KTH.SE:u17xlk1r: Ny sida: ==Lösningar till några övningar till Lektion 4== Tillbaka till lösningarna '''2.2.d)''' Ledning: Talen 2, 4, 16 och 256 osv är potenser av 2. '''2.5''' ...

2007-08-23T09:16:43Z

Ny sida: ==Lösningar till några övningar till Lektion 4== Tillbaka till lösningarna '''2.2.d)''' Ledning: Talen 2, 4, 16 och 256 osv är potenser av 2. '''2.5''' ...

Ny sida

==Lösningar till några övningar till Lektion 4==
[[Exempellösningar | Tillbaka till lösningarna]]

'''2.2.d)'''

Ledning: Talen 2, 4, 16 och 256 osv är potenser av 2.

'''2.5'''

Beteckna radien från början med $R_{0}$ och radien efter 42 dagar
med $R$. Motsvarande volymer är $V_{0}=4\pi R_{0}^3/3$ respektive
$V=4\pi R^3/3$. 42 dagar är 3 14-dagarsperioder, så $V=2\cdot 2\cdot
2\cdot V_{0}=8V_{0}$. Härav får vi $R^3=8R_{0}^3$ och $R=2R_{0}$.

'''2.9'''

Om det $n$:te talet är $a_{n}$ och kvoten $k$, så gäller
$a_{n}=a_{1}k^{n-1}$. Alltså är $a_{3}=a_{1}k^2$, vilket ger
$7=a_{1}(-1/2)^2$ och $a_{1}=28$. Det sjätte talet blir
$a_{6}=28(-1/2)^5=-7/8$.

'''2.12'''

Låt organismens vikt från början vara $m$. Efter en matning
väger den

<math>
m_{1}=m+\frac{1}{20}m=m(1+0,05)=1,05m</math>

och efter två matningar (dvs efter en timme)

<math>
m_{2}=m_{1}+0,05m_{1}=1,05^2m</math>

osv, så att efter n matningar (och alltså n-1 timmar)
$$
m_{n}=1,05^nm$$
För att få reda på när den har fördubblat sin vikt måste vi lösa
ekvationen $1,05^n=2$, som ger $n=\ln 2/\ln 1,05\approx 14,2$. Svaret
är alltså efter 15:e matningen, dvs efter 14 timmar (i facit står det 15 timmar).

'''2.19 b)'''

<math>
\sum\limits_{p=0}^{\infty}\frac{2^{p-1}\cdot 3^{p+1}}{8^{p+2}}=
\sum\limits_{p=0}^{\infty}\frac{3}{2\cdot 8^2}\frac{2^{p}\cdot 3^{p}}{8^{p}}=
\frac{3}{2\cdot 8^2}\sum_{p=0}^{\infty}\left(\frac{2\cdot
3}{8}\right)^p</math>

Detta är en geometrisk serie med första term <math>\frac{3}{2\cdot 8^2}</math> och kvot $(2\cdot 3)/8=3/4$. Eftersom
kvoten ligger mellan $-1$ och 1 så är serien konvergent och dess
summa är

<math>
\frac{3}{2\cdot 8^2}\cdot\frac{1}{1-3/4}=\frac{3}{32}</math>

'''2.19 d)'''

Som den står är serien inte geometrisk, men man kan dela upp den i
två geometriska serier:

<math>
\sum_{i=1}^{\infty}\frac{2^i+5^i}{10^i}=\sum_{i=1}^{\infty}\frac{2^i}{10^i}+
\sum_{i=1}^{\infty}\frac{5^i}{10^i}</math>

<math>=
\sum_{i=1}^{\infty}\left(\frac{1}{5}\right)^i+
\sum_{i=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^i
=
\frac{1/5}{1-1/5}+\frac{1/2}{1-1/2}=\frac{5}{4}</math>

Observera att seriernas kvoter $1/5$ och $1/2$ ligger mellan $-1$ och
1 så att serierna är konvergenta.

'''2.19 e)'''

Sätt $k=t+2$:

<math>
\sum_{t=-2}^{\infty}\frac{e^t}{4^{t+2}}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{e^{k-2}}{4^k}=
e^{-2}\sum_{k=0}^{\infty}\left(\frac{e}{4}\right)^k=
e^{-2}\cdot\frac{1}{1-e/4}=\frac{4}{e^2(4-e)}</math>

eftersom kvoten $e/4$ ligger mellan $-1$ och 1.

'''2.19 f)'''

<math>
\sum_{p=0}^{\infty}
\left(\left(\frac{2}{3}\right)^{2p}-\left(\frac{1}{3}\right)^p\right)=
\sum_{p=0}^{\infty}\left(\left(\frac{2}{3}\right)^2\right)^p-
\sum_{p=0}^{\infty}\left(\frac{1}{3}\right)^p</math>

<math>
=
\frac{1}{1-4/9}-\frac{1}{1-1/3}=\frac{9}{5}-\frac{3}{2}=\frac{3}{10}</math>

eftersom kvoterna $4/9$ och $1/3$ ligger mellan $-1$ och 1.

'''2.32.c)'''

Binomialsatsen ger

<math>
\left(\frac{1}{x}+2x\right)^4=(x^{-1}+2x)^4=
\sum_{k=0}^4\binom 4k(x^{-1})^{4-k}(2x)^k</math>

<math>
=\sum_{k=0}^4\binom 4k2^kx^{-(4-k)+k}=\sum_{k=0}^4\binom
4k2^kx^{2k-4}
=
x^{-4}+4\cdot 2x^{-2}+6\cdot 4x^0+4\cdot 8x^2+16x^{4}</math>

<math>
=
\frac{1}{x^4}+\frac{8}{x^2}+24+32x^2+16x^4</math>

Lösningar 4 - Versionshistorik

KTH.SE:u17xlk1r: Ny sida: ==Lösningar till några övningar till Lektion 4== Tillbaka till lösningarna '''2.2.d)''' Ledning: Talen 2, 4, 16 och 256 osv är potenser av 2. '''2.5''' ...