Tips och lösning till övning 7.4.6

Tips 1

Uttryck \displaystyle z'_x och \displaystyle z'_y i \displaystyle z'_u och \displaystyle z'_v genom att använda kedjeregeln:

\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x}

och

\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial y}

Tips 2

Resultatet av kedjeregeln skall vara:

\displaystyle z'_x=z'_u-\frac{1}{x^2}z'_v och \displaystyle z'_y=-z'_v. Sätt in dessa uttrycken i differentialekvtionen.

Tips 3 Efter förenkling blir den partiella differentialekvationen

\displaystyle z'_u=0.

Lösningen är då \displaystyle z=g(v) vilket ger att

\displaystyle z(x,y)=g(\frac{1}{x}-y)

där \displaystyle g är en godtycklig deriverbar funktion.