KTH.SE:u17xlk1r den 24 augusti 2007 kl. 16.24

2007-08-24T16:24:40Z

← Äldre version		Versionen från 24 augusti 2007 kl. 16.24
Rad 60:		Rad 60:
	'''1.5.e)'''		'''1.5.e)'''

-	Olikheten är ekvivalent med	+	Olikheten är ekvivalent med

	$		$
Rad 82:		Rad 82:
	'''1.5 f)'''		'''1.5 f)'''

-	Olikheten är ekvivalent med	+	Olikheten är ekvivalent med

	$		$
Rad 106:		Rad 106:
	'''1.8.d)'''		'''1.8.d)'''

-	Lägg märke till att $\|a\|=\|-a\|$ för alla tal $a$, varför	+	Lägg märke till att $\|a\|=\|-a\|$ för alla tal $a$, varför
	$\|x-2\|-\|2-x\|=\|x-2\|-\|-(x-2)\|=\|x-2\|-\|x-2\|=0$ för alla $x$.		$\|x-2\|-\|2-x\|=\|x-2\|-\|-(x-2)\|=\|x-2\|-\|x-2\|=0$ för alla $x$.

Rad 113:		Rad 113:
	'''1.9.a)'''		'''1.9.a)'''

-	Att $\|x\|=2$ betyder att	+	Att $\|x\|=2$ betyder att

	avståndet mellan $x$ och 0 på tallinjen		avståndet mellan $x$ och 0 på tallinjen
Rad 122:		Rad 122:
	'''1.9 b)'''		'''1.9 b)'''

-	Olikheten $\|x\|>2$ betyder att	+	Olikheten $\|x\|>2$ betyder att

	avståndet mellan $x$ och 0 är minst		avståndet mellan $x$ och 0 är minst
Rad 132:		Rad 132:
	'''1.9 c)'''		'''1.9 c)'''

-	Eftersom absolutbeloppet alltid är $\ge 0$	+	Eftersom absolutbeloppet alltid är $\ge 0$

	så gäller den här		så gäller den här
Rad 141:		Rad 141:
	'''1.9 d)'''		'''1.9 d)'''

-	Av uppgift a) följer att	+	Av uppgift a) följer att

	$x-2=-2$ eller $x-2=2$, vilket ger $x=0$		$x-2=-2$ eller $x-2=2$, vilket ger $x=0$
Rad 152:		Rad 152:
	'''1.9 e)'''		'''1.9 e)'''

-	Olikheten är ekvivalent med	+	Olikheten är ekvivalent med

	$\|x-3\|<1$ (eftersom $\|a\|=\|-a\|$), vilket		$\|x-3\|<1$ (eftersom $\|a\|=\|-a\|$), vilket
Rad 162:		Rad 162:
	'''1.9 f)'''		'''1.9 f)'''

-	Här bör man dela upp i olika fall	+	Här bör man dela upp i olika fall

	beroende på vad $x-2$ och $x-3$		beroende på vad $x-2$ och $x-3$
Rad 200:		Rad 200:
	'''1.9 g)'''		'''1.9 g)'''

-	Dela upp i olika fall som i f):	+	Dela upp i olika fall som i f):


Rad 231:		Rad 231:
	'''1.9 h)'''		'''1.9 h)'''

-	Dela upp i fall:	+	Dela upp i fall:


Rad 271:		Rad 271:
	'''1.9 i)'''		'''1.9 i)'''

-	Vi delar upp i tre fall,	+	Vi delar upp i tre fall,

	$x<1/2$, $1/2\le x\le 1$ och $x>1$, och		$x<1/2$, $1/2\le x\le 1$ och $x>1$, och

KTH.SE:u17xlk1r: Ny sida: ==Lösningar till några övningar till Lektion 2== Tillbaka till lösningarna '''0.1''' $\begin{array} \frac{x-\sqrt{x-2}}{x+\sqrt{x-2}}=2&\Leftrightarrow& x-\sqr...

2007-08-23T09:13:56Z

Ny sida: ==Lösningar till några övningar till Lektion 2== Tillbaka till lösningarna '''0.1''' $\begin{array} \frac{x-\sqrt{x-2}}{x+\sqrt{x-2}}=2&\Leftrightarrow& x-\sqr...

Ny sida

==Lösningar till några övningar till Lektion 2==
[[Exempellösningar | Tillbaka till lösningarna]]

'''0.1'''

$\begin{array}
\frac{x-\sqrt{x-2}}{x+\sqrt{x-2}}=2&\Leftrightarrow&
x-\sqrt{x-2}=2(x+\sqrt{x-2})\Leftrightarrow
-x=3\sqrt{x-2}\\
&\Rightarrow& (-x)^2=(3\sqrt{x-2})^2\Leftrightarrow
x^2=9(x-2)\\
&\Leftrightarrow& x^2-9x+18=0\\
&\Leftrightarrow&
\left(x-\frac{9}{2}\right)^2-\left(\frac{9}{2}\right)^2+18=
\left(x-\frac{9}{2}\right)^2-\frac{9}{4}=0\\
&\Leftrightarrow&
x=\frac{9}{2}±\frac{3}{2}\end{array}$

De två ''möjliga'' rötterna är således $x_{1}=3$ och $x_{2}=6$, men
eftersom vi inte har ekvivalenser hela vägen, så måste vi testa dem.
För $x=3$ är VL i ekvationen

$
\frac{3-\sqrt 1}{3+\sqrt 1}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$

så 3 är inte en rot. För $x=6$ blir VL

$
\frac{6-\sqrt 4}{6+\sqrt 4}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$

så 6 duger heller inte. Ekvationen saknar rötter.

'''0.2'''

$\begin{array}
\sqrt x-\sqrt{x-2}=1&\Rightarrow& x-2\sqrt x\sqrt{x-2}+(x-2)=1
\Leftrightarrow
2x-3=2\sqrt x\sqrt{x-2}\\
&\Rightarrow&(2x-3)^2=4x(x-2)\Leftrightarrow
4x=9\Leftrightarrow x=\frac{9}{4}\end{array}$

Då vi inte har ekvivalenser hela vägen, så måste vi kontrollera
svaret:

$
\sqrt{\frac{9}{4}}-\sqrt{\frac{9}{4}-2}=\frac{3}{2}-\sqrt{\frac{1}{4}}=
\frac{3}{2}-\frac{1}{2}=1$

Ekvationen har således roten $x=9/4$.

'''1.5.e)'''

Olikheten är ekvivalent med

$
\frac{2x}{x-2}-1=\frac{2x-(x-2)}{x-2}=\frac{x+2}{x-2}>0$

Gör ett teckenschema:

$\begin{array}{ccccccccc}
x & & -2 & & 2\\
\\
x+2 & - & 0 & + & + & + \\
x-2 & - & - & - & 0 & + \\
\frac{x+2}{x-2} & + & 0 & - & \mbox{ej def.}& +\end{array}$

Att uttrycket inte är definierat för $x=2$ beror på att nämnaren blir 0 där. Svaret är tydligen att olikheten är sann för de $x$ som uppfyller att $(x<-2) \lor (x>2)$.

'''1.5 f)'''

Olikheten är ekvivalent med

$
\frac{1}{x-1}-\frac{2}{x}=\frac{x-2(x-1)}{x(x-1)}=\frac{-x+2}{x(x-1)}\ge
0$

Gör ett teckenschema:

$\begin{array}{ccccccccc}
x & & 0 & & 1 & & 2 \\
\\
-x+2 & + & + & + & + & + & 0 & - \\
x & - & 0 & + & + & + & + & + \\
x-1 & - & - & - & 0 & + & + & + \\
\frac{-x+2}{x(x-1)} & + & \mbox{ej def.} & - & \mbox{ej def.} & + & 0 & - \end{array}$

Svaret är alltså att olikheten är sann för de $x$ som uppfyller att $(x<0)\lor(1<x\le 2)$.

'''1.8.d)'''

Lägg märke till att $|a|=|-a|$ för alla tal $a$, varför
$|x-2|-|2-x|=|x-2|-|-(x-2)|=|x-2|-|x-2|=0$ för alla $x$.

'''1.9.a)'''

Att $|x|=2$ betyder att

avståndet mellan $x$ och 0 på tallinjen
är 2. Det finns två punkter med den egenskapen, nämligen $x=\pm2$.

'''1.9 b)'''

Olikheten $|x|>2$ betyder att

avståndet mellan $x$ och 0 är minst
2, vilket är fallet då $x$ antingen ligger till vänster om $-2$ eller
till höger om 2. Alltså $x<-2$ eller $x>2$.

'''1.9 c)'''

Eftersom absolutbeloppet alltid är $\ge 0$

så gäller den här
olikheten för alla $x$.

'''1.9 d)'''

Av uppgift a) följer att

$x-2=-2$ eller $x-2=2$, vilket ger $x=0$
eller $x=4$. Ett annat sätt att resonera är att notera att $|x-2|$
betyder avståndet mellan $x$ och 2 på tallinjen. För att detta skall
vara lika med 2, så måste $x=2-2=0$ eller $x=2+2=4$.

'''1.9 e)'''

Olikheten är ekvivalent med

$|x-3|<1$ (eftersom $|a|=|-a|$), vilket
betyder att avståndet mellan $x$ och 3 skall vara $<1$. Detta är
fallet om $-1<x-3<1$ vilket är ekvivalent med $-1+3<x<1+3$, dvs $2<x<4$.

'''1.9 f)'''

Här bör man dela upp i olika fall

beroende på vad $x-2$ och $x-3$
har för tecken:

$x<2$:

Här är $x-2$ och $x-3$ båda negativa,
så $|x-2|=2-x$ och $|x-3|=3-x$.
Olikheten blir $3(2-x)<3-x$ eller $6-3<3x-x$, dvs $x>3/2$. Eftersom vi antagit att $x<2$,
så får vi $3/2<x<2$.

${2\le x\le 3}$:

Här är $x-2\ge 0$ men $x-3\le 0$, så
olikheten blir nu $3(x-2)<3-x$, varav $x<9/4$. Sammanfattningsvis
$2\le x<9/4$.

$x>3$:

Här är både $x-2$ och $x-3$ positiva, så olikheten
blir $3(x-2)<x-3$, som ger $x<3/2$. Då vi har antagit att $x>3$, så är
detta omöjligt.

Genom att kombinera de olika fallen får vi att svaret är $3/2<x<2$ eller $2\le x<9/4$, dvs $3/2<x<9/4$.

'''1.9 g)'''

Dela upp i olika fall som i f):

$x<-2$:

Olikheten blir $-(x+2)-2\le 2(-x)$ eller $x\le 4$,
som ju är sant om $x<-2$.

$-2\le x\le 0$:

Olikheten blir $(x+2)-2\le 2(-x)$ eller
$3x\le 0$, varav $x\le 0$, vilket ju är sant i det här intervallet.

$x>0$:

Olikheten blir $(x+2)-2\le 2x$ eller $x\ge 0$,
vilket är sant.

Svaret är att olikheten gäller för alla $x$.

'''1.9 h)'''

Dela upp i fall:

$x<-1$:

Här är $x-2<0$ och $x+1<0$, så $(x-2)/(x+1)>0$
och $\left|\frac{x-2}{x+1}\right|=\frac{x-2}{x+1}$. Olikheten blir
$\frac{x-2}{x+1}\le 1$ eller $0\le 1-\frac{x-2}{x+1}=\frac{3}{x+1}$.
Alltså måste $x+1\ge 0$ och $x\ge -1$. Men vi har antagit att $x<-1$,
så detta är omöjligt.

$-1\le x\le 2$:

Här är $x-2\le 0$ och $x+1\ge 0$, så
$\frac{x-2}{x+1}\le 0$ och
$\left|\frac{x-2}{x+1}\right|=-\frac{x-2}{x+1}$. Olikheten blir
$-\frac{x-2}{x+1}\le 1$ eller $0\le \frac{2x-1}{x+1}$. Eftersom
nämnaren är $\ge 0$, så måste $2x-1\ge 0$, dvs $x\ge 1/2$.
Sammanfattningsvis $1/2\le x\le 2$.

$x>2$:

Här är både täljare och nämnare i bråket positiva,
så att $\left|\frac{x-2}{x+1}\right|=\frac{x-2}{x+1}$. Detta ger samma
olikhet som i första fallet och alltså $x\ge -1$. Sammanfattningsvis
$x>2$.

Svaret är $x\ge 1/2$.

'''1.9 i)'''

Vi delar upp i tre fall,

$x<1/2$, $1/2\le x\le 1$ och $x>1$, och
löser de två olikheterna var för sig i de olika intervallen.

$x<1/2$:

Här är både täljare och nämnare negativa, så
bråket är positivt och olikheterna blir

$
\frac{1}{2}<\frac{x-1}{2x-1}\le 2$

Eftersom $2x-1<0$ så vänds olikhetstecknen då vi multiplicerar med
$2x-1$:

$
\frac{2x-1}{2}>x-1\ge 2(2x-1)\quad\mbox{eller}\quad 4x-2\le
x-1<x-\frac{1}{2}$

Alltså $3x-2<-1\le -1/2$ varav $x\le 1/3$. Eftersom $1/3<1/2$ så duger
alla $x\le 1/3$.

$1/2\le x\le 1$:

Olikheten blir

$
\frac{1}{2}<-\frac{x-1}{2x-1}\le 2\quad\mbox{eller}\quad
\frac{2x-1}{2}<-(x-1)\le 2(2x-1)$

eftersom $2x-1\ge 0$. Den vänstra olikheten ger $x<3/4$ och den högra
$x\ge 3/5$. Sammanfattningsvis $3/5\le x<3/4$.

$x>1$:

Här är både täljare och nämnare positiva, så
bråket är positivt, vilket ger samma olikheter som i första fallet.
Men där fick vi $x<1/3$, vilket ger en motsägelse i det här fallet.

Svaret är $(x\le 1/3)\lor(3/5\le x<3/4)$.

Lösningar 2 - Versionshistorik

KTH.SE:u17xlk1r den 24 augusti 2007 kl. 16.24

KTH.SE:u17xlk1r: Ny sida: ==Lösningar till några övningar till Lektion 2== Tillbaka till lösningarna '''0.1''' $\begin{array} \frac{x-\sqrt{x-2}}{x+\sqrt{x-2}}=2&\Leftrightarrow& x-\sqr...