Tips och lösning till övning 7.4.7
SamverkanFlervariabelanalysLIU
Tips 1
Med hjälp av kedjeregeln får vi:
\displaystyle z'_{x}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}+ \frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x}= 2xz'_{u}-xe^{-x^{2}/2}z'_{v}
\displaystyle z'_{y}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial y}+ \frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial y}= 2yz'_{u}.
Sätt nu in dessa uttryck i den partiella differentialekvaionen
Tips 2 Insatt i PDEn:
\displaystyle yz'_{x}-xz'_{y}=xyz\Leftrightarrow 2xyz'_{u}-xye^{-x^{2}/2}z'_{v}-2xyz'_{u}=xyz.
Efter förenkling återstår
\displaystyle -xye^{-x^{2}/2}z'_{v}=xyz \Leftrightarrow -vz'_{v}=z\Leftrightarrow vz'_{v}+z=0
Återstår en differentialekvation som kan lösas med integrerande faktor.
Tips 3
\displaystyle vz'_{v}+z=0 \Leftrightarrow \bigg( vz\bigg)'_{v}=0 \Leftrightarrow vz=f(u)\Leftrightarrow z=\frac{1}{v}f(u).
Det återstår att återgå till variabler \displaystyle x och \displaystyle y:
Lösningen blir således \displaystyle z(x,y)=e^{x^{2}/2}f(x^{2}+y^{2})