Lösningar 20 - Versionshistorik

Clas Löfwall den 26 oktober 2007 kl. 10.45

Clas Löfwall — Fri, 26 Oct 2007 10:45:19 GMT

← Äldre version		Versionen från 26 oktober 2007 kl. 10.45
Rad 74:		Rad 74:
	20$. För $t=1$ är $q=10$, så $-\ln(100-10)+\ln(5+10)=K\cdot 1-\ln 20$,		20$. För $t=1$ är $q=10$, så $-\ln(100-10)+\ln(5+10)=K\cdot 1-\ln 20$,
	varav $K=\ln 20-\ln 90+\ln 15=\ln(300/90)=\ln(10/3)\approx 1,2$. Löser		varav $K=\ln 20-\ln 90+\ln 15=\ln(300/90)=\ln(10/3)\approx 1,2$. Löser
-	vi ekvationen <math>	+	vi ekvationen <math>\ln\frac{5+q}{100-q}=1,2t-\ln20</math> dvs <math>
	\frac{5+q}{100-q}=0,05e^{1,2t}</math>		\frac{5+q}{100-q}=0,05e^{1,2t}</math>
	så får vi <math>		så får vi <math>

Clas Löfwall den 26 oktober 2007 kl. 10.34

Clas Löfwall — Fri, 26 Oct 2007 10:34:24 GMT

← Äldre version		Versionen från 26 oktober 2007 kl. 10.34
Rad 27:		Rad 27:
	Separation av variablerna ger $y'/(1+y^2)=1/\tan x=\cos x/\sin x$.		Separation av variablerna ger $y'/(1+y^2)=1/\tan x=\cos x/\sin x$.
	En primitiv funktion till HL är $\ln\|\sin x\|$ och vi får $\arctan		En primitiv funktion till HL är $\ln\|\sin x\|$ och vi får $\arctan
-	y=\ln\|\sin x\|+C$. Villkoret $y(¹/2)=1$ ger $\arctan 1=\ln 1+C$, så	+	y=\ln\|\sin x\|+C$. Villkoret $y(\pi/2)=1$ ger $\arctan 1=\ln 1+C$, så
-	att $C=¹/4$. Lösningen är $y=\tan(¹/4+\ln\|\sin x\|)$.	+	att $C=\pi/4$. Lösningen är $y=\tan(\pi/4+\ln\|\sin x\|)$.

Clas Löfwall den 26 oktober 2007 kl. 10.30

Clas Löfwall — Fri, 26 Oct 2007 10:30:38 GMT

← Äldre version		Versionen från 26 oktober 2007 kl. 10.30
Rad 2:		Rad 2:


-	13.2. Ekvationen har separabla variabler och kan skrivas	+	'''13.2.'''
		+
		+	Ekvationen har separabla variabler och kan skrivas
	$e^{-y}y'=-2x$, vilken kan skrivas <math>		$e^{-y}y'=-2x$, vilken kan skrivas <math>
	\frac{d}{dx}(-e^{-y})=\frac{d}{dx}(-x^2),</math>		\frac{d}{dx}(-e^{-y})=\frac{d}{dx}(-x^2),</math>
Rad 11:		Rad 13:


-	13.4. Separation av variablerna ger $y'/(1-y)=x$, som kan skrivas	+	'''13.4.'''
		+
		+	Separation av variablerna ger $y'/(1-y)=x$, som kan skrivas
	$D(-\ln(1-y))=D(x^2/2)$, där $D$ står för derivatan med avseende på		$D(-\ln(1-y))=D(x^2/2)$, där $D$ står för derivatan med avseende på
	$x$. Alltså är $\ln(1-y)=-x^2/2+D$, där $D$ är en konstant, varav		$x$. Alltså är $\ln(1-y)=-x^2/2+D$, där $D$ är en konstant, varav
Rad 19:		Rad 23:


-	13.6. Separation av variablerna ger $y'/(1+y^2)=1/\tan x=\cos x/\sin x$.	+	'''13.6.'''
		+
		+	Separation av variablerna ger $y'/(1+y^2)=1/\tan x=\cos x/\sin x$.
	En primitiv funktion till HL är $\ln\|\sin x\|$ och vi får $\arctan		En primitiv funktion till HL är $\ln\|\sin x\|$ och vi får $\arctan
	y=\ln\|\sin x\|+C$. Villkoret $y(¹/2)=1$ ger $\arctan 1=\ln 1+C$, så		y=\ln\|\sin x\|+C$. Villkoret $y(¹/2)=1$ ger $\arctan 1=\ln 1+C$, så
Rad 26:		Rad 32:


-	13.8. Vi har $v(t)=h'(t)$ och får DE:n $h'(t)=0,012h(t)$. Lösningen	+	'''13.8.'''
		+
		+	Vi har $v(t)=h'(t)$ och får DE:n $h'(t)=0,012h(t)$. Lösningen
	är $h(t)=Ce^{0,012t}$. Enligt texten är $h(0)=1$ cm, så		är $h(t)=Ce^{0,012t}$. Enligt texten är $h(0)=1$ cm, så
	$h(t)=e^{0,012t}$ cm, där tiden $t$ mäts i timmar. Ekvationen		$h(t)=e^{0,012t}$ cm, där tiden $t$ mäts i timmar. Ekvationen
Rad 33:		Rad 41:


-	13.10.a. Låt $T(t)$ vara temperaturen som funktion av tiden $t$ efter	+	'''13.10.a.'''
		+
		+	Låt $T(t)$ vara temperaturen som funktion av tiden $t$ efter
	bullens uttagande från ugnen. Om rumstemperaturen är $T_{r}$ så får vi		bullens uttagande från ugnen. Om rumstemperaturen är $T_{r}$ så får vi
	DE:n $T'(t)=k(T(t)-T_{r})$. Separation av variablerna ger		DE:n $T'(t)=k(T(t)-T_{r})$. Separation av variablerna ger
Rad 44:		Rad 54:


-	b. Vi får ekvationen $20+180e^{-0,31t}=35$, som ger	+	'''13.10.b.'''
		+
		+	Vi får ekvationen $20+180e^{-0,31t}=35$, som ger
	$t=(\ln(15/180))/(-0,31)\approx 8$ minuter.		$t=(\ln(15/180))/(-0,31)\approx 8$ minuter.



-	13.35. Här måste det vara ett litet fel i texten: Rimligen är det	+	'''13.35.'''
		+
		+	Här måste det vara ett litet fel i texten: Rimligen är det
	$b+q$ som är koncentrationen av B efter tiden $t$.		$b+q$ som är koncentrationen av B efter tiden $t$.
	Separation av variablerna ger <math>		Separation av variablerna ger <math>

Clas Löfwall den 26 oktober 2007 kl. 10.27

Clas Löfwall — Fri, 26 Oct 2007 10:27:51 GMT

← Äldre version		Versionen från 26 oktober 2007 kl. 10.27
Rad 1:		Rad 1:
	==Lösningar till några övningar till lektion 20==		==Lösningar till några övningar till lektion 20==
		+
		+
		+	13.2. Ekvationen har separabla variabler och kan skrivas
		+	$e^{-y}y'=-2x$, vilken kan skrivas <math>
		+	\frac{d}{dx}(-e^{-y})=\frac{d}{dx}(-x^2),</math>
		+	som ger $e^{-y}=x^2+C$, där $C$ är en konstant. Alltså är
		+	$y=-\ln(x^2+C)$. Sätter vi $x=0$ så får vi $0=-\ln C$, varav $C=1$.
		+	Lösningen är således $y=-\ln(x^2+1)$.
		+
		+
		+
		+	13.4. Separation av variablerna ger $y'/(1-y)=x$, som kan skrivas
		+	$D(-\ln(1-y))=D(x^2/2)$, där $D$ står för derivatan med avseende på
		+	$x$. Alltså är $\ln(1-y)=-x^2/2+D$, där $D$ är en konstant, varav
		+	$y=1-e^{-x^2/2+D}=1-Ce^{-x^2/2}$, där $C=e^{D}$. Villkoret $y(0)=0$
		+	ger $C=1$, så att $y=1-e^{-x^2/2}$.
		+
		+
		+
		+	13.6. Separation av variablerna ger $y'/(1+y^2)=1/\tan x=\cos x/\sin x$.
		+	En primitiv funktion till HL är $\ln\|\sin x\|$ och vi får $\arctan
		+	y=\ln\|\sin x\|+C$. Villkoret $y(¹/2)=1$ ger $\arctan 1=\ln 1+C$, så
		+	att $C=¹/4$. Lösningen är $y=\tan(¹/4+\ln\|\sin x\|)$.
		+
		+
		+
		+	13.8. Vi har $v(t)=h'(t)$ och får DE:n $h'(t)=0,012h(t)$. Lösningen
		+	är $h(t)=Ce^{0,012t}$. Enligt texten är $h(0)=1$ cm, så
		+	$h(t)=e^{0,012t}$ cm, där tiden $t$ mäts i timmar. Ekvationen
		+	$205=e^{0,012t}$ har lösningen $t\approx 440$ timmar.
		+
		+
		+
		+	13.10.a. Låt $T(t)$ vara temperaturen som funktion av tiden $t$ efter
		+	bullens uttagande från ugnen. Om rumstemperaturen är $T_{r}$ så får vi
		+	DE:n $T'(t)=k(T(t)-T_{r})$. Separation av variablerna ger
		+	$T'(t)/(T(t)-T_{r})=k$, varav $\ln(T(t)-T_{r})=kt+D$. Detta ger
		+	$T(t)=T_{r}+e^{kt+D}=T_{r}+Ce^{kt}$. Vi har $T(0)=200$, så $200=20+C$,
		+	varav $C=180$. Vidare är $152=20+180e^{k\cdot 1}$ om vi mäter $t$ i
		+	minuter. Härav $k=\ln(132/180)\approx -0,31$, så att <math>
		+	T(t)=20+180e^{-0,31t}.</math>
		+
		+
		+
		+	b. Vi får ekvationen $20+180e^{-0,31t}=35$, som ger
		+	$t=(\ln(15/180))/(-0,31)\approx 8$ minuter.
		+
		+
		+
		+	13.35. Här måste det vara ett litet fel i texten: Rimligen är det
		+	$b+q$ som är koncentrationen av B efter tiden $t$.
		+	Separation av variablerna ger <math>
		+	\frac{q'(t)}{(a-q)(b+q)}=k.</math>
		+	Partialbråksuppdelning av VL ger <math>
		+	\frac{1}{a+b}\left(\frac{1}{a-q}+\frac{1}{b+q}\right)q'(t)=k</math>
		+	varför <math>
		+	-\ln(a-q)+\ln(b+q)=k(a+b)t+C=Kt+C.</math>
		+	När $t=0$ är $q=0$, så $C=-\ln a+\ln b=\ln (b/a)=\ln (5/100)=-\ln
		+	20$. För $t=1$ är $q=10$, så $-\ln(100-10)+\ln(5+10)=K\cdot 1-\ln 20$,
		+	varav $K=\ln 20-\ln 90+\ln 15=\ln(300/90)=\ln(10/3)\approx 1,2$. Löser
		+	vi ekvationen <math>
		+	\frac{5+q}{100-q}=0,05e^{1,2t}</math>
		+	så får vi <math>
		+	q(t)=\frac{100(e^{1,2t}-1)}{20+e^{1,2t}}.</math>
		+
		+
		+

	[[Exempellösningar\|Tillbaka till lösningarna]]		[[Exempellösningar\|Tillbaka till lösningarna]]

Clas Löfwall: Ny sida: ==Lösningar till några övningar till lektion 20== Tillbaka till lösningarna

Clas Löfwall — Tue, 02 Oct 2007 13:35:41 GMT

Ny sida: ==Lösningar till några övningar till lektion 20== Tillbaka till lösningarna

Ny sida

==Lösningar till några övningar till lektion 20==

[[Exempellösningar|Tillbaka till lösningarna]]