Lösningar 3

Matematik för naturvetare 15hp

[redigera] Lösningar till några övningar till Lektion 3

Tillbaka till lösningarna

1.15

Ledning: Sätt $2^x=t$ och lägg märke till att $2^{-x}=1/2^x=1/t$

1.19

Försök göra de här övningarna genom att använda bara definitionen av logaritmer, alltså utan miniräknare och utan att snegla på alla formler i texten.

1.19 a)

Här måste man kuna tänka lite baklänges och se att $27=3^3$. Då får man $\log_{3}(1/27)=-\log_{3}27=-\log_{3}3^3=-3$.

1.19 c)

Eftersom $8=2^3$ så är $2=8^{1/3}$, varför $\log_{8}2=1/3$.

1.19 e)

Sätt $a=\log_{4}6$, så att $6=4^a$. Eftersom $4=2^2$ så får vi $6=(2^2)^a=2^{2a}$, varför $\log_{2}6=2a$. Alltså $\log_{2}6/\log_{4}6=2a/a=2$.

1.23

$$ \frac{\ln \frac{a}{b}}{\ln a}=\frac{\ln a-\ln b}{\ln a}=1-\frac{\ln b}{\ln a}$$

Sätt $x=\log_{a}b$, så att $b=a^x$. Tar vi ln av båda leden så får vi $\ln b=\ln a^x=x\ln a$, dvs $x=\log_{a}b=\ln b/\ln a$. Alltså är $\ln (a/b)/\ln a=1-\log_{a}b$.

1.31

Beteckna linjerna $L_{1}$ respektive $L_{2}$. Deras riktningskoefficienter är

$ k_{1}=\frac{3-(-7)}{2-(-2)}=\frac{5}{2}\quad\mbox{och}\quad k_{2}=\frac{2-(-1/4)}{-1-2}=-\frac{3}{4}$

så att ekvationerna är

$ L_{1}: y-3=\frac{5}{2}(x-2),\quad L_{2}:y-2=-\frac{3}{4}(x-(-1))$

I skärningspunkten är $y$-värdena lika, vilket ger ekvationen

$ \frac{5}{2}(x-2)+3=-\frac{3}{4}(x-(-1))+2,\quad\mbox{varav}\quad x=1$

$y$-koordinaten får vi genom att sätta in $x=1$ i någon av linjernas ekvationer och den är $y=5(1-2)/2+3=1/2$. Skärningspunkten är alltså $(1,1/2)$.

1.40.a)

Beteckna antalet gråsuggor från början med $N_{0}$. På ett år över populationen med $8,5\, \% $, dvs med $0,085N_{0}$ stycken djur. Antalet djur vid slutet av första året är således $N_{0}+0,085N_{0}=1,085N_{0}$. På samma sätt ser vi att antalet gråsuggor efter tre år är $1,085^3N_{0}\approx 1,277N_{0}$. I procent är detta en ökning med 27,7 $\% $.

1.40 b)

Med samma resonemang som i a) får vi $N(t)=N_{0}\cdot 1,085^t$. För att bestämma den tid det tar tills antalet gråsuggor är $10N_{0}$ måste vi lösa ekvationen $10N_{0}=N_{0}\cdot 1,085^t$ eller $1,085^t=10$. Logaritmering ger $t\lg 1,085=\lg 10=1$, varav $t=1/\lg 1,085\approx 28,2$ år. Efter 29 år är tydligen antalet djur uppe i $10N_{0}$.

1.41

Säg att priset på en vara utan moms är $p$ kr. Priset inkl 25% moms är då $1,25p$ kr och inkl 18% moms är det $1,18p$ kr. När momsen sänks sjunker priset med $1,25p-1,18p=0,07p$ kr. I förhållande till priset inkl den högre momsen är detta $0,07p/1,25p=0,07/1,25\approx 0,056$. Priset sjunker således med ca 5,6%.

1.42

På ett år sjunker priset från $1,25p$ till $1,18p$, dvs med faktorn $1,18/1,25$. Ett annat sätt att komma fram till denna faktor är att utgå från svaret i 1.41, 5,6%. Från det får vi fram "minskningsfaktorn" $1-0,056=0,944= 1,18/1,25$. Vi måste lösa ekvationen $(1,18/1,25)^t=0,5$, där $t$ är tiden det tar tills priset är hälften av det ursprungliga. Logaritmering ger $t\lg(1,18/1,25)=\lg 0,5=\lg 2/(\lg 1,25 - \lg 1,18)$, vilket ger $t\approx 12,02$ år. Om priset sänks en gång om året är svaret därför efter 13 år.