\right.</math>		A+B&=&1\end{array}\right.</math>
-	som har lösningen $A=B=1/2$. Partialbråksuppdelningen är således <math>	+
		+
		+	som har lösningen $A=B=1/2$. Partialbråksuppdelningen är således
		+
		+	<math>
	\frac{3}{9-x^2}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{3+x}+\frac{1}{3-x}\right).</math>		\frac{3}{9-x^2}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{3+x}+\frac{1}{3-x}\right).</math>

Clas Löfwall den 16 oktober 2007 kl. 15.23

2007-10-16T15:23:07Z

← Äldre version		Versionen från 16 oktober 2007 kl. 15.23
Rad 76:		Rad 76:
	<math>		<math>
	6x-x^2-5=0\Leftrightarrow x^2-6x+5=0\Leftrightarrow		6x-x^2-5=0\Leftrightarrow x^2-6x+5=0\Leftrightarrow
-	x=3±\sqrt{9-5}=3±2</math>	+	x=3\pm\sqrt{9-5}=3\pm2</math>

Clas Löfwall den 16 oktober 2007 kl. 15.21

2007-10-16T15:21:52Z

← Äldre version		Versionen från 16 oktober 2007 kl. 15.21
Rad 69:		Rad 69:


-	b.'''Vi faktoriserar nämnaren genom att bestämma dess nollställen:	+	'''11.6.b)'''
		+
		+	Vi faktoriserar nämnaren genom att bestämma dess nollställen:
		+
		+
	<math>		<math>
	6x-x^2-5=0\Leftrightarrow x^2-6x+5=0\Leftrightarrow		6x-x^2-5=0\Leftrightarrow x^2-6x+5=0\Leftrightarrow
	x=3±\sqrt{9-5}=3±2</math>		x=3±\sqrt{9-5}=3±2</math>
-	Nollställena är $x=1$ och $x=5$, så <math>	+
		+
		+	Nollställena är $x=1$ och $x=5$, så
		+
		+	<math>
	6x-x^2-5=-(x-1)(x-5)=(1-x)(x-5).</math>		6x-x^2-5=-(x-1)(x-5)=(1-x)(x-5).</math>
-	Partialbråksuppdelningen har utseendet <math>	+
		+
		+	Partialbråksuppdelningen har utseendet
		+
		+	<math>
	\frac{1}{6x-x^2-5}=\frac{A}{1-x}+\frac{B}{x-5}</math>		\frac{1}{6x-x^2-5}=\frac{A}{1-x}+\frac{B}{x-5}</math>
-	och gör vi liknämnigt så får vi <math>	+
		+
		+	och gör vi liknämnigt så får vi
		+
		+	<math>
	\frac{A}{1-x}+\frac{B}{x-5}=\frac{A(x-5)+B(1-x)}{(1-x)(x-5)}=		\frac{A}{1-x}+\frac{B}{x-5}=\frac{A(x-5)+B(1-x)}{(1-x)(x-5)}=
	\frac{(A-B)x-5A+B}{6x-x^2+5}.</math>		\frac{(A-B)x-5A+B}{6x-x^2+5}.</math>
-	Alltså måste <math>	+
		+
		+	Alltså måste
		+
		+	<math>
	\left\{\begin{array}{ccc}		\left\{\begin{array}{ccc}
	A-B&=&0\\		A-B&=&0\\
Rad 86:		Rad 106:
	\Leftrightarrow		\Leftrightarrow
	A=B=-\frac{1}{4}.</math>		A=B=-\frac{1}{4}.</math>
-	Detta ger <math>	+
		+
		+	Detta ger
		+
		+	<math>
	\frac{1}{6x-x^2-5}=-\frac{1}{4}\left(\frac{1}{1-x}+\frac{1}{x-5}\right).</math>		\frac{1}{6x-x^2-5}=-\frac{1}{4}\left(\frac{1}{1-x}+\frac{1}{x-5}\right).</math>

Clas Löfwall den 16 oktober 2007 kl. 15.18

2007-10-16T15:18:08Z

← Äldre version		Versionen från 16 oktober 2007 kl. 15.18
Rad 2:		Rad 2:

	[[Exempellösningar\|Tillbaka till lösningarna]]		[[Exempellösningar\|Tillbaka till lösningarna]]
		+
		+
		+
		+
		+	'''11.1.'''Att bestämma partialbråksuppdelningar utan ansats är förstås
		+	tramsigt eftersom man i praktiken alltid använder olika ansatser. Lös
		+	därför övningen hur du vill!
		+
		+
		+
		+	a.'''<math>
		+	\frac{1}{x(x+1)}=\frac{(x+1)-x}{x(x+1)}=\frac{x+1}{x(x+1)}-\frac{x}{x(x+1)}=
		+	\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}</math>
		+
		+
		+
		+	b.'''<math>\begin{array}{lll}
		+	\frac{1}{x^2(x-1)}&=&\frac{x^2-(x^2-x)-(x-1)}{x^2(x-1)}=
		+	\frac{x^2}{x^2(x-1)}-\frac{x(x-1)}{x^2(x-1)}-\frac{x-1}{x^2(x-1)}\\
		+	&=&
		+	\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}\end{array}</math>
		+
		+
		+
		+	c.'''<math>
		+	\frac{1}{x(4x^2+1)}=\frac{4x^2+1-4x^2}{x(4x^2+1)}=
		+	\frac{4x^2+1}{x(4x^2+1)}-\frac{4x^2}{x(4x^2+1)}=
		+	\frac{1}{x}-\frac{4x}{4x^2+1}</math>
		+
		+
		+
		+	'''11.2.a.'''<math>
		+	\int\frac{dx}{x(x+1)}=\int\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}\right)\, dx=
		+	\ln \|x\|-\ln\|x+1\|+C=\ln\left\|\frac{x}{x+1}\right\|+C</math>
		+
		+
		+
		+	b.'''<math>
		+	\int\frac{dx}{x^2(x-1)}=\int\left(
		+	\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}\right)\, dx=
		+	\ln\|x-1\|-\ln \|x\|+\frac{1}{x}+C</math>
		+
		+
		+
		+	c.'''<math>\begin{array}{lll}
		+	\int\frac{dx}{x(4x^2+1)}&=&\int\left(\frac{1}{x}-\frac{4x}{4x^2+1}\right)\, dx=
		+	\ln\|x\|-\frac{1}{2}\int\frac{8x}{4x^2+1}\, dx\\
		+	&=&
		+	\ln
		+	\|x\|-\frac{1}{2}\ln\|4x^2+1\|+C=\ln\frac{\|x\|}{\sqrt{4x^2+1}}+C\end{array}</math>
		+
		+
		+
		+	'''11.6.a.'''Vi har $9-x^2=(3+x)(3-x)$ så uppdelningen har utseendet <math>
		+	\frac{3}{9-x^2}=\frac{A}{3+x}+\frac{B}{3-x}.</math>
		+	Vi gör liknämnigt: <math>
		+	\frac{A}{3+x}+\frac{B}{3-x}=\frac{B(3+x)+A(3-x)}{(3+x)(3-x)}=
		+	\frac{(-A+B)x+3(A+B)}{9-x^2}</math>
		+	Detta ger ekvationssystemet <math>
		+	\left\{\begin{array}{cccc}
		+	-A+B&=&0\\
		+	A+B&=&1\end{array}\right.</math>
		+	som har lösningen $A=B=1/2$. Partialbråksuppdelningen är således <math>
		+	\frac{3}{9-x^2}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{3+x}+\frac{1}{3-x}\right).</math>
		+
		+
		+
		+	b.'''Vi faktoriserar nämnaren genom att bestämma dess nollställen:
		+	<math>
		+	6x-x^2-5=0\Leftrightarrow x^2-6x+5=0\Leftrightarrow
		+	x=3±\sqrt{9-5}=3±2</math>
		+	Nollställena är $x=1$ och $x=5$, så <math>
		+	6x-x^2-5=-(x-1)(x-5)=(1-x)(x-5).</math>
		+	Partialbråksuppdelningen har utseendet <math>
		+	\frac{1}{6x-x^2-5}=\frac{A}{1-x}+\frac{B}{x-5}</math>
		+	och gör vi liknämnigt så får vi <math>
		+	\frac{A}{1-x}+\frac{B}{x-5}=\frac{A(x-5)+B(1-x)}{(1-x)(x-5)}=
		+	\frac{(A-B)x-5A+B}{6x-x^2+5}.</math>
		+	Alltså måste <math>
		+	\left\{\begin{array}{ccc}
		+	A-B&=&0\\
		+	-5A+B&=&1\end{array}\right.
		+	\Leftrightarrow
		+	A=B=-\frac{1}{4}.</math>
		+	Detta ger <math>
		+	\frac{1}{6x-x^2-5}=-\frac{1}{4}\left(\frac{1}{1-x}+\frac{1}{x-5}\right).</math>
		+
		+
		+
		+	c.'''Nämnaren har faktoriseringen $x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$, där
		+	andragradsfaktorn inte har några reella nollställen (och således inte
		+	går att faktorisera vidare). Partialbråksuppdelningen har utseendet <math>
		+	\frac{1}{x^3-1}=\frac{A}{x-1}+\frac{Bx+C}{x^2+x+1}.</math>
		+	Vi gör liknämnigt i HL: <math>\begin{array}{lll}
		+	\frac{A}{x-1}+\frac{Bx+C}{x^2+x+1}&=&
		+	\frac{A(x^2+x+1)+(Bx+C)(x-1)}{(x-1)(x^2+x+1)}\\
		+	&=&
		+	\frac{(A+B)x^2+(A-B+C)x+A-C}{x^3-1}.\end{array}</math>
		+	Detta ger ekvationsystemet <math>
		+	\left\{\begin{array}{cccccccccc}
		+	A&+&B&&&=&0\\
		+	A&-&B&+&C&=&0\\
		+	A&&&-&C&=&1\end{array}\right.\Leftrightarrow
		+	\left\{\begin{array}{cccc}
		+	A&=&1/3\\
		+	B&=&-1/3\\
		+	C&=&-2/3\end{array}\right.
		+	</math>
		+	och vi får till sist <math>
		+	\frac{1}{x^3-1}=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{x-1}-\frac{x+2}{x^2+x+1}\right).</math>
		+
		+
		+
		+	'''11.7.a.<math>
		+	\int\frac{3}{9-x^2}\,
		+	dx=\frac{1}{2}\int\left(\frac{1}{3+x}-\frac{1}{x-3}\right)\, dx=
		+	\frac{1}{2}\left(\ln\|x+3\|-\ln\|x-3\|\right)+C</math>
		+
		+
		+
		+	b.'''<math>\begin{array}{lll}
		+	\int\frac{dx}{6x-x^2-5}&=&\frac{1}{4}\int\left(
		+	\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x-5}\right)\, dx\\
		+	&=&
		+	\frac{1}{4}\left(\ln\|x-1\|-\ln\|x-5\|\right)+C\end{array}</math>
		+
		+
		+
		+	c.'''Vi skriver den andra termen i parentesen som <math>
		+	\frac{x+2}{x^2+x+1}=\frac{1}{2}\left(
		+	\frac{2x+1}{x^2+x+1}+\frac{3}{x^2+x+1}\right).</math>
		+	Här har den första termen utseendet $f'(x)/f(x)$, där $f(x)=x^2+x+1$.
		+	En primitiv funktion är således $\ln\|f(x)\|=\ln(x^2+x+1)$ (observera
		+	att $x^2+x+1>0$ för alla $x$). För att integrera den andra termen
		+	kvadratkompletterar vi nämnaren: <math>
		+	x^2+x+1=\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}=
		+	\frac{3}{4}\left(1+\left(\frac{2x+1}{\sqrt 3}\right)^2\right)</math>
		+	Alltså är <math>
		+	\int\frac{dx}{x^2+x+1}=\frac{4}{3}\cdot\frac{\sqrt 3}{2}\arctan\frac{2x+1}{\sqrt
		+	3}+C=
		+	\frac{2}{\sqrt 3}\arctan\frac{2x+1}{\sqrt 3}+C</math>
		+	De primitiva funktionerna till $1/(x^3-1)$ är således <math>
		+	\frac{1}{3}\left(\ln\|x-1\|-\frac{1}{2}\ln(x^2+x+1)-\sqrt 3
		+	\arctan\frac{2x+1}{\sqrt 3}\right)+C.
		+	</math>
		+
		+
		+
		+	'''11.9.b.'''Partialbråksuppdela: <math>
		+	\frac{x+3}{x(x+2)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x+2}=\frac{(A+B)x+2A}{x(x+2)}</math>
		+	Detta ger $A+B=1$, $2A=3$, alltså $A=3/2$, $B=-1/2$. Alltså
		+	<math>\begin{array}{lll}
		+	\int_{1}^2\frac{x+3}{x(x+2)}\, dx&=&
		+	\frac{1}{2}\int_{1}^2\left(\frac{3}{x}-\frac{1}{x+2}\right)\, dx
		+	=
		+	\frac{1}{2}\left[3\ln\|x\|-\ln\|x+2\|\right]_{1}^2\\
		+	&=&
		+	\frac{1}{2}(3\ln 2-\ln 4-3\ln 1+\ln 3)=
		+	\frac{1}{2}\ln 6\end{array}</math>
		+
		+
		+
		+	d.'''Den andra faktorn kan faktoriseras: $x^2+2x-3=(x-1)(x+3)$.
		+	Partialbråksuppdelning: <math>
		+	\frac{1}{(x+1)(x^2+2x-3)}=\frac{1}{(x+1)(x-1)(x+3)}=
		+	\frac{A}{x+1}+\frac{B}{x-1}+\frac{C}{x+3}.</math>
		+	Ekvationsystemet blir <math>
		+	\left\{\begin{array}{ccccccc}
		+	A&+&B&+&C&=&0\\
		+	A&+&2B&&&=&0\\
		+	-3A&+&3B&-&C&=&1\end{array}\right.\Leftrightarrow
		+	\left\{\begin{array}{ccc}
		+	A&=&-1/4\\
		+	B&=&1/8\\
		+	C&=&1/8\end{array}\right.</math>
		+	Alltså <math>\begin{array}{lll}
		+	\int\frac{dx}{(x+1)(x^2+2x-3)}&=&
		+	-\frac{1}{4}\ln\|x+1\|+\frac{1}{8}\ln\|x-1\|+\frac{1}{8}\ln\|x+3\|+C\\
		+	&=&
		+	\frac{1}{8}\ln\frac{\|(x-1)(x+3)\|}{(x+1)^2}+C\end{array}</math>
		+	Vi har <math>
		+	\lim_{x\to\infty}\ln\frac{\|(x-1)(x+3)\|}{(x+1)^2}=
		+	\lim_{x\to\infty}\ln\frac{(1-1/x)(1+3/x)}{(1+1/x)^2}=
		+	\ln 1=0,</math>
		+	så <math>\begin{array}{lll}
		+	\int_{2}^{\infty}\frac{dx}{(x+1)(x^2+2x-3)}&=&
		+	\left[\frac{1}{8}\ln\frac{\|(x-1)(x+3)\|}{(x+1)^2}\right]_{2}^{\infty}\\
		+	&=&
		+	-\frac{1}{8}\ln\frac{1\cdot
		+	5}{3^2}=\frac{1}{8}\ln\frac{9}{5}.\end{array}</math>
		+
		+
		+
		+	e.'''Här är partialbråksuppdelningen <math>
		+	\frac{17x^2-x-26}{(x^2-1)(x^2-4)}=\frac{1}{3}\left(
		+	-\frac{4}{x+1}+\frac{5}{x-1}-\frac{11}{x+2}+\frac{10}{x-2}\right)</math>
		+	och integralen blir <math>\begin{array}{lll}
		+	&\frac{1}{3}\left[-4\ln\|x+1\|+5\ln\|x-1\|-11\ln\|x+2\|+10\ln\|x-2\|\right]_{3}^4&\\
		+	&=\frac{1}{3}(7\ln 5-6\ln 3+2\ln 2).&\end{array}</math>
		+
		+
		+
		+	'''11.10.'''Partialbråksuppdelning ger <math>\begin{array}{lll}
		+	t&=&\int_{N_{0}}^{N}\frac{K\, dn}{n(M-n)}=
		+	\frac{K}{M}\int_{N_{0}}^{N}\left(\frac{1}{n}+\frac{1}{M-n}\right)\,
		+	dn\\
		+	&=&
		+	\frac{K}{M}\left[\ln \|n\|-\ln\|M-n\|\right]_{N_{0}}^{N}=
		+	\frac{K}{M}\left(\ln\frac{N}{M-N}-\ln\frac{N_{0}}{M-N_{0}}\right)
		+	\end{array}</math>
		+	Detta ger i sin tur <math>
		+	\frac{N}{M-N}=\frac{N_{0}}{M-N_{0}}\, e^{Mt/K}\quad
		+	\mbox{och}\quad N=\frac{N_{0}Me^{Mt/K}}{N_{0}(e^{Mt/K}-1)+M}.</math>
		+	För att kunna se vad som händer då $t\to\infty$ förkortar vi med
		+	$e^{Mt/K}$: <math>
		+	N=\frac{N_{0}M}{N_{0}(1-e^{-Mt/K})+Me^{-Mt/K}}.</math>
		+	Eftersom $e^{-Mt/K}\to 0$ då $t\to\infty$, så får vi <math>
		+	N\to\frac{N_{0}M}{N_{0}}=M\quad\mbox{då $t\to\infty$}.</math>

Clas Löfwall: Ny sida: ==Lösningar till några övningar till lektion 19== Tillbaka till lösningarna

2007-10-02T13:35:29Z

Ny sida: ==Lösningar till några övningar till lektion 19== Tillbaka till lösningarna

Ny sida

==Lösningar till några övningar till lektion 19==

[[Exempellösningar|Tillbaka till lösningarna]]