Lektion 7 - Versionshistorik

Clas Löfwall den 7 september 2007 kl. 09.54

2007-09-07T09:54:46Z

← Äldre version		Versionen från 7 september 2007 kl. 09.54
Rad 14:		Rad 14:
	'''Viktiga saker att tänka på när du läser'''		'''Viktiga saker att tänka på när du läser'''

-	Studera noggrant definitionen av sin, cos och tan på sid 121-122. Även figuren 4.16 tål att begrundas. Den förklarar en del samband som står i Sats 4.1. Funktionernas grafer är det också viktigt att man är väl förtrogen med (fig 4.17 och 4.18). Observera att sin och cos har perioden $2\pi$ medan tan har perioden $\pi$. Cosinuskurvan får man genom att flytta sinuskurvan $\pi/2$ steg åt vänster.	+	Studera noggrant definitionen av sin, cos och tan på sid 121-122. Även figuren 4.16 tål att begrundas. Den förklarar en del samband som står i Sats 4.1. Funktionernas grafer är det också viktigt att man är väl förtrogen med (fig 4.17 och 4.18). Observera att sinus och cosinus har perioden $2\pi$ medan tangens har perioden $\pi$. Cosinuskurvan får man genom att flytta sinuskurvan $\pi/2$ steg åt vänster.

Clas Löfwall den 7 september 2007 kl. 09.51

2007-09-07T09:51:25Z

← Äldre version		Versionen från 7 september 2007 kl. 09.51
Rad 13:		Rad 13:

	'''Viktiga saker att tänka på när du läser'''		'''Viktiga saker att tänka på när du läser'''
		+
		+	Studera noggrant definitionen av sin, cos och tan på sid 121-122. Även figuren 4.16 tål att begrundas. Den förklarar en del samband som står i Sats 4.1. Funktionernas grafer är det också viktigt att man är väl förtrogen med (fig 4.17 och 4.18). Observera att sin och cos har perioden $2\pi$ medan tan har perioden $\pi$. Cosinuskurvan får man genom att flytta sinuskurvan $\pi/2$ steg åt vänster.
		+

	Det finns en enorm mängd trigonometriska formler och samband och man		Det finns en enorm mängd trigonometriska formler och samband och man
Rad 43:		Rad 46:


-	Vi repeterar definitionen av de trigonometriska funktionerna sinus och
-	cosinus (se sid 121-122): Låt $u$ vara en vinkel och placera den med spetsen i origo
-	och ett ben längs positiva $x$-axeln och så att det andra benet nås
-	genom att man går i positiv led (det matematiska sättet att säga ''moturs'' eller ''motsols'').
-	Det andra vinkelbenet skär enhetscirkeln (dvs den cirkel som har sin medelpunkt i origo $(0,0)$
-	och radie 1) i en punkt $P$ och talen $\cos u, \quad \sin u$
-	definieras som $P$:s koordinater, dvs $P=(\cos u,\sin u).$
-
-
-	[[Bild: Fig2dag10.jpg]]


Rad 199:		Rad 192:


-	Studera Exempel 4.35 noga.	+	Observera att $\sin(\arcsin a)=a$ för alla $a\in[-1,1]$. Det följer av definitionen ovan av arcsin a som den vinkel ... vars sinus är a. Å andra sidan gäller $\arcsin(\sin b)=b$ endast för vinklar b mellan minus pi halva och pi halva (det följer också av definitionen av arcsin). Om vinkeln b inte ligger i intervallet $[-\pi/2,\pi/2]$ så är $\arcsin(\sin b)$ den entydigt bestämda vinkel a mellan minus pi halva och pi halva som uppfyller att $\sin a=\sin b$.
		+
		+	Motsvarande gäller för cos och tan, se Exempel 4.35 och 4.36 och Testproblem 13.

Clas Löfwall den 7 september 2007 kl. 09.22

2007-09-07T09:22:47Z

← Äldre version		Versionen från 7 september 2007 kl. 09.22
Rad 166:		Rad 166:
	längden av motsvarande båge på enhetscirkeln (enligt definitionen av		längden av motsvarande båge på enhetscirkeln (enligt definitionen av
	radian och sinus). De viktigaste är arcsin, arccos		radian och sinus). De viktigaste är arcsin, arccos
-	och arctan. Kom ihåg att arcsin är invers till sinusfunktionen om man inskränker dess definitionsmängd till intervallet $[-\pi/2,\pi/2]$. På det intervallet är sinusfunktionen strängt växande och har alltså en invers (se överst sid 134). På samma sätt är arccos invers till cosinusfunktionen om man inskränker dess definitionsmängd till intervallet $[0,\pi]$. På det intervallet är cosinusfunktionen strängt avtagande och har alltså en invers (se sid 134-135). Slutligen gäller att arctan är invers till tangensfunktionen om man inskränker dess definitionsmängd till intervallet $[-\pi/2,\pi/2]$. På det intervallet är tangensfunktionen strängt växande och har alltså en invers (se överst sid 136). Detta kan också uttryckas mer formellt på följande sätt	+	och arctan. Det gäller att arcsin är invers till sinusfunktionen om man inskränker dess definitionsmängd till intervallet $[-\pi/2,\pi/2]$. På det intervallet är sinusfunktionen strängt växande och har alltså en invers (se överst sid 134). På samma sätt är arccos invers till cosinusfunktionen om man inskränker dess definitionsmängd till intervallet $[0,\pi]$. På det intervallet är cosinusfunktionen strängt avtagande och har alltså en invers (se sid 134-135). Slutligen gäller att arctan är invers till tangensfunktionen om man inskränker dess definitionsmängd till intervallet $[-\pi/2,\pi/2]$. På det intervallet är tangensfunktionen strängt växande och har alltså en invers (se överst sid 136). Detta kan också uttryckas mer formellt på följande sätt

	$ a=\sin x\ \text{ och } \ -\pi/2\le x\le \pi/2\ \Leftrightarrow\ x=\arcsin a$		$ a=\sin x\ \text{ och } \ -\pi/2\le x\le \pi/2\ \Leftrightarrow\ x=\arcsin a$
Rad 186:		Rad 186:


-	Med hjälp av dessa funktioner kan man uttrycka lösningarna till trigonometriska ekvationer, se Exempel 4.32:	+	Med hjälp av dessa funktioner kan man uttrycka lösningarna till trigonometriska ekvationer, se Exempel 4.18 - 4.20 och 4.32:
		+
		+
		+	$$\sin x=a,\ a\in[-1,1]\ \Leftrightarrow\ x=\arcsin a+n\cdot 2\pi\ \ eller\ \ x=\pi -\arcsin a+n\cdot 2\pi$$
		+
		+	$$\cos x=a,\ a\in[-1,1]\ \Leftrightarrow\ x=\arccos a+n\cdot 2\pi\ \ eller\ \ x=-\arccos a+n\cdot 2\pi$$
		+
		+	$$\tan x=a,\ a\in\mathbf R\ \ \Leftrightarrow\ \ x=\arctan a+n\cdot \pi$$


-	$$\sin x=a,\ a\in[-1,1]\ \Leftrightarrow\ x=\arcsin a+n\cdot 2\pi\ eller\ x=\pi -\arcsin a+n\cdot 2\pi$$

Clas Löfwall den 7 september 2007 kl. 09.12

2007-09-07T09:12:49Z

← Äldre version		Versionen från 7 september 2007 kl. 09.12
Rad 186:		Rad 186:


-	Med hjälp av dessa funktioner kan man uttrycka lösningarna till	+	Med hjälp av dessa funktioner kan man uttrycka lösningarna till trigonometriska ekvationer, se Exempel 4.32:
		+
		+
		+	$$\sin x=a,\ a\in[-1,1]\ \Leftrightarrow\ x=\arcsin a+n\cdot 2\pi\ eller\ x=\pi -\arcsin a+n\cdot 2\pi$$

Clas Löfwall den 6 september 2007 kl. 16.46

2007-09-06T16:46:53Z

← Äldre version		Versionen från 6 september 2007 kl. 16.46
Rad 166:		Rad 166:
	längden av motsvarande båge på enhetscirkeln (enligt definitionen av		längden av motsvarande båge på enhetscirkeln (enligt definitionen av
	radian och sinus). De viktigaste är arcsin, arccos		radian och sinus). De viktigaste är arcsin, arccos
-	och arctan. Kom ihåg att arcsin är invers till sinusfunktionen om man inskränker dess definitionsmängd till intervallet $\[-\pi/2,\pi/2\]$. På det intervallet är sinusfunktionen strängt växande och har alltså en invers (se överst sid 134). På samma sätt är arccos invers till cosinusfunktionen om man inskränker dess definitionsmängd till intervallet $\[0,\pi\]$. På det intervallet är cosinusfunktionen strängt avtagande och har alltså en invers (se sid 134-135). Slutligen gäller att arctan är invers till tangensfunktionen om man inskränker dess definitionsmängd till intervallet $\[-\pi/2,\pi/2\]$. På det intervallet är tangensfunktionen strängt växande och har alltså en invers (se överst sid 136). Detta kan också uttryckas mer formellt på följande sätt	+	och arctan. Kom ihåg att arcsin är invers till sinusfunktionen om man inskränker dess definitionsmängd till intervallet $[-\pi/2,\pi/2]$. På det intervallet är sinusfunktionen strängt växande och har alltså en invers (se överst sid 134). På samma sätt är arccos invers till cosinusfunktionen om man inskränker dess definitionsmängd till intervallet $[0,\pi]$. På det intervallet är cosinusfunktionen strängt avtagande och har alltså en invers (se sid 134-135). Slutligen gäller att arctan är invers till tangensfunktionen om man inskränker dess definitionsmängd till intervallet $[-\pi/2,\pi/2]$. På det intervallet är tangensfunktionen strängt växande och har alltså en invers (se överst sid 136). Detta kan också uttryckas mer formellt på följande sätt

	$ a=\sin x\ \text{ och } \ -\pi/2\le x\le \pi/2\ \Leftrightarrow\ x=\arcsin a$		$ a=\sin x\ \text{ och } \ -\pi/2\le x\le \pi/2\ \Leftrightarrow\ x=\arcsin a$

Clas Löfwall den 6 september 2007 kl. 16.46

2007-09-06T16:46:09Z

← Äldre version		Versionen från 6 september 2007 kl. 16.46
Rad 166:		Rad 166:
	längden av motsvarande båge på enhetscirkeln (enligt definitionen av		längden av motsvarande båge på enhetscirkeln (enligt definitionen av
	radian och sinus). De viktigaste är arcsin, arccos		radian och sinus). De viktigaste är arcsin, arccos
-	och arctan. Kom ihåg att	+	och arctan. Kom ihåg att arcsin är invers till sinusfunktionen om man inskränker dess definitionsmängd till intervallet $\[-\pi/2,\pi/2\]$. På det intervallet är sinusfunktionen strängt växande och har alltså en invers (se överst sid 134). På samma sätt är arccos invers till cosinusfunktionen om man inskränker dess definitionsmängd till intervallet $\[0,\pi\]$. På det intervallet är cosinusfunktionen strängt avtagande och har alltså en invers (se sid 134-135). Slutligen gäller att arctan är invers till tangensfunktionen om man inskränker dess definitionsmängd till intervallet $\[-\pi/2,\pi/2\]$. På det intervallet är tangensfunktionen strängt växande och har alltså en invers (se överst sid 136). Detta kan också uttryckas mer formellt på följande sätt

	$ a=\sin x\ \text{ och } \ -\pi/2\le x\le \pi/2\ \Leftrightarrow\ x=\arcsin a$		$ a=\sin x\ \text{ och } \ -\pi/2\le x\le \pi/2\ \Leftrightarrow\ x=\arcsin a$
Rad 174:		Rad 174:
	$ a=\tan x\ \text{ och } \ -\pi/2< x< \pi/2\ \Leftrightarrow\ x=\arctan a$		$ a=\tan x\ \text{ och } \ -\pi/2< x< \pi/2\ \Leftrightarrow\ x=\arctan a$

-	Man kan uttala detta med ord (i analogi med hur man uttalar innebörden i "n:e roten ur a" och "a-logaritmen för b", se lektion 3):	+	Det kan också vara en fördel att lära sig uttala detta med ord (i analogi med hur man uttalar innebörden i "n:e roten ur a" och "a-logaritmen för b", se lektion 3):


Rad 186:		Rad 186:


-		+	Med hjälp av dessa funktioner kan man uttrycka lösningarna till

Clas Löfwall den 6 september 2007 kl. 14.39

2007-09-06T14:39:50Z

← Äldre version		Versionen från 6 september 2007 kl. 14.39
Rad 1:		Rad 1:
	==Välkommen till Lektion 7!==		==Välkommen till Lektion 7!==
		+
		+	[[Läsanvisningar \| Tillbaka till läsanvisningarna]]
		+

	I den här lektionen ska vi studera de användbara trigonometriska funkionerna och dess egenskaper.		I den här lektionen ska vi studera de användbara trigonometriska funkionerna och dess egenskaper.
Rad 171:		Rad 174:
	$ a=\tan x\ \text{ och } \ -\pi/2< x< \pi/2\ \Leftrightarrow\ x=\arctan a$		$ a=\tan x\ \text{ och } \ -\pi/2< x< \pi/2\ \Leftrightarrow\ x=\arctan a$

-	Man kan uttala detta med ord (i analogi med	+	Man kan uttala detta med ord (i analogi med hur man uttalar innebörden i "n:e roten ur a" och "a-logaritmen för b", se lektion 3):
		+
		+
		+	"arcsin a är den vinkel mellan minus pi halva och pi halva som uppfyller att dess sinus är a"
		+
		+
		+	"arccos a är den vinkel mellan noll och pi som uppfyller att dess cosinus är a"
		+
		+
		+	"arctan a är den vinkel mellan minus pi halva och pi halva som uppfyller att dess tangens är a"
		+
		+
		+
		+

Clas Löfwall den 6 september 2007 kl. 14.34

2007-09-06T14:34:06Z

← Äldre version		Versionen från 6 september 2007 kl. 14.34
Rad 166:		Rad 166:

	$ a=\sin x\ \text{ och } \ -\pi/2\le x\le \pi/2\ \Leftrightarrow\ x=\arcsin a$		$ a=\sin x\ \text{ och } \ -\pi/2\le x\le \pi/2\ \Leftrightarrow\ x=\arcsin a$
		+
		+	$ a=\cos x\ \text{ och } \ 0\le x\le \pi\ \Leftrightarrow\ x=\arccos a$

	$ a=\tan x\ \text{ och } \ -\pi/2< x< \pi/2\ \Leftrightarrow\ x=\arctan a$		$ a=\tan x\ \text{ och } \ -\pi/2< x< \pi/2\ \Leftrightarrow\ x=\arctan a$

		+	Man kan uttala detta med ord (i analogi med

Clas Löfwall den 6 september 2007 kl. 14.32

2007-09-06T14:32:04Z

← Äldre version		Versionen från 6 september 2007 kl. 14.32
Rad 12:		Rad 12:

	Det finns en enorm mängd trigonometriska formler och samband och man		Det finns en enorm mängd trigonometriska formler och samband och man
-	skall naturligtvis inte försöka lära sig dem utantill. Det är klart	+	skall naturligtvis inte försöka lära sig dem alla utantill. Det är klart
	att man vid behov kan slå upp dem i en formelsamling (se Appendix A), men ännu bättre		att man vid behov kan slå upp dem i en formelsamling (se Appendix A), men ännu bättre
	är att lära sig ''en'' av formlerna och kunna härleda de övriga när man har		är att lära sig ''en'' av formlerna och kunna härleda de övriga när man har
Rad 154:		Rad 154:
	enda syfte att ge träning i att använda de trigonometriska funktionerna		enda syfte att ge träning i att använda de trigonometriska funktionerna
	och sambanden.		och sambanden.
		+

	'''Avsnitt 4.7'''		'''Avsnitt 4.7'''
		+
		+
	Ordet "arcus" är latin och betyder båge (jfr arc på engelska). Namnet		Ordet "arcus" är latin och betyder båge (jfr arc på engelska). Namnet
-	''arcusfunktioner'' kommer av att om $\sin x=a$, så Šr $x=\arcsin a$	+	''arcusfunktioner'' kommer av att om $\sin x=a$, så är $x=\arcsin a$
	längden av motsvarande båge på enhetscirkeln (enligt definitionen av		längden av motsvarande båge på enhetscirkeln (enligt definitionen av
-	radian och sinus). Ett annat namn är ''cyklometriska''	+	radian och sinus). De viktigaste är arcsin, arccos
-	(cirkelmätning på grekiska) funktioner. De två viktigaste är arcsin	+
	och arctan. Kom ihåg att		och arctan. Kom ihåg att

Rad 167:		Rad 169:
	$ a=\tan x\ \text{ och } \ -\pi/2< x< \pi/2\ \Leftrightarrow\ x=\arctan a$		$ a=\tan x\ \text{ och } \ -\pi/2< x< \pi/2\ \Leftrightarrow\ x=\arctan a$

-	Observera också att man inte kan säga att man genom att skriva
-	$x=\arcsin a$ har "löst" ekvationen $a=\sin x$; det enda man har gjort är
-	att ''införa en beteckning'' för lösningen.

Clas Löfwall den 28 augusti 2007 kl. 15.44

2007-08-28T15:44:26Z

← Äldre version		Versionen från 28 augusti 2007 kl. 15.44
Rad 163:		Rad 163:
	och arctan. Kom ihåg att		och arctan. Kom ihåg att

-	$ a=\sin x\ \text{ och } \ -\pi/2\le x\le \pi/2\Leftrightarrow x=\arcsin a$	+	$ a=\sin x\ \text{ och } \ -\pi/2\le x\le \pi/2\ \Leftrightarrow\ x=\arcsin a$

-	$ a=\tan x\ \text{ och } \ -\pi/2< x< \pi/2 \Leftrightarrow x=\arctan a$	+	$ a=\tan x\ \text{ och } \ -\pi/2< x< \pi/2\ \Leftrightarrow\ x=\arctan a$

	Observera också att man inte kan säga att man genom att skriva		Observera också att man inte kan säga att man genom att skriva