Lösningar 21 - Versionshistorik

Clas Löfwall den 26 oktober 2007 kl. 11.07

2007-10-26T11:07:14Z

← Äldre version		Versionen från 26 oktober 2007 kl. 11.07
Rad 66:		Rad 66:
	som kan skrivas <math>		som kan skrivas <math>
	\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{\sin^2x}\, y\right)=\frac{\cos x}{\sin^3x}.</math>		\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{\sin^2x}\, y\right)=\frac{\cos x}{\sin^3x}.</math>
-	Med samma substitution som nyss så får vi att $-1/2\sin^2x+C$ är de primitiva funktionerna till HL, varför <math>\frac{1}{\sin^2x}\, y=-\frac{1}{2\sin^2x}+C\quad\mbox{eller}\quad	+	Med samma substitution som nyss så får vi att $-1/(2\sin^2x+C)$ är de primitiva funktionerna till HL, varför <math>\frac{1}{\sin^2x}\, y=-\frac{1}{2\sin^2x}+C\quad\mbox{eller}\quad
	y=-\frac{1}{2}+C\sin^2x.</math>		y=-\frac{1}{2}+C\sin^2x.</math>

Clas Löfwall den 26 oktober 2007 kl. 11.01

2007-10-26T11:01:25Z

← Äldre version		Versionen från 26 oktober 2007 kl. 11.01
Rad 6:		Rad 6:
	Skriv ekvationen som <math>		Skriv ekvationen som <math>
	y'-\frac{2}{x}\, y=x+\frac{1}{x}.</math>		y'-\frac{2}{x}\, y=x+\frac{1}{x}.</math>
-	En primitiv funktion till $-2/x$ är $-2\ln x$ (observera att $x>0$), så en integrerande faktor är $e^{-2\ln x}=x^{-2}=1/x^2$. Multiplicerar vi (1) med den så får vi <math>	+	En primitiv funktion till $-2/x$ är $-2\ln x$ (observera att $x>0$), så en integrerande faktor är $e^{-2\ln x}=x^{-2}=1/x^2$. Multiplicerar vi med den så får vi <math>
	\frac{1}{x^2}\, y'-\frac{2}{x^3}\, y=\frac{1}{x}+\frac{1}{x^3}</math>		\frac{1}{x^2}\, y'-\frac{2}{x^3}\, y=\frac{1}{x}+\frac{1}{x^3}</math>
	som kan skrivas <math>		som kan skrivas <math>

Clas Löfwall den 26 oktober 2007 kl. 11.00

2007-10-26T11:00:20Z

← Äldre version		Versionen från 26 oktober 2007 kl. 11.00
Rad 4:		Rad 4:
	'''13.12.'''		'''13.12.'''

-	Skriv ekvationen som <math>\begin{array}	+	Skriv ekvationen som <math>
-	y'-\frac{2}{x}\, y=x+\frac{1}{x}.\end{array}</math>	+	y'-\frac{2}{x}\, y=x+\frac{1}{x}.</math>
	En primitiv funktion till $-2/x$ är $-2\ln x$ (observera att $x>0$), så en integrerande faktor är $e^{-2\ln x}=x^{-2}=1/x^2$. Multiplicerar vi (1) med den så får vi <math>		En primitiv funktion till $-2/x$ är $-2\ln x$ (observera att $x>0$), så en integrerande faktor är $e^{-2\ln x}=x^{-2}=1/x^2$. Multiplicerar vi (1) med den så får vi <math>
	\frac{1}{x^2}\, y'-\frac{2}{x^3}\, y=\frac{1}{x}+\frac{1}{x^3}</math>		\frac{1}{x^2}\, y'-\frac{2}{x^3}\, y=\frac{1}{x}+\frac{1}{x^3}</math>

Clas Löfwall den 26 oktober 2007 kl. 10.57

2007-10-26T10:57:42Z

← Äldre version		Versionen från 26 oktober 2007 kl. 10.57
Rad 4:		Rad 4:
	'''13.12.'''		'''13.12.'''

-	Skriv ekvationen som \begin{array}	+	Skriv ekvationen som <math>\begin{array}
-	y'-\frac{2}{x}\, y=x+\frac{1}{x}.\end{array}	+	y'-\frac{2}{x}\, y=x+\frac{1}{x}.\end{array}</math>
	En primitiv funktion till $-2/x$ är $-2\ln x$ (observera att $x>0$), så en integrerande faktor är $e^{-2\ln x}=x^{-2}=1/x^2$. Multiplicerar vi (1) med den så får vi <math>		En primitiv funktion till $-2/x$ är $-2\ln x$ (observera att $x>0$), så en integrerande faktor är $e^{-2\ln x}=x^{-2}=1/x^2$. Multiplicerar vi (1) med den så får vi <math>
	\frac{1}{x^2}\, y'-\frac{2}{x^3}\, y=\frac{1}{x}+\frac{1}{x^3}</math>		\frac{1}{x^2}\, y'-\frac{2}{x^3}\, y=\frac{1}{x}+\frac{1}{x^3}</math>

Clas Löfwall den 26 oktober 2007 kl. 10.55

2007-10-26T10:55:16Z

← Äldre version		Versionen från 26 oktober 2007 kl. 10.55
Rad 1:		Rad 1:
	==Lösningar till några övningar till lektion 21==		==Lösningar till några övningar till lektion 21==
		+
		+
		+	'''13.12.'''
		+
		+	Skriv ekvationen som \begin{array}
		+	y'-\frac{2}{x}\, y=x+\frac{1}{x}.\end{array}
		+	En primitiv funktion till $-2/x$ är $-2\ln x$ (observera att $x>0$), så en integrerande faktor är $e^{-2\ln x}=x^{-2}=1/x^2$. Multiplicerar vi (1) med den så får vi <math>
		+	\frac{1}{x^2}\, y'-\frac{2}{x^3}\, y=\frac{1}{x}+\frac{1}{x^3}</math>
		+	som kan skrivas <math>
		+	\frac{d}{dx}\,\left(\frac{1}{x^2}\, y\right)=\frac{1}{x}+\frac{1}{x^3}.</math>
		+	Alltså är <math>
		+	\frac{1}{x^2}\, y=\ln x-\frac{1}{2x^2}+C,</math> där $C$ är en konstant,
		+	eller <math>
		+	y=x^2\ln x-\frac{1}{2}+Cx^2.</math>
		+	Villkoret $y(1)=0$ ger $-1/2+C=0$, dvs $C=1/2$, så den sökta lösningen är <math>
		+	y=x^2\ln x-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\,x^2.</math>
		+
		+
		+
		+	'''13.13.'''
		+
		+	Ekvationen kan skrivas <math>
		+	y'-\frac{2}{x}\, y=\frac{x^2}{2}.</math>
		+	En primitiv funktion till $-2/x$ är $-2\ln x$ (ty $x>0$), så en integrerande faktor är $e^{-2\ln x}=1/x^2$. Multiplicerar vi med den så får vi <math>
		+	\frac{1}{x^2}\, y'-\frac{2}{x^3}\, y=\frac{1}{2}</math>
		+	som kan skrivas <math>
		+	\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x^2}\, y\right)=\frac{1}{2}.</math>
		+	Alltså är <math>
		+	\frac{1}{x^2}\, y=\frac{x}{2}+C,</math> där $C$ är en konstant,
		+	eller <math>
		+	y=\frac{x^3}{2}+Cx^2.</math>
		+	Villkoret $y(1)=0$ ger $1/2+C=0$, så $C=-1/2$ och den sökta lösningen är <math>
		+	y=\frac{x^3}{2}-\frac{x^2}{2}=\frac{1}{2}\,(x^3-x^2).</math>
		+
		+
		+
		+	'''13.15.'''
		+
		+	Vi skriver ekvationen som <math>
		+	y'+\frac{2}{x-1}\, y=-\frac{x^3}{x-1}.</math>
		+	En primitiv funktion till $2/(x-1)$ är $2\ln(x-1)$ (observera att $x>1$), så en integrerande faktor är $e^{2\ln(x-1)}=(x-1)^2$. Multiplicerar vi med den så får vi <math>
		+	(x-1)^2y'+2(x-1)y=-x^3(x-1),</math>
		+	som kan skrivas <math>
		+	\frac{d}{dx}\left((x-1)^2y\right)=-x^3(x-1)=x^3-x^4.</math>
		+	Alltså är <math>
		+	(x-1)^2y=\frac{x^4}{4}-\frac{x^5}{5}+C,</math> där $C$ är en konstant,
		+	varav <math>
		+	y=\frac{x^4/4-x^5/5+C}{(x-1)^2}.</math>
		+
		+
		+
		+	'''13.17.'''
		+
		+	Vi skriver ekvationen som <math>
		+	y'-\frac{2\cos x}{\sin x}\, y=\frac{\cos x}{\sin x}</math>
		+	och måste hitta en primitiv funktion till $-2\cos x/\sin x$. En substitution löser problemet:<math>
		+	\int\frac{\cos x}{\sin x}\, dx=\left\{\begin{array}{ccccc}
		+	\sin x&=&t\\
		+	\cos x\, dx&=&dt\end{array}\right\}=
		+	\int\frac{dt}{t}=\ln \|t\|+C=\ln\|\sin x\|+C.</math>
		+	Vi väljer den primitiva funktionen $-2\ln\|\sin x\|$ och får den integrerande faktorn <math>
		+	e^{-2\ln\|\sin x\|}=(\|\sin x\|)^{-2}=\frac{1}{\sin^2x}.</math>
		+	Multiplicerar vi med den så får vi <math>
		+	\frac{1}{\sin^2x}\, y'-\frac{2\cos x}{\sin^3x}\, y=\frac{\cos x}{\sin^3x}</math>
		+	som kan skrivas <math>
		+	\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{\sin^2x}\, y\right)=\frac{\cos x}{\sin^3x}.</math>
		+	Med samma substitution som nyss så får vi att $-1/2\sin^2x+C$ är de primitiva funktionerna till HL, varför <math>\frac{1}{\sin^2x}\, y=-\frac{1}{2\sin^2x}+C\quad\mbox{eller}\quad
		+	y=-\frac{1}{2}+C\sin^2x.</math>
		+
		+
		+
		+	'''13.19.'''
		+
		+	Beteckna klorhalten vid tiden $t$ dygn med $y(t)$ (mätt som liter klor per liter klorhaltigt vatten i cisternen). Mellan tidpunkterna $t$ och $t+\Delta t$ läcker $300\Delta t$ liter klorhaltigt vatten. Om $\Delta t$ är litet, så är $y(t)$ nästan konstant under tiden och mängden klor i läckagevattnet är ungefär $300y(t)\Delta t$ liter, så <math>
		+	y(t+\Delta t)\approx\frac{300000y(t)-300y(t)\Delta t}{300000}=y(t)-0,001y(t)\Delta t,</math>
		+	vilket ger <math>
		+	\frac{y(t+\Delta t)-y(t)}{\Delta t}\approx -0,001y(t).</math>
		+	Låter vi $\Delta t\to 0$ så får vi DE:n $y'(t)=-0,001y(t)$, som har lösningen $y(t)=Ce^{-0,001t}$. Då $t=0$ är klorhalten $y(0)=C=1/300000$, så <math>
		+	y(t)=\frac{e^{-0,001t}}{300000}.</math>
		+	Beteckna tidpunkten då halten är 1 ppm med $T$. Då får vi ekvationen <math>
		+	\frac{e^{-0,001T}}{300000}=10^{-6},</math>
		+	som ger <math>
		+	T=\frac{\ln (3\cdot 10^5\cdot 10^{-6})}{-0,001}=\frac{\ln 0,3}{-0,001}\approx 1200\quad\mbox{dygn.}</math>
		+
		+
		+
		+	'''13.40.a.'''
		+
		+	DE:n är <math>
		+	\frac{dp}{dt}=0,04p-0,0004p^2-1.</math>
		+
		+
		+	'''13.40.b.'''
		+
		+	DE:n har separabla variabler: <math>
		+	\frac{1}{0,04p-0,0004p^2-1}\, \frac{dp}{dt}=1.</math>
		+	Vi skriver om den som <math>
		+	\frac{1}{p^2-100p+2500}\, \frac{dp}{dt}=-0,0004</math>
		+	och måste hitta en primitiv funktion till den rationella funktionen i VL. Det råkar vara ganska enkelt: <math>
		+	\int\frac{dp}{p^2-100p+2500}=\int\frac{dp}{(p-50)^2}=-\frac{1}{p-50}+C.</math>
		+	Alltså är <math>
		+	-\frac{1}{p-50}+C=-0,0004t.</math>
		+	Vi har $p(0)=10000$, så $C=1/(10000-50)$, varav <math>
		+	p(t)=50+\frac{9950}{3,98t+1}=\frac{199t+10000}{3,98t+1}.</math>
		+	(Här är det fel i bokens facit; 2000 i täljaren måste vara 10000, annars stämmer inte antalet fiskar vid $t=0$.) När $t\to\infty$ så går detta mot 50.
		+

	[[Exempellösningar\|Tillbaka till lösningarna]]		[[Exempellösningar\|Tillbaka till lösningarna]]

Clas Löfwall: Ny sida: ==Lösningar till några övningar till lektion 21== Tillbaka till lösningarna

2007-10-02T13:35:57Z

Ny sida: ==Lösningar till några övningar till lektion 21== Tillbaka till lösningarna

Ny sida

==Lösningar till några övningar till lektion 21==

[[Exempellösningar|Tillbaka till lösningarna]]