Lösningar 12 - Versionshistorik

Clas Löfwall den 2 oktober 2007 kl. 12.41

Clas Löfwall — Tue, 02 Oct 2007 12:41:24 GMT

← Äldre version		Versionen från 2 oktober 2007 kl. 12.41
Rad 57:		Rad 57:


-	Då gränsvärdena är olika så är diskontinuiteten inte hävbar. En annan	+	Då gränsvärdena är olika så är diskontinuiteten inte hävbar. Grafen finns i facit i boken.
-	möjlig diskontinuitetspunkt är $x=1$. Vi har	+
-		+
-		+
-	<math>	+
-	\lim_{x\to 1_{-}}f(x)=\lim_{x\to 1_{-}}(1-x)=0,\quad	+
-	\lim_{x\to 1_{+}}f(x)=\lim_{x\to 1_{+}}(x-1)=0</math>	+
-		+
-		+
-		+
-	Alltså är $f$ kontinuerlig för $x=1$. Grafen finns i boken.	+


Rad 94:		Rad 84:
	är $x=1$ som är lodrät asymptot. För $x=-1$ har funktionen en		är $x=1$ som är lodrät asymptot. För $x=-1$ har funktionen en
	hävbar diskontinuitet. Någon vågrät asymptot finns inte, eftersom		hävbar diskontinuitet. Någon vågrät asymptot finns inte, eftersom
-	$y\to ±\infty$ då $x\to±\infty$. (Den som läste anmärkningen ovan om	+	$y\to ±\infty$ då $x\to±\infty$.
-	sneda asymptoter kan försöka visa att linjen $y=x$ är en sådan.)	+

Clas Löfwall den 2 oktober 2007 kl. 12.38

Clas Löfwall — Tue, 02 Oct 2007 12:38:31 GMT

← Äldre version		Versionen från 2 oktober 2007 kl. 12.38
Rad 46:		Rad 46:
	<math>		<math>
	\lim_{x\to -1_{-}}f(x)=\lim_{x\to		\lim_{x\to -1_{-}}f(x)=\lim_{x\to
-	-1_{-}}(x-1)=-1-1=-2<math>	+	-1_{-}}(x-1)=-1-1=-2</math>

Clas Löfwall den 2 oktober 2007 kl. 12.37

Clas Löfwall — Tue, 02 Oct 2007 12:37:56 GMT

← Äldre version		Versionen från 2 oktober 2007 kl. 12.37
Rad 30:		Rad 30:
	<math>		<math>
	f(x)=\left\{\begin{array}{ll}		f(x)=\left\{\begin{array}{ll}
-	\frac{x^2-1}{x+1}=x-1 & \text{for }x<-1 \text{ och }x>1\\	+	\frac{x^2-1}{x+1}=x-1 & x<-1 \text{ eller }x>1\\
	\\		\\
-	\frac{-(x^2-1)}{x+1}=-(x-1)=1-x & \text{for }	+	\frac{-(x^2-1)}{x+1}=-(x-1)=1-x &
	-1<x<1\end{array}\right.</math>		-1<x<1\end{array}\right.</math>

Rad 46:		Rad 46:
	<math>		<math>
	\lim_{x\to -1_{-}}f(x)=\lim_{x\to		\lim_{x\to -1_{-}}f(x)=\lim_{x\to
-	-1_{-}}(x-1)=-1-1=-2\]	+	-1_{-}}(x-1)=-1-1=-2<math>
		+
		+
	och		och
-	\[\lim_{x\to -1_{+}}f(x)=\lim_{x\to -1_{+}}(1-x)=1-(-1)=2	+
		+
		+	<math>\lim_{x\to -1_{+}}f(x)=\lim_{x\to -1_{+}}(1-x)=1-(-1)=2
	</math>		</math>

Clas Löfwall den 2 oktober 2007 kl. 12.35

Clas Löfwall — Tue, 02 Oct 2007 12:35:47 GMT

← Äldre version		Versionen från 2 oktober 2007 kl. 12.35
Rad 30:		Rad 30:
	<math>		<math>
	f(x)=\left\{\begin{array}{ll}		f(x)=\left\{\begin{array}{ll}
-	\frac{x^2-1}{x+1}=x-1 & \text{f\"or }x<-1 \text{ och }x>1\\	+	\frac{x^2-1}{x+1}=x-1 & \text{for }x<-1 \text{ och }x>1\\
	\\		\\
-	\frac{-(x^2-1)}{x+1}=-(x-1)=1-x & \text{f\"or }	+	\frac{-(x^2-1)}{x+1}=-(x-1)=1-x & \text{for }
	-1<x<1\end{array}\right.</math>		-1<x<1\end{array}\right.</math>

Clas Löfwall den 2 oktober 2007 kl. 12.35

Clas Löfwall — Tue, 02 Oct 2007 12:35:29 GMT

← Äldre version		Versionen från 2 oktober 2007 kl. 12.35
Rad 30:		Rad 30:
	<math>		<math>
	f(x)=\left\{\begin{array}{ll}		f(x)=\left\{\begin{array}{ll}
-	\frac{x^2-1}{x+1}=x-1 & \mbox{för }x<-1 \mbox{ och }x>1\\	+	\frac{x^2-1}{x+1}=x-1 & \text{f\"or }x<-1 \text{ och }x>1\\
	\\		\\
-	\frac{-(x^2-1)}{x+1}=-(x-1)=1-x & \mbox{för }	+	\frac{-(x^2-1)}{x+1}=-(x-1)=1-x & \text{f\"or }
	-1<x<1\end{array}\right.</math>		-1<x<1\end{array}\right.</math>

Clas Löfwall den 2 oktober 2007 kl. 12.34

Clas Löfwall — Tue, 02 Oct 2007 12:34:39 GMT

← Äldre version		Versionen från 2 oktober 2007 kl. 12.34
Rad 30:		Rad 30:
	<math>		<math>
	f(x)=\left\{\begin{array}{ll}		f(x)=\left\{\begin{array}{ll}
-	\frac{x^2-1}{x+1}=x-1 & \text{för }x<-1 \text{ och }x>1\\	+	\frac{x^2-1}{x+1}=x-1 & \mbox{för }x<-1 \mbox{ och }x>1\\
	\\		\\
-	\frac{-(x^2-1)}{x+1}=-(x-1)=1-x & \text{för }	+	\frac{-(x^2-1)}{x+1}=-(x-1)=1-x & \mbox{för }
	-1<x<1\end{array}\right.</math>		-1<x<1\end{array}\right.</math>

Clas Löfwall den 2 oktober 2007 kl. 12.34

Clas Löfwall — Tue, 02 Oct 2007 12:34:05 GMT

← Äldre version		Versionen från 2 oktober 2007 kl. 12.34
Rad 33:		Rad 33:
	\\		\\
	\frac{-(x^2-1)}{x+1}=-(x-1)=1-x & \text{för }		\frac{-(x^2-1)}{x+1}=-(x-1)=1-x & \text{för }
-	-1<x<1\end{array}\right</math>	+	-1<x<1\end{array}\right.</math>

Clas Löfwall den 2 oktober 2007 kl. 12.33

Clas Löfwall — Tue, 02 Oct 2007 12:33:13 GMT

← Äldre version		Versionen från 2 oktober 2007 kl. 12.33
Rad 30:		Rad 30:
	<math>		<math>
	f(x)=\left\{\begin{array}{ll}		f(x)=\left\{\begin{array}{ll}
-	\frac{x^2-1}{x+1}=x-1 & \text{för $x<-1$ och $x>1$}\\	+	\frac{x^2-1}{x+1}=x-1 & \text{för }x<-1 \text{ och }x>1\\
	\\		\\
-	\frac{-(x^2-1)}{x+1}=-(x-1)=1-x & \text{för	+	\frac{-(x^2-1)}{x+1}=-(x-1)=1-x & \text{för }
-	$-1<x<1$}\end{array}\right</math>	+	-1<x<1\end{array}\right</math>

Clas Löfwall den 2 oktober 2007 kl. 12.31

Clas Löfwall — Tue, 02 Oct 2007 12:31:50 GMT

← Äldre version		Versionen från 2 oktober 2007 kl. 12.31
Rad 10:		Rad 10:

	<math>		<math>
-	\lim\_{x\to 1_{-}}f(x)=\lim_{x\to 1_{-}} ax=a\quad\mbox{och}\quad	+	\lim_{x\to 1_{-}}f(x)=\lim_{x\to 1_{-}} ax=a\quad\mbox{och}\quad
	\lim_{x\to 1_{+}}f(x)=\lim_{x\to 1_{+}}(x^2-1)=1^2-1=0</math>		\lim_{x\to 1_{+}}f(x)=\lim_{x\to 1_{+}}(x^2-1)=1^2-1=0</math>

Rad 30:		Rad 30:
	<math>		<math>
	f(x)=\left\{\begin{array}{ll}		f(x)=\left\{\begin{array}{ll}
-	\frac{x^2-1}{x+1}=x-1 & \mbox{för $x<-1$ och $x>1$}\\ \\	+	\frac{x^2-1}{x+1}=x-1 & \text{för $x<-1$ och $x>1$}\\
-	\frac{-(x^2-1)}{x+1}=-(x-1)=1-x & \mbox{för	+	\\
		+	\frac{-(x^2-1)}{x+1}=-(x-1)=1-x & \text{för
	$-1<x<1$}\end{array}\right</math>		$-1<x<1$}\end{array}\right</math>

Clas Löfwall den 2 oktober 2007 kl. 12.21

Clas Löfwall — Tue, 02 Oct 2007 12:21:20 GMT

← Äldre version		Versionen från 2 oktober 2007 kl. 12.21
Rad 4:		Rad 4:


-	5.10. Vi har \[	+	'''5.10.'''
-	\lim_{x\to 1_{-}}f(x)=\lim_{x\to 1_{-}} ax=a\quad\mbox{och}\quad	+
-	\lim_{x\to 1_{+}}f(x)=\lim_{x\to 1_{+}}(x^2-1)=1^2-1=0.\]	+	Vi har
		+
		+
		+	<math>
		+	\lim\_{x\to 1_{-}}f(x)=\lim_{x\to 1_{-}} ax=a\quad\mbox{och}\quad
		+	\lim_{x\to 1_{+}}f(x)=\lim_{x\to 1_{+}}(x^2-1)=1^2-1=0</math>
		+
		+
		+
	För kontinuitet krävs att de två gränsvärdena är lika, vilket ger		För kontinuitet krävs att de två gränsvärdena är lika, vilket ger
	villkoret $a=0$.		villkoret $a=0$.

-	\vskip 2mm

-	5.12. Funktionen är inte definierad för $x=-1$ eftersom nämnaren blir	+
		+	'''5.12.'''
		+
		+	Funktionen är inte definierad för $x=-1$ eftersom nämnaren blir
	0 där. Absolutbeloppstecknet får man hantera genom att dela upp i		0 där. Absolutbeloppstecknet får man hantera genom att dela upp i
	olika intervall. Vi har $x^2-1> 0$ fö $x>1$ och $x<-1$ och		olika intervall. Vi har $x^2-1> 0$ fö $x>1$ och $x<-1$ och
-	$x^2-1<0$ för $-1<x<1$. Funktionen kan därför skrivas \[	+	$x^2-1<0$ för $-1<x<1$. Funktionen kan därför skrivas
		+
		+
		+	<math>
	f(x)=\left\{\begin{array}{ll}		f(x)=\left\{\begin{array}{ll}
	\frac{x^2-1}{x+1}=x-1 & \mbox{för $x<-1$ och $x>1$}\\ \\		\frac{x^2-1}{x+1}=x-1 & \mbox{för $x<-1$ och $x>1$}\\ \\
	\frac{-(x^2-1)}{x+1}=-(x-1)=1-x & \mbox{för		\frac{-(x^2-1)}{x+1}=-(x-1)=1-x & \mbox{för
-	$-1<x<1$}\end{array}\right.\]	+	$-1<x<1$}\end{array}\right</math>
		+
		+
		+
	Eftersom $f$ inte är definierad för $x=-1$ så är detta en		Eftersom $f$ inte är definierad för $x=-1$ så är detta en
	diskontinuitetspunkt och frågan är om den är hävbar, dvs om det går		diskontinuitetspunkt och frågan är om den är hävbar, dvs om det går
	att definiera $f(-1)$ så att funktionen blir kontinuerlig. För detta		att definiera $f(-1)$ så att funktionen blir kontinuerlig. För detta
	krävs att vänster- och högergränsvärdena då $x\to -1$ är lika. Vi har		krävs att vänster- och högergränsvärdena då $x\to -1$ är lika. Vi har
-	\[	+
		+
		+
		+	<math>
	\lim_{x\to -1_{-}}f(x)=\lim_{x\to		\lim_{x\to -1_{-}}f(x)=\lim_{x\to
	-1_{-}}(x-1)=-1-1=-2\]		-1_{-}}(x-1)=-1-1=-2\]
	och		och
-	\[\lim_{x\to -1_{+}}f(x)=\lim_{x\to -1_{+}}(1-x)=1-(-1)=2.\]	+	\[\lim_{x\to -1_{+}}f(x)=\lim_{x\to -1_{+}}(1-x)=1-(-1)=2
		+	</math>
		+
		+
		+
	Då gränsvärdena är olika så är diskontinuiteten inte hävbar. En annan		Då gränsvärdena är olika så är diskontinuiteten inte hävbar. En annan
-	möjlig diskontinuitetspunkt är $x=1$. Vi har \[	+	möjlig diskontinuitetspunkt är $x=1$. Vi har
		+
		+
		+	<math>
	\lim_{x\to 1_{-}}f(x)=\lim_{x\to 1_{-}}(1-x)=0,\quad		\lim_{x\to 1_{-}}f(x)=\lim_{x\to 1_{-}}(1-x)=0,\quad
-	\lim_{x\to 1_{+}}f(x)=\lim_{x\to 1_{+}}(x-1)=0.\]	+	\lim_{x\to 1_{+}}f(x)=\lim_{x\to 1_{+}}(x-1)=0</math>
		+
		+
		+
	Alltså är $f$ kontinuerlig för $x=1$. Grafen finns i boken.		Alltså är $f$ kontinuerlig för $x=1$. Grafen finns i boken.

-	\vskip 2mm

-	5.14.b) Vi har $y\to 0$ då $x\to±\infty$, så $x$-axeln (linjen $y=0$)	+
		+	'''5.14.b)'''
		+
		+	Vi har $y\to 0$ då $x\to±\infty$, så $x$-axeln (linjen $y=0$)
	är en vågrät asymptot. Eftersom $x^2-1=(x-1)(x+1)$ så är linjerna $x=±1$		är en vågrät asymptot. Eftersom $x^2-1=(x-1)(x+1)$ så är linjerna $x=±1$
	lodräta asymptoter.		lodräta asymptoter.

-	\vskip 2mm

-	c) Här gäller $y\to 1$ då $x\to±\infty$, så linjen $y=1$ är en vågrät	+
		+	'''5.14.c)'''
		+
		+	Här gäller $y\to 1$ då $x\to±\infty$, så linjen $y=1$ är en vågrät
	asymptot. Nämnaren $x^2+1$ har inga (reella) nollställen, så lodräta		asymptot. Nämnaren $x^2+1$ har inga (reella) nollställen, så lodräta
	asymptoter saknas.		asymptoter saknas.

-	\vskip 2mm

-	d) Eftersom $x^2-1=(x-1)(x+1)$ så skulle man kunna tro att linjerna	+
		+	'''5.14.d)'''
		+
		+	Eftersom $x^2-1=(x-1)(x+1)$ så skulle man kunna tro att linjerna
	$x=±1$ är lodräta asymptoter. Men vi har $x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)$, så		$x=±1$ är lodräta asymptoter. Men vi har $x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)$, så
	för $x\not=-1$ är $y=(x^2-x+1)/(x-1)$, varav framgår att det bara		för $x\not=-1$ är $y=(x^2-x+1)/(x-1)$, varav framgår att det bara
Rad 57:		Rad 92:
	sneda asymptoter kan försöka visa att linjen $y=x$ är en sådan.)		sneda asymptoter kan försöka visa att linjen $y=x$ är en sådan.)

-	\vskip 2mm

-	e) Ledning: Nämnarens nollställen är 2 och $-3$.

-	\vskip 2mm	+	'''5.14.e)'''
		+
		+	Ledning: Nämnarens nollställen är 2 och $-3$.
		+
		+
		+
		+	'''5.14.f)'''

-	f) Ledning: Nämnarens nollställen är 1 och 2.	+	Ledning: Nämnarens nollställen är 1 och 2.