Tips och lösning till övning 7.4.10

Tips 1

Uttryck \displaystyle z''_{xx} och \displaystyle z''_{tt} i \displaystyle z'_u och \displaystyle z'_v genom att använda kedjeregeln

Tips 2

\displaystyle z'_x=z'_u+z'_v och \displaystyle z''_{xx}=z''_{uu}+2z''_{uv}+z''_{vv}.

\displaystyle z'_t=cz'_u-cz'_v och \displaystyle z''_{tt}=c^2z''_{uu}-2c^2z''_{uv}+c^2z''_{vv}.

Sätt in dessa uttrycken i differentialekvtionen.

Tips 3 Efter förenkling blir den partiella differentialekvationen

\displaystyle z''_{uv}=0\quad\Rightarrow\quad z'_u=f(u).

Vi får då \displaystyle z=F(u)+g(v) vilket ger att lösningen blir

\displaystyle z(x,y)=F(x+ct)+g(x-ct) där \displaystyle F och \displaystyle g är en godtycklig deriverbar funktion.