Clas Löfwall den 20 september 2007 kl. 18.08

Clas Löfwall — Thu, 20 Sep 2007 18:08:07 GMT

← Äldre version		Versionen från 20 september 2007 kl. 18.08
Rad 1:		Rad 1:
		+	==Lösningar till några övningar till lektion 9==
		+
		+	[[Exempellösningar\|Tillbaka till lösningarna]]
		+
		+
	'''14.1.c)'''		'''14.1.c)'''

Clas Löfwall: Ny sida: '''14.1.c)''' Totalmatrisen är $\left(\begin{matrix} 4 & 7 & -2\\ 3 & -4 & 4\\ -1 & 2 & 2 \end{matrix}\right.\left| \begin{matrix}8\\-6\\1\end{matrix}\right)$ och Gaussel...

Clas Löfwall — Thu, 20 Sep 2007 18:07:18 GMT

Ny sida: '''14.1.c)''' Totalmatrisen är <math> \left(\begin{matrix} 4 & 7 & -2\\ 3 & -4 & 4\\ -1 & 2 & 2 \end{matrix}\right.\left| \begin{matrix}8\\-6\\1\end{matrix}\right) </math> och Gaussel...

Ny sida

'''14.1.c)'''

Totalmatrisen är

<math>
\left(\begin{matrix}
4 & 7 & -2\\
3 & -4 & 4\\
-1 & 2 & 2
\end{matrix}\right.\left|
\begin{matrix}8\\-6\\1\end{matrix}\right)
</math>

och Gausselimination ger

<math>
\begin{array}{ccccccc}
&\left(\begin{array}{ccc}
4 & 7 & -2\\
3 & -4 & 4\\
-1 & 2 & 2
\end{array}\right.\left|
\begin{array}{c}
8\\
-6\\
1\end{array}\right)
&\Leftrightarrow&
\left(\begin{array}{ccc}
-1 & 2 & 2\\
3 & -4 & 4\\
4 & 7 & -2
\end{array}\right.\left|
\begin{array}{c}
1\\
-6\\
8\end{array}\right) \\ \\
\Leftrightarrow &
\left(\begin{array}{ccc}
1 & -2 & -2\\
0 & 2 & 10\\
0 & 15 & 6
\end{array}\right.\left|
\begin{array}{c}
-1\\
-3\\
12\end{array}\right)
&\Leftrightarrow&
\left(\begin{array}{ccc}
1 & -2 & -2\\
0 & 1 & 5\\
0 & 5 & 2
\end{array}\right.\left|
\begin{array}{c}
-1\\
-3/2\\
4\end{array}\right) \\ \\
\Leftrightarrow &
\left(\begin{array}{ccc}
1 & -2 & -2\\
0 & 1 & 5\\
0 & 0 & -23
\end{array}\right.\left|
\begin{array}{c}
-1\\
-3/2\\
23/2\end{array}\right)
&\Leftrightarrow&
\left(\begin{array}{ccc}
1 & -2 & -2\\
0 & 1 & 5\\
0 & 0 & 1
\end{array}\right.\left|
\begin{array}{c}
-1\\
-3/2\\
-1/2\end{array}\right) \\ \\
\Leftrightarrow &
\left(\begin{array}{ccc}
1 & -2 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1
\end{array}\right.\left|
\begin{array}{c}
-2\\
1\\
-1/2\end{array}\right)
&\Leftrightarrow&
\left(\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1
\end{array}\right.\left|
\begin{array}{c}
0\\
1\\
-1/2\end{array}\right) \end{array}</math>

Lösningen är $x=0, y=1,z=-1/2$

'''14.2.c)'''

Totalmatrisen är

<math>
\begin{matrix}
\left(\begin{matrix}
-2 & 1 & 0\\
1 & 1 & -1\\
-1 & 2 &-1\end{matrix}\right.\left|
\begin{matrix}-3 \\3 \\0\end{matrix}\right)\end{matrix}</math>

och Gausselimination ger

<math>
\begin{array}{ccc}
\left(\begin{array}{ccc}
-2 & 1 & 0\\
1 & 1 & -1\\
-1 & 2 &-1\end{array}\right.\left|
\begin{array}{c}-3 \\3 \\0\end{array}\right)
&\Leftrightarrow&
\left(\begin{array}{ccc}
1 & 1 & -1\\
-2 & 1 & 0\\
-1 & 2 &-1\end{array}\right.\left|
\begin{array}{c}3 \\-3 \\0\end{array}\right)\\
\\
\left(\begin{array}{ccc}
1 & 1 & -1\\
0 & 3 & -2\\
0 & 3 & -2\end{array}\right.\left|
\begin{array}{c}3 \\3 \\3\end{array}\right)
&\Leftrightarrow&
\left(\begin{array}{ccc}
1 & 1 & -1\\
0 & 3 & -2\\
0 & 0 & 0\end{array}\right.\left|
\begin{array}{c}3 \\3 \\0\end{array}\right)\end{array}
</math>

Systemet är alltså ekvivalent med $x+y-z=3, 3y-2z=3$ och det går inte
att eliminera längre än så. Inför en parameter $t$ genom t ex $z=3t$. Då blir
$y=(3+2z)/3=1+2t$ och $x=-y+z+3=2+t$. Lösningen kan således skrivas
$(x,y,z)=(2+t, 1+2t,3t)$. Lägg märke till att man kan införa en
parameter (här $t$) på många olika sätt. I bokens facit heter
parametern $s$ och det gäller $s=-t$. Anledningen till att vi väljer
att sätta $z=3t$ snarare än $z=t$ är att vi får heltalskoefficienter
då. Men det är ju helt och hållet en smakfråga om man vill ha det.

'''14.3.a)'''

Systemet är ekvivalent med

<math>
\left\{\begin{array}{ccccccccc}
x & + & y & + & z & = & 1\\
&&(a-1)y&&&=& a-1\\
&& y & - & z & = & -1\end{array}\right.
</math>

och här måste vi dela upp i två fall beroende på om $a=1$ eller
$a\not=1$. Om $a=1$ så lyder den andra ekvationen $0=0$. Om vi sätter
$z=t$ så blir $y=-1+t$ och $x=1-y-z=2-2t$, där $t\in{\bf R}$. Om
$a\not=1$, så kan vi dividera den andra ekvationen med $a-1$ och får
$y=1$. Då blir $z=2$ och $x=-2$.

'''Svar:'''

Om $a\not=1$ så är lösningen $(x,y,z)=(-2,1,2)$ och
om $a=1$ så är den $(x,y,z)=(2-2t,-1+t,t)$.

'''14.7.'''

För att en produkt $AB$ skall vara definierad måste antalet
kolonner i $A$ vara lika med antalet rader i $B$. För att $AA$ skall
vara definierad måste $A$ därför ha lika många rader som kolonner, dvs
den måste vara kvadratisk.

'''14.10.a)'''

Som i Exempel 14.12 skall vi försöka lösa de två ekvationssystem som
har totalmatriserna

<math>
\left(\begin{array}{cc}
1 & 4\\
3 & 7\end{array}\right.\left|\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1\end{array}\right)</math>

Gausselimination ger

<math>
\begin{array}{cccc}
&\left(\begin{array}{cc}
1 & 4\\
3 & 7\end{array}\right.\left|\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1\end{array}\right)
&\Leftrightarrow&
\left(\begin{array}{cc}
1 & 4\\
0 & -5\end{array}\right.\left|\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
-3 & 1\end{array}\right)
\\
\\
\Leftrightarrow&
\left(\begin{array}{cc}
1 & 4\\
0 & 1\end{array}\right.\left|\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
3/5 & -1/5\end{array}\right)
&\Leftrightarrow&
\left(\begin{array}{cc}
1 & 0\\
0 & 1\end{array}\right.\left|\begin{array}{cc}
-7/5 & 4/5 \\
3/5 & -1/5\end{array}\right)\end{array}
</math>

Vi ser att matrisen är inverterbar och att inversen är

<math>
\left(\begin{array}{cc}
-7/5 & 4/5\\
3/5 & -1/5\end{array}\right)
</math>

'''14.10 d)'''

Gausselimination ger

<math>\begin{array}{ccccc}
&&\left(\begin{array}{ccc}
1 & 2 & 0 \\
1 & 1 & -1 \\
0 & 2 & 3\end{array}\right.\left|
\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \end{array}\right)
&\Leftrightarrow&
\left(\begin{array}{ccc}
1 & 2 & 0 \\
0 & -1 & -1 \\
0 & 2 & 3\end{array}\right.\left|
\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\
-1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \end{array}\right)\\ \\
&\Leftrightarrow&
\left(\begin{array}{ccc}
1 & 2 & 0 \\
0 & -1 & -1 \\
0 & 0 & 1\end{array}\right.\left|
\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\
-1 & 1 & 0 \\
-2 & 2 & 1 \end{array}\right)
&\Leftrightarrow&
\left(\begin{array}{ccc}
1 & 2 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1\end{array}\right.\left|
\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\
3 & -3 & -1 \\
-2 & 2 & 1 \end{array}\right)\\ \\
&\Leftrightarrow&
\left(\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1\end{array}\right.\left|
\begin{array}{ccc}
-5 & 6 & 2 \\
3 & -3 & -1 \\
-2 & 2 & 1 \end{array}\right)&&
\end{array}</math>

Inversen är alltså

<math>
\left(\begin{array}{ccc}
-5 & 6 & 2 \\
3 & -3 & -1 \\
-2 & 2 & 1 \end{array}\right)
</math>

Lösningar 9 - Versionshistorik

Clas Löfwall den 20 september 2007 kl. 18.08

Clas Löfwall: Ny sida: '''14.1.c)''' Totalmatrisen är \left(\begin{matrix} 4 & 7 & -2\\ 3 & -4 & 4\\ -1 & 2 & 2 \end{matrix}\right.\left| \begin{matrix}8\\-6\\1\end{matrix}\right) och Gaussel...

Clas Löfwall: Ny sida: '''14.1.c)''' Totalmatrisen är $\left(\begin{matrix} 4 & 7 & -2\\ 3 & -4 & 4\\ -1 & 2 & 2 \end{matrix}\right.\left| \begin{matrix}8\\-6\\1\end{matrix}\right)$ och Gaussel...