KTH.SE:u17xlk1r: Ny sida: ==Lösningar till några övningar till Lektion 3== Tillbaka till lösningarna '''1.15''' Ledning: Sätt $2^x=t$ och lägg märke till att $2^{-x}=1/2^x=1/t$ '''...

2007-08-23T09:14:40Z

Ny sida: ==Lösningar till några övningar till Lektion 3== Tillbaka till lösningarna '''1.15''' Ledning: Sätt $2^x=t$ och lägg märke till att $2^{-x}=1/2^x=1/t$ '''...

Ny sida

==Lösningar till några övningar till Lektion 3==
[[Exempellösningar | Tillbaka till lösningarna]]

'''1.15'''

Ledning: Sätt $2^x=t$ och lägg märke till att $2^{-x}=1/2^x=1/t$

'''1.19'''

Försök göra de här övningarna genom att använda bara
definitionen av logaritmer, alltså utan miniräknare och utan att
snegla på alla formler i texten.

'''1.19 a)'''

Här måste man kuna tänka lite ''baklänges'' och se att
$27=3^3$. Då får man $\log_{3}(1/27)=-\log_{3}27=-\log_{3}3^3=-3$.

'''1.19 c)'''

Eftersom $8=2^3$ så är $2=8^{1/3}$, varför $\log_{8}2=1/3$.

'''1.19 e)'''

Sätt $a=\log_{4}6$, så att $6=4^a$. Eftersom $4=2^2$ så får vi
$6=(2^2)^a=2^{2a}$, varför $\log_{2}6=2a$. Alltså
$\log_{2}6/\log_{4}6=2a/a=2$.

'''1.23'''

$$
\frac{\ln \frac{a}{b}}{\ln a}=\frac{\ln a-\ln b}{\ln a}=1-\frac{\ln
b}{\ln a}$$

Sätt $x=\log_{a}b$, så att $b=a^x$. Tar vi ln av båda leden så får
vi $\ln b=\ln a^x=x\ln a$, dvs $x=\log_{a}b=\ln b/\ln a$. Alltså är
$\ln (a/b)/\ln a=1-\log_{a}b$.

'''1.31'''

Beteckna linjerna $L_{1}$ respektive $L_{2}$. Deras
riktningskoefficienter är

$
k_{1}=\frac{3-(-7)}{2-(-2)}=\frac{5}{2}\quad\mbox{och}\quad
k_{2}=\frac{2-(-1/4)}{-1-2}=-\frac{3}{4}$

så att ekvationerna är

$
L_{1}: y-3=\frac{5}{2}(x-2),\quad L_{2}:y-2=-\frac{3}{4}(x-(-1))$

I skärningspunkten är $y$-värdena lika, vilket ger ekvationen

$
\frac{5}{2}(x-2)+3=-\frac{3}{4}(x-(-1))+2,\quad\mbox{varav}\quad
x=1$

$y$-koordinaten får vi genom att sätta in $x=1$ i någon av linjernas
ekvationer och den är $y=5(1-2)/2+3=1/2$. Skärningspunkten är
alltså $(1,1/2)$.

'''1.40.a)'''

Beteckna antalet gråsuggor från början med $N_{0}$. På ett år
över populationen med $8,5\, \% $, dvs med $0,085N_{0}$ stycken djur.
Antalet djur vid slutet av första året är således
$N_{0}+0,085N_{0}=1,085N_{0}$. På samma sätt ser vi att antalet
gråsuggor efter tre år är $1,085^3N_{0}\approx 1,277N_{0}$. I procent
är detta en ökning med 27,7 $\% $.

'''1.40 b)'''

Med samma resonemang som i a) får vi $N(t)=N_{0}\cdot 1,085^t$. För att
bestämma den tid det tar tills antalet gråsuggor är $10N_{0}$ måste vi
lösa ekvationen $10N_{0}=N_{0}\cdot 1,085^t$ eller $1,085^t=10$.
Logaritmering ger $t\lg 1,085=\lg 10=1$, varav $t=1/\lg 1,085\approx
28,2$ år. Efter 29 år är tydligen antalet djur uppe i $10N_{0}$.

'''1.41'''

Säg att priset på en vara utan moms är $p$ kr. Priset inkl 25%
moms är då $1,25p$ kr och inkl 18% moms är det $1,18p$ kr. När
momsen sänks sjunker priset med $1,25p-1,18p=0,07p$ kr. I förhållande
till priset inkl den högre momsen är detta
$0,07p/1,25p=0,07/1,25\approx 0,056$. Priset sjunker således med ca
5,6%.

'''1.42'''

På ett år sjunker priset från $1,25p$ till $1,18p$, dvs med
faktorn $1,18/1,25$. Ett annat sätt att komma fram till denna faktor är att utgå från svaret i 1.41, 5,6%. Från det får vi fram "minskningsfaktorn" $1-0,056=0,944= 1,18/1,25$. Vi måste lösa ekvationen $(1,18/1,25)^t=0,5$,
där $t$ är tiden det tar tills priset är hälften av det ursprungliga.
Logaritmering ger $t\lg(1,18/1,25)=\lg 0,5=\lg 2/(\lg 1,25 - \lg 1,18)$, vilket ger $t\approx
12,02$ år. Om priset sänks en gång om året är svaret därför efter 13 år.

Lösningar 3 - Versionshistorik

KTH.SE:u17xlk1r: Ny sida: ==Lösningar till några övningar till Lektion 3== Tillbaka till lösningarna '''1.15''' Ledning: Sätt $2^x=t$ och lägg märke till att $2^{-x}=1/2^x=1/t$ '''...