Clas Löfwall den 16 oktober 2007 kl. 13.35

Clas Löfwall — Tue, 16 Oct 2007 13:35:56 GMT

← Äldre version		Versionen från 16 oktober 2007 kl. 13.35
Rad 298:		Rad 298:


-	b) Det är lätt att beräkna derivatorna om man skriver	+	'''8.4.b)'''
		+
		+	Det är lätt att beräkna derivatorna om man skriver
	$\sqrt{1+x}=(1+x)^{1/2}$:		$\sqrt{1+x}=(1+x)^{1/2}$:

Rad 339:		Rad 341:


-	c) Maclaurinpolynomet är	+	'''8.5.c)'''
		+
		+	Maclaurinpolynomet är

	<math>		<math>
Rad 382:		Rad 386:
	<math>\begin{array}{lll}		<math>\begin{array}{lll}
	\cos x&=&1-\frac{x^2}{2}+x^4B(x)\\		\cos x&=&1-\frac{x^2}{2}+x^4B(x)\\
-	\ln(1+x)&=&x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+x^4C(x)\end{eqnarray*}</math>	+	\ln(1+x)&=&x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+x^4C(x)\end{array}</math>

Clas Löfwall den 16 oktober 2007 kl. 13.31

Clas Löfwall — Tue, 16 Oct 2007 13:31:23 GMT

← Äldre version		Versionen från 16 oktober 2007 kl. 13.31
Rad 247:		Rad 247:


-	$H''$ har ett nollställe som ges av ekvationen $e^{-0,1t}=0,05$ och	+	<math>H''</math> har ett nollställe som ges av ekvationen $e^{-0,1t}=0,05$ och
	teckenväxlingen är $+0-$, så detta är ett lokalt maximum, som också		teckenväxlingen är $+0-$, så detta är ett lokalt maximum, som också
	måste vara $H'$:s största värde. Vi får $t=(\ln 0,05)/(-0,1)\approx		måste vara $H'$:s största värde. Vi får $t=(\ln 0,05)/(-0,1)\approx

Clas Löfwall den 16 oktober 2007 kl. 13.26

Clas Löfwall — Tue, 16 Oct 2007 13:26:14 GMT

← Äldre version		Versionen från 16 oktober 2007 kl. 13.26
Rad 141:		Rad 141:

	<math>		<math>
-	\lim_{x\to 1}\frac{1/(x-1)}{-1/(x-1)^2)}=\lim_{x\to 1}(-(x-1))=0.</math>	+	\lim_{x\to 1}\frac{1/(x-1)}{-1/(x-1)^2}=\lim_{x\to 1}(-(x-1))=0.</math>
		+
	Ett enklare sätt att beräkna det är att skriva det som		Ett enklare sätt att beräkna det är att skriva det som

Clas Löfwall den 16 oktober 2007 kl. 13.22

Clas Löfwall — Tue, 16 Oct 2007 13:22:59 GMT

← Äldre version		Versionen från 16 oktober 2007 kl. 13.22
Rad 22:		Rad 22:
	'''7.9.'''		'''7.9.'''

-	iguren nedan föreställer ett tvärsnitt genom sfären och	+	Figuren nedan föreställer ett tvärsnitt genom sfären och
	cylindern. Enligt Pythagoras sats gäller sambandet $r^2+(h/2)^2=R^2$		cylindern. Enligt Pythagoras sats gäller sambandet $r^2+(h/2)^2=R^2$
	mellan radien $r$ och höjden $h$ i cylindern. Dess volym är		mellan radien $r$ och höjden $h$ i cylindern. Dess volym är
Rad 66:		Rad 66:


-	'''7.11.a) Gränsvärdet	+	'''7.11.a)'''
		+
		+	Gränsvärdet

	<math>		<math>
Rad 76:		Rad 78:


-	b) \begin{array}	+	'''7.11.b)'''
		+
		+	<math> \begin{array}{lll}
	\lim_{x\to 0}\frac{\tan 2x}{\sin x}&=&\lim_{x\to 0}\frac{\sin 2x}{\cos		\lim_{x\to 0}\frac{\tan 2x}{\sin x}&=&\lim_{x\to 0}\frac{\sin 2x}{\cos
	2x\sin x}=\lim_{x\to 0}\frac{2\sin x\cos x}{\cos 2x\sin x}=		2x\sin x}=\lim_{x\to 0}\frac{2\sin x\cos x}{\cos 2x\sin x}=
	\lim_{x\to 0}\frac{2\cos x}{\cos 2x}\\		\lim_{x\to 0}\frac{2\cos x}{\cos 2x}\\
-	&=&\frac{2\cos 0}{\cos 0}=2\end{array}	+	&=&\frac{2\cos 0}{\cos 0}=2\end{array}</math>



-	c) Eftersom nämnaren är $\not=0$ för $x=0$ så kan man helt enkelt	+	'''7.11.c)'''
		+
		+	Eftersom nämnaren är $\not=0$ för $x=0$ så kan man helt enkelt
	sätta in $x=0$. Gränsvärdet är således $(0-1)/1=-1$.		sätta in $x=0$. Gränsvärdet är således $(0-1)/1=-1$.



-	d) Sätt $x=\tan t$, alltså $t=\arctan x$. När $x\to 0$ så	+	'''7.11.d)'''
		+
		+	Sätt $x=\tan t$, alltså $t=\arctan x$. När $x\to 0$ så
	har vi $t\to 0$, så		har vi $t\to 0$, så

Rad 101:		Rad 109:
	<math>		<math>
	\lim_{x\to 0}\frac{\arctan x}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{\arctan x-\arctan		\lim_{x\to 0}\frac{\arctan x}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{\arctan x-\arctan
-	0}{x-0}.</math>	+	0}{x-0}</math>

	Gränsvärdet är alltså $1/(1+0^2)=1$.		Gränsvärdet är alltså $1/(1+0^2)=1$.
Rad 107:		Rad 115:


-	e) Det här gränsvärdet är kvadraten på det i d), dvs också 1.	+	'''7.11.e)'''

		+	Det här gränsvärdet är kvadraten på det i d), dvs också 1.


-	f) Sätt $t=x-\pi{}/2$, så att $t\to 0$ då $x\to \pi{}/2$. Vi har	+
		+	'''7.11.f)'''
		+
		+	Sätt $t=x-\pi{}/2$, så att $t\to 0$ då $x\to \pi{}/2$. Vi har

	<math>		<math>
-	\cos(x-\pi{})=\cos(t+\pi{}/2-\pi{})=\cos(t-\pi{}/2)=\cos(\pi{}/2-t)=\sin t,</math>	+	\cos(x-\pi{})=\cos(t+\pi{}/2-\pi{})=\cos(t-\pi{}/2)=\cos(\pi{}/2-t)=\sin t</math>

	så		så
Rad 120:		Rad 132:
	<math>		<math>
	\lim_{x\to \pi{}/2}\frac{\cos(x-\pi{})}{x-\pi{}/2}=\lim_{t\to 0}\frac{\sin		\lim_{x\to \pi{}/2}\frac{\cos(x-\pi{})}{x-\pi{}/2}=\lim_{t\to 0}\frac{\sin
-	t}{t}=1.</math>	+	t}{t}=1</math>



-	'''7.12.'''l'Hospital ger att gränsvärdet är lika med	+	'''7.12.'''
		+
		+	l'Hospital ger att gränsvärdet är lika med

	<math>		<math>
Rad 137:		Rad 151:


-	'''7.13.Vi har	+	'''7.13.'''
		+
		+	Vi har

	<math>		<math>
Rad 154:		Rad 170:

	<math>		<math>
-	\lim_{x\to 1}\frac{\ln x+1}{\ln x+2}=\frac{1}{2}.</math>	+	\lim_{x\to 1}\frac{\ln x+1}{\ln x+2}=\frac{1}{2}</math>

	Har man läst om Maclaurinpolynom, så kan man beräkna gränsvärdet på		Har man läst om Maclaurinpolynom, så kan man beräkna gränsvärdet på
Rad 160:		Rad 176:

	<math>		<math>
-	\frac{(1+t)\ln(1+t)-t}{t\ln(1+t)}.</math>	+	\frac{(1+t)\ln(1+t)-t}{t\ln(1+t)}</math>

	Notera att $t\to 0$ då $x\to 1$.		Notera att $t\to 0$ då $x\to 1$.
Rad 168:		Rad 184:

	<math>		<math>
-	\frac{1/2+tB_{1}(t)}{1+t^2B(t)},</math>	+	\frac{1/2+tB_{1}(t)}{1+t^2B(t)}</math>

	där även $B_{1}$ är begränsad nära 0. Gränsvärdet är således 1/2.		där även $B_{1}$ är begränsad nära 0. Gränsvärdet är således 1/2.
Rad 178:		Rad 194:
	Kvadratkomplettering ger		Kvadratkomplettering ger

-	<math>\begin{array}	+	<math>\begin{array}{lll}
	P(I)&=&-R\left( I^2-\frac{U}{R}I\right)=-R\left(\left(I-\frac{U}{2R}\right)^2-		P(I)&=&-R\left( I^2-\frac{U}{R}I\right)=-R\left(\left(I-\frac{U}{2R}\right)^2-
	\left(\frac{U}{2R}\right)^2\right)\\		\left(\frac{U}{2R}\right)^2\right)\\
Rad 200:		Rad 216:

	<math>		<math>
-	H(t)=\frac{1}{2}\left(\frac{1,05}{e^{-0,1t}+0,05}-1\right).</math>	+	H(t)=\frac{1}{2}\left(\frac{1,05}{e^{-0,1t}+0,05}-1\right)</math>

	Derivatan är		Derivatan är
Rad 223:		Rad 239:
	deriverar:		deriverar:

-	<math>\begin{array}	+	<math>\begin{array}{lll}
	H''(t)&=&0,0525\left(-\frac{-0,1e^{-0,1t}}{(e^{-0,1t}+0,05)^2}+		H''(t)&=&0,0525\left(-\frac{-0,1e^{-0,1t}}{(e^{-0,1t}+0,05)^2}+
	\frac{2\cdot 0,05\cdot (-0,1e^{-0,1t})}{(e^{-0,1t}+0,05)^3}\right)\\		\frac{2\cdot 0,05\cdot (-0,1e^{-0,1t})}{(e^{-0,1t}+0,05)^3}\right)\\
Rad 263:		Rad 279:
	och värdena för $x=\pi{}/4$		och värdena för $x=\pi{}/4$

-	<math>\begin{array}	+	<math>\begin{array}{lll}
	f(\pi{}/4)&=&1/\sqrt 2,\, f'(\pi{}/4)=1/\sqrt 2,\, f''(\pi{}/4)=-1/\sqrt 2, \\		f(\pi{}/4)&=&1/\sqrt 2,\, f'(\pi{}/4)=1/\sqrt 2,\, f''(\pi{}/4)=-1/\sqrt 2, \\
	f^{(3)}(\pi{}/4)&=&-1/\sqrt 2,\, f^{(4)}(\pi{}/4)=1/\sqrt 2.\end{array}</math>		f^{(3)}(\pi{}/4)&=&-1/\sqrt 2,\, f^{(4)}(\pi{}/4)=1/\sqrt 2.\end{array}</math>
Rad 270:		Rad 286:
	Taylorpolynomet är således		Taylorpolynomet är således

-	<math>\begin{array}	+	<math>\begin{array}{lll}
	p_{\pi{}/4,4}(x)&=&f(\pi{}/4)+f'(\pi{}/4)(x-\pi{}/4)+\frac{f''(\pi{}/4)}{2}(x-\pi{}/4)^2\\&+&		p_{\pi{}/4,4}(x)&=&f(\pi{}/4)+f'(\pi{}/4)(x-\pi{}/4)+\frac{f''(\pi{}/4)}{2}(x-\pi{}/4)^2\\&+&
	\frac{f^{(3)}(\pi{}/4)}{3!}(x-\pi{}/4)^3		\frac{f^{(3)}(\pi{}/4)}{3!}(x-\pi{}/4)^3
Rad 297:		Rad 313:
	så att Taylorpolynomet är		så att Taylorpolynomet är

-	<math>\begin{array}	+	<math>\begin{array}{lll}
	p_{1,3}(x)&=&f(1)+f'(1)(x-1)+\frac{f''(1)}{2}(x-1)^2+		p_{1,3}(x)&=&f(1)+f'(1)(x-1)+\frac{f''(1)}{2}(x-1)^2+
	\frac{f^{(3)}(1)}{3!}(x-1)^3\\		\frac{f^{(3)}(1)}{3!}(x-1)^3\\
Rad 335:		Rad 351:


-	'''8.9.'''Eftersom nämnaren har grad 3, så försöker vi med att utvecka	+	'''8.9.'''
		+
		+	Eftersom nämnaren har grad 3, så försöker vi med att utvecka
	arctan och sin t o m ordning 3:		arctan och sin t o m ordning 3:

Rad 344:		Rad 362:
	där $B$ och $C$ är begränsade nära 0. Alltså är		där $B$ och $C$ är begränsade nära 0. Alltså är

-	<math>\begin{array}	+	<math>\begin{array}{lll}
	\frac{\arctan 2x-\sin		\frac{\arctan 2x-\sin
	2x}{x^3}&=&\frac{-8x^3/3+8x^3/6+x^5(B(x)-C(x))}{x^3}\\		2x}{x^3}&=&\frac{-8x^3/3+8x^3/6+x^5(B(x)-C(x))}{x^3}\\
Rad 361:		Rad 379:
	andra		andra

-	<math>\begin{array}	+	<math>\begin{array}{lll}
	\cos x&=&1-\frac{x^2}{2}+x^4B(x)\\		\cos x&=&1-\frac{x^2}{2}+x^4B(x)\\
	\ln(1+x)&=&x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+x^4C(x)\end{eqnarray*}</math>		\ln(1+x)&=&x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+x^4C(x)\end{eqnarray*}</math>
Rad 370:		Rad 388:
	inblandade funktionerna). Alltså är		inblandade funktionerna). Alltså är

-	<math>\begin{array}	+	<math>\begin{array}{lll}
	f(x)&=&\left(1-\frac{x^2}{2}+x^4B(x)\right)\left(		f(x)&=&\left(1-\frac{x^2}{2}+x^4B(x)\right)\left(
	x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+x^4C(x)\right)\\		x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+x^4C(x)\right)\\
Rad 403:		Rad 421:

	<math>		<math>
-	\begin{array}	+	\begin{array}{lll}
	\sin(x^2-\pi{}/6)&=&\frac{\sqrt 3}{2}(x^2+x^{6}B_{1}(x^2))-		\sin(x^2-\pi{}/6)&=&\frac{\sqrt 3}{2}(x^2+x^{6}B_{1}(x^2))-
	\frac{1}{2}(1-x^4/2+x^8B_{2}(x^2))\\		\frac{1}{2}(1-x^4/2+x^8B_{2}(x^2))\\

Clas Löfwall den 16 oktober 2007 kl. 13.16

Clas Löfwall — Tue, 16 Oct 2007 13:16:23 GMT

← Äldre version		Versionen från 16 oktober 2007 kl. 13.16
Rad 44:		Rad 44:


-		+	[[Bild: Fig3dag15.jpg]]
-	\begin{center}	+
-	\includegraphics[0mm,0mm][10cm,10cm]{Fig3dag15.jpg}\end{center}	+

Clas Löfwall den 16 oktober 2007 kl. 13.13

Clas Löfwall — Tue, 16 Oct 2007 13:13:48 GMT

← Äldre version		Versionen från 16 oktober 2007 kl. 13.13
Rad 20:		Rad 20:


-	'''7.9.'''Figuren nedan föreställer ett tvärsnitt genom sfären och	+	'''7.9.'''
		+
		+	iguren nedan föreställer ett tvärsnitt genom sfären och
	cylindern. Enligt Pythagoras sats gäller sambandet $r^2+(h/2)^2=R^2$		cylindern. Enligt Pythagoras sats gäller sambandet $r^2+(h/2)^2=R^2$
	mellan radien $r$ och höjden $h$ i cylindern. Dess volym är		mellan radien $r$ och höjden $h$ i cylindern. Dess volym är
Rad 53:		Rad 55:
	kvadratkomplettera:		kvadratkomplettera:

-	<math>\begin{array}	+	<math>\begin{array}{lll}
	h(t)&=&20t-4,9t^2=(-4,9)\left(t^2-\frac{20}{4,9}t\right)\\		h(t)&=&20t-4,9t^2=(-4,9)\left(t^2-\frac{20}{4,9}t\right)\\
	&=&		&=&

Clas Löfwall den 16 oktober 2007 kl. 13.12

Clas Löfwall — Tue, 16 Oct 2007 13:12:11 GMT

(Skillnad mellan versioner)

Clas Löfwall: Ny sida: ==Lösningar till några övningar till lektion 15== Tillbaka till lösningarna

Clas Löfwall — Tue, 02 Oct 2007 13:34:34 GMT

Ny sida: ==Lösningar till några övningar till lektion 15== Tillbaka till lösningarna

Ny sida

==Lösningar till några övningar till lektion 15==

[[Exempellösningar|Tillbaka till lösningarna]]

Lösningar 15 - Versionshistorik