Lösningar 2
Matematik för naturvetare 15hp
Lösningar till några övningar till Lektion 2
0.1
$\begin{array} \frac{x-\sqrt{x-2}}{x+\sqrt{x-2}}=2&\Leftrightarrow& x-\sqrt{x-2}=2(x+\sqrt{x-2})\Leftrightarrow -x=3\sqrt{x-2}\\ &\Rightarrow& (-x)^2=(3\sqrt{x-2})^2\Leftrightarrow x^2=9(x-2)\\ &\Leftrightarrow& x^2-9x+18=0\\ &\Leftrightarrow& \left(x-\frac{9}{2}\right)^2-\left(\frac{9}{2}\right)^2+18= \left(x-\frac{9}{2}\right)^2-\frac{9}{4}=0\\ &\Leftrightarrow& x=\frac{9}{2}±\frac{3}{2}\end{array}$
De två möjliga rötterna är således $x_{1}=3$ och $x_{2}=6$, men
eftersom vi inte har ekvivalenser hela vägen, så måste vi testa dem.
För $x=3$ är VL i ekvationen
$ \frac{3-\sqrt 1}{3+\sqrt 1}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$
så 3 är inte en rot. För $x=6$ blir VL
$ \frac{6-\sqrt 4}{6+\sqrt 4}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$
så 6 duger heller inte. Ekvationen saknar rötter.
0.2
$\begin{array} \sqrt x-\sqrt{x-2}=1&\Rightarrow& x-2\sqrt x\sqrt{x-2}+(x-2)=1 \Leftrightarrow 2x-3=2\sqrt x\sqrt{x-2}\\ &\Rightarrow&(2x-3)^2=4x(x-2)\Leftrightarrow 4x=9\Leftrightarrow x=\frac{9}{4}\end{array}$
Då vi inte har ekvivalenser hela vägen, så måste vi kontrollera
svaret:
$ \sqrt{\frac{9}{4}}-\sqrt{\frac{9}{4}-2}=\frac{3}{2}-\sqrt{\frac{1}{4}}= \frac{3}{2}-\frac{1}{2}=1$
Ekvationen har således roten $x=9/4$.
1.5.e)
Olikheten är ekvivalent med
$ \frac{2x}{x-2}-1=\frac{2x-(x-2)}{x-2}=\frac{x+2}{x-2}>0$
Gör ett teckenschema:
$\begin{array}{ccccccccc} x & & -2 & & 2\\ \\ x+2 & - & 0 & + & + & + \\ x-2 & - & - & - & 0 & + \\ \frac{x+2}{x-2} & + & 0 & - & \mbox{ej def.}& +\end{array}$
Att uttrycket inte är definierat för $x=2$ beror på att nämnaren blir 0 där. Svaret är tydligen att olikheten är sann för de $x$ som uppfyller att $(x<-2) \lor (x>2)$.
1.5 f)
Olikheten är ekvivalent med
$ \frac{1}{x-1}-\frac{2}{x}=\frac{x-2(x-1)}{x(x-1)}=\frac{-x+2}{x(x-1)}\ge 0$
Gör ett teckenschema:
$\begin{array}{ccccccccc} x & & 0 & & 1 & & 2 \\ \\ -x+2 & + & + & + & + & + & 0 & - \\ x & - & 0 & + & + & + & + & + \\ x-1 & - & - & - & 0 & + & + & + \\ \frac{-x+2}{x(x-1)} & + & \mbox{ej def.} & - & \mbox{ej def.} & + & 0 & - \end{array}$
Svaret är alltså att olikheten är sann för de $x$ som uppfyller att $(x<0)\lor(1<x\le 2)$.
1.8.d)
Lägg märke till att $|a|=|-a|$ för alla tal $a$, varför
$|x-2|-|2-x|=|x-2|-|-(x-2)|=|x-2|-|x-2|=0$ för alla $x$.
1.9.a)
Att $|x|=2$ betyder att
avståndet mellan $x$ och 0 på tallinjen är 2. Det finns två punkter med den egenskapen, nämligen $x=\pm2$.
1.9 b)
Olikheten $|x|>2$ betyder att
avståndet mellan $x$ och 0 är minst 2, vilket är fallet då $x$ antingen ligger till vänster om $-2$ eller till höger om 2. Alltså $x<-2$ eller $x>2$.
1.9 c)
Eftersom absolutbeloppet alltid är $\ge 0$
så gäller den här olikheten för alla $x$.
1.9 d)
Av uppgift a) följer att
$x-2=-2$ eller $x-2=2$, vilket ger $x=0$ eller $x=4$. Ett annat sätt att resonera är att notera att $|x-2|$ betyder avståndet mellan $x$ och 2 på tallinjen. För att detta skall vara lika med 2, så måste $x=2-2=0$ eller $x=2+2=4$.
1.9 e)
Olikheten är ekvivalent med
$|x-3|<1$ (eftersom $|a|=|-a|$), vilket betyder att avståndet mellan $x$ och 3 skall vara $<1$. Detta är fallet om $-1<x-3<1$ vilket är ekvivalent med $-1+3<x<1+3$, dvs $2<x<4$.
1.9 f)
Här bör man dela upp i olika fall
beroende på vad $x-2$ och $x-3$ har för tecken:
$x<2$:
Här är $x-2$ och $x-3$ båda negativa, så $|x-2|=2-x$ och $|x-3|=3-x$. Olikheten blir $3(2-x)<3-x$ eller $6-3<3x-x$, dvs $x>3/2$. Eftersom vi antagit att $x<2$, så får vi $3/2<x<2$.
${2\le x\le 3}$:
Här är $x-2\ge 0$ men $x-3\le 0$, så olikheten blir nu $3(x-2)<3-x$, varav $x<9/4$. Sammanfattningsvis $2\le x<9/4$.
$x>3$:
Här är både $x-2$ och $x-3$ positiva, så olikheten blir $3(x-2)<x-3$, som ger $x<3/2$. Då vi har antagit att $x>3$, så är detta omöjligt.
Genom att kombinera de olika fallen får vi att svaret är $3/2<x<2$ eller $2\le x<9/4$, dvs $3/2<x<9/4$.
1.9 g)
Dela upp i olika fall som i f):
$x<-2$:
Olikheten blir $-(x+2)-2\le 2(-x)$ eller $x\le 4$, som ju är sant om $x<-2$.
$-2\le x\le 0$:
Olikheten blir $(x+2)-2\le 2(-x)$ eller $3x\le 0$, varav $x\le 0$, vilket ju är sant i det här intervallet.
$x>0$:
Olikheten blir $(x+2)-2\le 2x$ eller $x\ge 0$, vilket är sant.
Svaret är att olikheten gäller för alla $x$.
1.9 h)
Dela upp i fall:
$x<-1$:
Här är $x-2<0$ och $x+1<0$, så $(x-2)/(x+1)>0$ och $\left|\frac{x-2}{x+1}\right|=\frac{x-2}{x+1}$. Olikheten blir $\frac{x-2}{x+1}\le 1$ eller $0\le 1-\frac{x-2}{x+1}=\frac{3}{x+1}$. Alltså måste $x+1\ge 0$ och $x\ge -1$. Men vi har antagit att $x<-1$, så detta är omöjligt.
$-1\le x\le 2$:
Här är $x-2\le 0$ och $x+1\ge 0$, så $\frac{x-2}{x+1}\le 0$ och $\left|\frac{x-2}{x+1}\right|=-\frac{x-2}{x+1}$. Olikheten blir $-\frac{x-2}{x+1}\le 1$ eller $0\le \frac{2x-1}{x+1}$. Eftersom nämnaren är $\ge 0$, så måste $2x-1\ge 0$, dvs $x\ge 1/2$. Sammanfattningsvis $1/2\le x\le 2$.
$x>2$:
Här är både täljare och nämnare i bråket positiva, så att $\left|\frac{x-2}{x+1}\right|=\frac{x-2}{x+1}$. Detta ger samma olikhet som i första fallet och alltså $x\ge -1$. Sammanfattningsvis $x>2$.
Svaret är $x\ge 1/2$.
1.9 i)
Vi delar upp i tre fall,
$x<1/2$, $1/2\le x\le 1$ och $x>1$, och löser de två olikheterna var för sig i de olika intervallen.
$x<1/2$:
Här är både täljare och nämnare negativa, så bråket är positivt och olikheterna blir
$ \frac{1}{2}<\frac{x-1}{2x-1}\le 2$
Eftersom $2x-1<0$ så vänds olikhetstecknen då vi multiplicerar med
$2x-1$:
$ \frac{2x-1}{2}>x-1\ge 2(2x-1)\quad\mbox{eller}\quad 4x-2\le x-1<x-\frac{1}{2}$
Alltså $3x-2<-1\le -1/2$ varav $x\le 1/3$. Eftersom $1/3<1/2$ så duger
alla $x\le 1/3$.
$1/2\le x\le 1$:
Olikheten blir
$ \frac{1}{2}<-\frac{x-1}{2x-1}\le 2\quad\mbox{eller}\quad \frac{2x-1}{2}<-(x-1)\le 2(2x-1)$
eftersom $2x-1\ge 0$. Den vänstra olikheten ger $x<3/4$ och den högra
$x\ge 3/5$. Sammanfattningsvis $3/5\le x<3/4$.
$x>1$:
Här är både täljare och nämnare positiva, så bråket är positivt, vilket ger samma olikheter som i första fallet. Men där fick vi $x<1/3$, vilket ger en motsägelse i det här fallet.
Svaret är $(x\le 1/3)\lor(3/5\le x<3/4)$.
