Lösningar 1
Matematik för naturvetare 15hp
Lösningar till några övningar till Lektion 1
1.4. Eftersom $e<\pi$ så gäller $e^2<e\pi<\pi^2$ och av $3<\pi$ följer
$3e^2/\pi<e^2$. Vidare är $(3\sqrt 3)^2-(3\sqrt 2)^2=3^2(3-2)=3^2$.
Detta är $>e^2$, men frågan är om det är större än eller mindre än
$e\pi$. Men
$ e\pi<2,8\cdot 3,2=(3-0,2)(3+0,2)=3^2-0,4^2<3^2<\pi^2$
så vi har nu $3e^2/\pi<e^2<e\pi<(3\sqrt 3)^2-(3\sqrt 2)^2<\pi^2$. Återstår
att placera in $e^3-2e^2$. Men $e^3-2e^2=e^2(e-2)<e^2$ och vi måste
avgöra vilket av talen $e^2(e-2)$ och $3e^2/\pi$ som är störst. Kvoten
mellan dem är
$ \frac{e^2(e-2)}{3e^2/\pi}=\frac{\pi(e-2)}{3}<\frac{3,2\cdot0,8}{3}=2,56/3<1$
varför $e^3-2e^2<3e^2/\pi$. Ordningen blir till slut
$ e^3-2e^2<\frac{3e^2}{\pi}<e^2<e\pi<(3\sqrt 3)^2-(3\sqrt 2)^2<\pi^2$
1.7.a) Kvadratkomplettering ger
$\begin{array} 2x^2-3x-2&=&2\left(x^2-\frac{3}{2}\, x-1\right)= 2\left(\left(x-\frac{3}{4}\right)^2-\left(\frac{3}{4}\right)^2-1\right)\\ &=& 2\left(\left(x-\frac{3}{4}\right)^2-\frac{25}{16}\right).\end{array}$
Ekvationen är således ekvivalent med
$ \left(x-\frac{3}{4}\right)^2=\frac{25}{16}\quad\mbox{vilket ger}\quad x=\frac{3}{4}\pm\frac{5}{4}$
så att rötterna är $x_{1}=-1/2$ och $x_{2}=2$.
b) Utvecklar vi högerledet och förenklar, så får vi ekvationen $x^2-2x=x(x-2)=0$ som har rötterna $x=0$ och $x=2$.
c) Likheten är ekvivlent med $x(x+1)=(2x-1)(x-2)$ och $x\ne2$, $x\ne-1$. Förenkling ger $x^2-6x+2=0$, som efter kvadratkomplettering ger $(x-3)^2-3^2+2=(x-3)^2-7=0$. Rötterna är alltså $x=3\pm\sqrt 7$. Ingen av dessa är lika med 2 eller -1, så därför utgör de lösningarna till den ursprungliga ekvationen.
d) Multiplicerar vi båda leden med $x^2-1=(x+1)(x-1)$ så får vi $(2x-1)-3(x-1)=2x(x+1)$, som efter förenkling ger $2x^2+3x-2=0$. Detta är nästan samma ekvation som i a. och rötterna är $x=-3/4\pm5/4$, dvs $x_{1}=-2$ och $x_{2}=1/2$. Man måste kontrollera att ingen av dessa rötter gör någon nämnare 0 i den ursprungliga ekvationen, men dessa värden är ju 1 och -1, så $x_{1}=-2$ och $x_{2}=1/2$ är också lösningarna till den ursprungliga ekvationen.
1.15. Ledning: Sätt $2^x=t$ och lägg märke till att $2^{-x}=1/2^x=1/t$.
1.26.a)
$ x^2+7x=x^2+2\cdot\frac{7}{2}\, x+\left(\frac{7}{2}\right)^2- \left(\frac{7}{2}\right)^2=\left(x+\frac{7}{2}\right)^2-\frac{49}{4}$
c) $2x^2+4x+2=2(x^2+2x+1)=2(x+1)^2$
