Lösningar 4

Matematik för naturvetare 15hp

Version från den 23 augusti 2007 kl. 09.16; KTH.SE:u17xlk1r (Diskussion | bidrag)

(skillnad) ← Äldre version | Nuvarande version (skillnad) | Nyare version → (skillnad)

Hoppa till: navigering, sök

[redigera] Lösningar till några övningar till Lektion 4

Tillbaka till lösningarna

2.2.d)

Ledning: Talen 2, 4, 16 och 256 osv är potenser av 2.

2.5

Beteckna radien från början med $R_{0}$ och radien efter 42 dagar med $R$. Motsvarande volymer är $V_{0}=4\pi R_{0}^3/3$ respektive $V=4\pi R^3/3$. 42 dagar är 3 14-dagarsperioder, så $V=2\cdot 2\cdot 2\cdot V_{0}=8V_{0}$. Härav får vi $R^3=8R_{0}^3$ och $R=2R_{0}$.

2.9

Om det $n$:te talet är $a_{n}$ och kvoten $k$, så gäller $a_{n}=a_{1}k^{n-1}$. Alltså är $a_{3}=a_{1}k^2$, vilket ger $7=a_{1}(-1/2)^2$ och $a_{1}=28$. Det sjätte talet blir $a_{6}=28(-1/2)^5=-7/8$.

2.12

Låt organismens vikt från början vara $m$. Efter en matning väger den

$m_{1}=m+\frac{1}{20}m=m(1+0,05)=1,05m$

och efter två matningar (dvs efter en timme)

$m 2 = m 1 + 0,05 m 1 = 1,05 2 m$

osv, så att efter n matningar (och alltså n-1 timmar) $$ m_{n}=1,05^nm$$ För att få reda på när den har fördubblat sin vikt måste vi lösa ekvationen $1,05^n=2$, som ger $n=\ln 2/\ln 1,05\approx 14,2$. Svaret är alltså efter 15:e matningen, dvs efter 14 timmar (i facit står det 15 timmar).

2.19 b)

$\sum\limits_{p=0}^{\infty}\frac{2^{p-1}\cdot 3^{p+1}}{8^{p+2}}= \sum\limits_{p=0}^{\infty}\frac{3}{2\cdot 8^2}\frac{2^{p}\cdot 3^{p}}{8^{p}}= \frac{3}{2\cdot 8^2}\sum_{p=0}^{\infty}\left(\frac{2\cdot 3}{8}\right)^p$

Detta är en geometrisk serie med första term $\frac{3}{2\cdot 8^2}$ och kvot $(2\cdot 3)/8=3/4$. Eftersom kvoten ligger mellan $-1$ och 1 så är serien konvergent och dess summa är

$\frac{3}{2\cdot 8^2}\cdot\frac{1}{1-3/4}=\frac{3}{32}$

2.19 d)

Som den står är serien inte geometrisk, men man kan dela upp den i två geometriska serier:

$\sum_{i=1}^{\infty}\frac{2^i+5^i}{10^i}=\sum_{i=1}^{\infty}\frac{2^i}{10^i}+ \sum_{i=1}^{\infty}\frac{5^i}{10^i}$

$= \sum_{i=1}^{\infty}\left(\frac{1}{5}\right)^i+ \sum_{i=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^i = \frac{1/5}{1-1/5}+\frac{1/2}{1-1/2}=\frac{5}{4}$

Observera att seriernas kvoter $1/5$ och $1/2$ ligger mellan $-1$ och 1 så att serierna är konvergenta.

2.19 e)

Sätt $k=t+2$:

$\sum_{t=-2}^{\infty}\frac{e^t}{4^{t+2}}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{e^{k-2}}{4^k}= e^{-2}\sum_{k=0}^{\infty}\left(\frac{e}{4}\right)^k= e^{-2}\cdot\frac{1}{1-e/4}=\frac{4}{e^2(4-e)}$

eftersom kvoten $e/4$ ligger mellan $-1$ och 1.

2.19 f)

$\sum_{p=0}^{\infty} \left(\left(\frac{2}{3}\right)^{2p}-\left(\frac{1}{3}\right)^p\right)= \sum_{p=0}^{\infty}\left(\left(\frac{2}{3}\right)^2\right)^p- \sum_{p=0}^{\infty}\left(\frac{1}{3}\right)^p$