KTH.SE:u17xlk1r den 24 augusti 2007 kl. 19.10

KTH.SE:u17xlk1r — Fri, 24 Aug 2007 19:10:22 GMT

← Äldre version		Versionen från 24 augusti 2007 kl. 19.10
Rad 1:		Rad 1:
		+	==Lösningar till några övningar till lektion 7==
		+
		+	[[Exempellösningar\|Tillbaka till lösningarna]]
		+
	'''4.22.''' För den som inte har sett cosinussatsen tidigare (eller glömt		'''4.22.''' För den som inte har sett cosinussatsen tidigare (eller glömt
	den) kommer här ett bevis. I triangeln $\triangle ABC$ nedan har vi		den) kommer här ett bevis. I triangeln $\triangle ABC$ nedan har vi

KTH.SE:u17xlk1r: Ny sida: '''4.22.''' För den som inte har sett cosinussatsen tidigare (eller glömt den) kommer här ett bevis. I triangeln $\triangle ABC$ nedan har vi dragit höjden från hörnet $C$ mot sidan...

KTH.SE:u17xlk1r — Fri, 24 Aug 2007 19:08:22 GMT

Ny sida: '''4.22.''' För den som inte har sett cosinussatsen tidigare (eller glömt den) kommer här ett bevis. I triangeln $\triangle ABC$ nedan har vi dragit höjden från hörnet $C$ mot sidan...

Ny sida

'''4.22.''' För den som inte har sett cosinussatsen tidigare (eller glömt
den) kommer här ett bevis. I triangeln $\triangle ABC$ nedan har vi
dragit höjden från hörnet $C$ mot sidan $AB$. Beteckna fotpunkten
med $D$ och sätt $h=|CD|$, $x=|AD|$. Pythagoras sats på de två
rätvinkliga trianglarna $\triangle ADC$ och $\triangle DBC$ ger
$b^2=h^2+x^2$ respektive $a^2=h^2+(c-x)^2$. Alltså får vi

$a^2=b^2-x^2+(c-x)^2=b^2+c^2-2cx.$

Men enligt "triangeldefinitionen" av cosinus är $\cos
A=|AD|/|AC|=x/b$, så $x=b\cos A$ och insättning ger

$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A.$

[[Bild:Fig4dag10.jpg]]

Om fotpunkten $D$ för höjden från $C$ inte ligger mellan $A$ och $B$
(vilket är fallet då $A$ eller $B$ är trubbig), så får man modifiera
beviset en smula, men det får du göra själv!

'''4.23.''' Sätt in definitionen av tangens.

'''4.25.'''

$\frac{1-\cos^2x}{\sin 2x}=\frac{\sin^2x}{2\sin x\cos x}=\frac{\sin
x}{2\cos x}=\frac{1}{2}\,\tan x$

enligt trigonometriska ettan och formeln för dubbla vinkeln för sinus.

'''4.26.''' Ett uttryck av formen $a\sin x+b\cos x$ kan man alltid skriva
om på formen $A\sin(x+\alpha)$ för några tal $A$ och $\alpha$. Den här
typen av omskrivningar är viktiga i bl a vågrörelseläran och vi går
därför igenom den här. Additionsformeln ger

$A\sin(x+\alpha)=(A\cos\alpha)\sin x+(A\sin\alpha)\cos x,$

så vi vill hitta $A$ och $\alpha$ så att $A\cos\alpha=a,\quad
A\sin\alpha=b$. Den trigonometriska ettan ger

$A^2=A^2(\cos^2\alpha+\sin^2\alpha)=(A\cos\alpha)^2+(A\sin\alpha)^2=a^2+b^2,$

dvs $A=±\sqrt{a^2+b^2}$. Normalt väljer man här plustecknet och när
man har bestämt $A$ så får man $\alpha$ ur sambanden
$\cos\alpha=a/A,\sin\alpha=b/A$. En funktion av formen $f(x)=a\sin
x+b\cos x$ är alltså en något modifierad sinusvåg.
Talen $A$ och $\alpha$ kallas ''amplitud'' respektive ''fas''.
Lägg märke till att amplituden betyder
det största värde som $f(x)$ kan anta. Fasen betyder hur
mycket förskjuten sinusvågen $f(x)$ är i förhållande till den "enkla"
vågen $y=\sin x$.

I fallet $\sin x+\cos x$ är $a=b=1$, så $A=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt 2$.
Fasen $\alpha$ bestäms ur $\cos\alpha=\sin\alpha=1/\sqrt 2$, som
ger $\alpha=\pi/4$ (det finns förstås oändligt många lösningar, men det
räcker att ta en av dem, t ex den som ligger mellan 0 och $2\pi$).

'''4.30.''' Använder vi formeln för dubbla vinkeln så får vi ekvationen

$2\sin x\cos^2x=2\sin^3x,\quad\mbox{dvs}\quad
\sin x(\cos^2x-\sin^2x)=0.$

Detta ger $\sin x=0$ eller $\cos^2x-\sin^2x=0$. Den förra ekvationen
har lösningarna $x=n\pi$ och den senare löser man enklast genom att
skriva den som $\cos 2x=0$, som ger $2x=\pi/2+n\pi$, dvs $x=\pi/4+n\pi/2$.

En anmärking: När man har kommit till $2\sin x\cos^2x=2\sin^3x$ så är
det lätt hänt att man förkortar med $2\sin x$ och får ekvationen
$\cos^2x=\sin^2x$. Förkortningen är helt i sin ordning ''om'' $\sin
x\not=0$, men om $\sin x=0$ så innebär den division med 0. Var
alltid försiktig vid division med uttryck som kan vara 0!

'''4.31.''' I figuren nedan är $P$ den punkt där fågeln fångar
flugan, $Q$ den punkt där flugan är när fågeln börjar flyga och $R$
den punkt där den är när fågeln flugit 5 m, då den befinner sig i $S$.
Punkten $O$ är cirkelns medelpunkt, dvs den punkt där flugsnapparen
sitter från början.
Det är alltsä längden $x$ av sträckan $SR$ vi skall beräkna.

[[Bild: Fig5dag10.jpg]]

Eftersom flugan flyger hälften så fort som fågeln, så är bågen $QP$
hälften så lång som sträckan $OP$, dvs 5 m. Alltså är bågen $RP$ $5/2$
m och vinkeln $u=\wedge QOR=(5/2)/10=1/4$ (radianer). Cosinussatsen
ger

$x^2=5^2+10^2-2\cdot 5\cdot 10\cdot\cos (1/4),\quad\mbox{varav} \quad
x\approx 5,3 \quad\mbox{meter.}$

Här är en anmärkning om radianmåttet på sin plats! Att en vinkel har
måttet $\alpha$ radianer innebär att den på enhetscirkeln upptar en
båge som är $\alpha$ längdenheter lång. Om man i stället placerar
vinkeln med spetsen i medelpunkten i en cirkel med radie $r$, så blir
motsvarande båge $r\alpha$.

'''4.33.c)''' Svaret är ''inte'' $5\pi/3$, som man kanske skulle tro i
förstone. Vi har ju nämligen $a=\tan x$ om och endast om $x=\arctan
a$ och $-\pi/2<x<\pi/2$. Nu är ju $5\pi/3=2\pi -\pi/3$, så $\tan
(5\pi/3)=\tan(-\pi/3)$ och då $-\pi/2<-\pi/3<\pi/2$, så att
$\arctan(\tan(5\pi/3))=\arctan(\tan(-\pi/3))=-\pi/3$.

'''e)''' Vi har $\sin(-3\pi/4)=\cos(\pi/2-(-3\pi/4))=\cos(5\pi/4)$ och $a=\cos x$
om och endast om $x=\arccos x$ och $0\le x\le \pi$. Talet $5\pi/4$ ligger
utanför det här intervallet, men $\cos(5\pi/4)=\cos(2\pi-3\pi/4)=\cos(-3\pi/4)=\cos(3\pi/4)$, där $0\le 3\pi/4\le \pi$.
Alltså är $\arccos(\sin(-3\pi/4))=\arccos(\cos(3\pi/4))=3\pi/4$.

'''f)''' Observera att $a=\sin x$ om och endast om $x=\arcsin x$ och
$-\pi/2\le x\le \pi/2$. Vi har
$\sin(8\pi/3)=\sin(2\pi/3+2\pi)=\sin(2\pi/3)=\sin(\pi-\pi/3)=\sin(\pi/3)$, så att
$\arcsin(\sin(8\pi/3))=\arcsin(\sin(\pi/3))=\pi/3$.

'''4.34.''' För att $\arcsin 2x$ skall vara definierat måste $-1\le
2x\le 1$, vilket betyder $-1/2\le x\le 1/2$. Detta är alltså
definitionsmängden. Värdemängden är densamma som får $\arcsin x$,
dvs $\left[-\pi/2,\pi/2\right]$.

Lösningar 7 - Versionshistorik

KTH.SE:u17xlk1r den 24 augusti 2007 kl. 19.10

KTH.SE:u17xlk1r: Ny sida: '''4.22.''' För den som inte har sett cosinussatsen tidigare (eller glömt den) kommer här ett bevis. I triangeln $\triangle ABC$ nedan har vi dragit höjden från hörnet $C$ mot sidan...