Lösningar 11 - Versionshistorik

Clas Löfwall den 2 oktober 2007 kl. 10.37

Clas Löfwall — Tue, 02 Oct 2007 10:37:30 GMT

← Äldre version		Versionen från 2 oktober 2007 kl. 10.37
Rad 336:		Rad 336:
	<math>		<math>
	\lim_{x\to 0}\arctan \frac{\tan x}{x\cos x}=\lim_{x\to 0}\arctan \frac{\sin		\lim_{x\to 0}\arctan \frac{\tan x}{x\cos x}=\lim_{x\to 0}\arctan \frac{\sin
-	x}{x\cos^2x}=\arctan 1=\frac{\pi}{4}</math>	+	x}{x\cos^2x}=\arctan\lim_{x\to 0}\frac{\sin
		+	x}{x}\lim_{x\to 0}\frac{1}{\cos^2x}=\arctan 1\cdot1=\frac{\pi}{4}</math>

	\		\

Clas Löfwall — Tue, 02 Oct 2007 10:35:06 GMT

← Äldre version		Versionen från 2 oktober 2007 kl. 10.35
Rad 397:		Rad 397:
	<math>		<math>
	\frac{\sin x}{\tan^2x}=\frac{\sin		\frac{\sin x}{\tan^2x}=\frac{\sin
-	x\cos^2x}{\sin^2x}=\frac{\cos^2x}{\sin x}</math<	+	x\cos^2x}{\sin^2x}=\frac{\cos^2x}{\sin x}</math>

Clas Löfwall — Tue, 02 Oct 2007 10:33:17 GMT

← Äldre version		Versionen från 2 oktober 2007 kl. 10.33
Rad 336:		Rad 336:
	<math>		<math>
	\lim_{x\to 0}\arctan \frac{\tan x}{x\cos x}=\lim_{x\to 0}\arctan \frac{\sin		\lim_{x\to 0}\arctan \frac{\tan x}{x\cos x}=\lim_{x\to 0}\arctan \frac{\sin
-	x}{x\cos^2x}=\arctan 1=\frac{¹}{4}</math>	+	x}{x\cos^2x}=\arctan 1=\frac{\pi}{4}</math>

	\		\

Clas Löfwall — Tue, 02 Oct 2007 10:29:01 GMT

← Äldre version		Versionen från 2 oktober 2007 kl. 10.29
Rad 203:		Rad 203:

	Här måste man förlänga med både <math>\sqrt{x+1}+1</math> och		Här måste man förlänga med både <math>\sqrt{x+1}+1</math> och
-	$\sqrt{1-x}+1$. Lite räknande ger	+	<math>\sqrt{1-x}+1</math>. Lite räknande ger


Rad 271:		Rad 271:

	<math>		<math>
-	\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin 4x}{\sin x}=4\li\limitsm_{x\to 0}\frac{\sin	+	\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin 4x}{\sin x}=4\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin
	4x}{4x}\cdot\frac{x}{\sin x}=		4x}{4x}\cdot\frac{x}{\sin x}=
	4\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin		4\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin

Clas Löfwall — Tue, 02 Oct 2007 10:24:37 GMT

← Äldre version		Versionen från 2 oktober 2007 kl. 10.24
Rad 202:		Rad 202:
	'''5.4 e)'''		'''5.4 e)'''

-	Här måste man förlänga med både $\sqrt{x+1}+1$ och	+	Här måste man förlänga med både <math>\sqrt{x+1}+1</math> och
	$\sqrt{1-x}+1$. Lite räknande ger		$\sqrt{1-x}+1$. Lite räknande ger


-	<math<\begin{array}{ccc}	+	<math>\begin{array}{ccc}
	\frac{\sqrt{x+1}-1}{\sqrt{1-x}-1}&=&		\frac{\sqrt{x+1}-1}{\sqrt{1-x}-1}&=&
	\frac{(\sqrt{x+1}-1)(\sqrt{x+1}+1)(\sqrt{1-x}+1)}		\frac{(\sqrt{x+1}-1)(\sqrt{x+1}+1)(\sqrt{1-x}+1)}

Clas Löfwall — Tue, 02 Oct 2007 10:22:13 GMT

← Äldre version		Versionen från 2 oktober 2007 kl. 10.22
Rad 169:		Rad 169:
	\lim\limits_{x\to 1}\frac{\sin(x-1)}{x^3-x}&=&		\lim\limits_{x\to 1}\frac{\sin(x-1)}{x^3-x}&=&
	\lim\limits_{t\to 0}\frac{\sin t}{t(t^2+3t+2)}\\		\lim\limits_{t\to 0}\frac{\sin t}{t(t^2+3t+2)}\\
		+	\\
	&=&		&=&
	\lim\limits_{t\to 0}\frac{\sin t}{t}\cdot \lim\limits_{t\to 0}\frac{1}{t^2+3t+2}=		\lim\limits_{t\to 0}\frac{\sin t}{t}\cdot \lim\limits_{t\to 0}\frac{1}{t^2+3t+2}=
Rad 179:		Rad 180:

	<math>		<math>
-	\lim\limits_{x\to 0}\frac{\tan(x-¹)}{x}=	+	\lim\limits_{x\to 0}\frac{\tan(x-\pi)}{x}=
-	\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin(x-¹)}{x\cos(x-¹)}=	+	\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin(x-\pi)}{x\cos(x-\pi)}=
	\lim\limits_{x\to 0}\frac{-\sin x}{-x\cos x}=		\lim\limits_{x\to 0}\frac{-\sin x}{-x\cos x}=
	\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}\cdot\lim\limits_{x\to 0}\frac{1}{\cos x}=1</math>		\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}\cdot\lim\limits_{x\to 0}\frac{1}{\cos x}=1</math>

Clas Löfwall — Tue, 02 Oct 2007 10:20:41 GMT

← Äldre version		Versionen från 2 oktober 2007 kl. 10.20
Rad 144:		Rad 144:
	'''5.3 e)'''		'''5.3 e)'''

-	Förkorta med $x^2$:	+	Dividera täljare och nämnare med $x^2$:


Rad 167:		Rad 167:
	<math>		<math>
	\begin{array}{ccc}		\begin{array}{ccc}
-	\lim_{x\to 1}\frac{\sin(x-1)}{x^3-x}&=&	+	\lim\limits_{x\to 1}\frac{\sin(x-1)}{x^3-x}&=&
-	\lim_{t\to 0}\frac{\sin t}{t(t^2+3t+2)}\\	+	\lim\limits_{t\to 0}\frac{\sin t}{t(t^2+3t+2)}\\
	&=&		&=&
-	\lim_{t\to 0}\frac{\sin t}{t}\cdot \lim_{t\to 0}\frac{1}{t^2+3t+2}=	+	\lim\limits_{t\to 0}\frac{\sin t}{t}\cdot \lim\limits_{t\to 0}\frac{1}{t^2+3t+2}=
	1\cdot\frac{1}{0+0+2}=\frac{1}{2}\end{array}</math>		1\cdot\frac{1}{0+0+2}=\frac{1}{2}\end{array}</math>

Clas Löfwall — Tue, 02 Oct 2007 10:18:09 GMT

Clas Löfwall — Tue, 02 Oct 2007 09:59:25 GMT

← Äldre version		Versionen från 2 oktober 2007 kl. 09.59
Rad 148:		Rad 148:

	<math>		<math>
-	\lim_\limits{x\to\infty}\frac{x^2-3x}{3-2x^2}=	+	\lim\limits_{x\to\infty}\frac{x^2-3x}{3-2x^2}=
	\lim\limits_{x\to\infty}\frac{1-3/x}{3/x^2-2}=\frac{1}{-2}=-\frac{1}{2}</math>		\lim\limits_{x\to\infty}\frac{1-3/x}{3/x^2-2}=\frac{1}{-2}=-\frac{1}{2}</math>



-	'''5.3 f)''	+	'''5.3 f)'''

	Förkorta med $x^3$.		Förkorta med $x^3$.

Clas Löfwall — Tue, 02 Oct 2007 09:57:31 GMT

← Äldre version		Versionen från 2 oktober 2007 kl. 09.57
Rad 108:		Rad 108:


-	5.3.a) Eftersom $\|\sin x^2\|\le 1$ så är gränsvärdet 0.	+	'''5.3. a)'''

-	\vskip 2mm	+	Eftersom $\|\sin x^2\|\le 1$ så är gränsvärdet 0.

-	b) Skriv $\ln x^2=2\ln x$ och använd ett standardgränsvärde.

-	\vskip 2mm

-	c) Standardgränsvärde.	+	'''5.3 b)'''
		+
		+	Skriv $\ln x^2=2\ln x$ och använd ett standardgränsvärde.
		+
		+
		+
		+	'''5.3 c)'''
		+
		+	Standardgränsvärde.
		+
		+
		+
		+	'''5.3 d)'''
		+
		+	Sätt $x=-t$. Då har vi $t\to\infty$ då $x\to-\infty$, så
		+	gränsvärdet är
		+
		+
		+	<math>
		+	\lim\limits_{x\to-\infty}x^3e^x=\lim_{t\to\infty}(-t)^3e^{-t}=
		+	-\lim\limits_{t\to\infty}t^3e^{-t}=0</math>
		+

-	\vskip 2mm

-	d) Sätt $x=-t$. Då har vi $t\to\infty$ då $x\to-\infty$, så
-	gränsvärdet är \[
-	\lim_{x\to-\infty}x^3e^x=\lim_{t\to\infty}(-t)^3e^{-t}=
-	-\lim_{t\to\infty}t^3e^{-t}=0\]
	enligt ett standardgränsvärde.		enligt ett standardgränsvärde.

-	\vskip 2mm

-	e) Förkorta med $x^2$: \[
-	\lim_{x\to\infty}\frac{x^2-3x}{3-2x^2}=
-	\lim_{x\to\infty}\frac{1-3/x}{3/x^2-2}=\frac{1}{-2}=-\frac{1}{2}.\]

-	\vskip 2mm	+	'''5.3 e)'''
		+
		+	Förkorta med $x^2$:
		+
		+
		+	<math>
		+	\lim_\limits{x\to\infty}\frac{x^2-3x}{3-2x^2}=
		+	\lim\limits_{x\to\infty}\frac{1-3/x}{3/x^2-2}=\frac{1}{-2}=-\frac{1}{2}</math>
		+
		+
		+
		+	'''5.3 f)''
		+
		+	Förkorta med $x^3$.

-	f) Förkorta med $x^3$.

-	\vskip 2mm

	5.4.a) Här kan man t ex sätta $t=x-1$, så att $t\to 0$ då $x\to 1$.		5.4.a) Här kan man t ex sätta $t=x-1$, så att $t\to 0$ då $x\to 1$.