Tips och lösning till övning 7.4.9
SamverkanFlervariabelanalysLIU
Tips 1
Uttryck \displaystyle z_x och \displaystyle z_y i \displaystyle z_u och \displaystyle z_v genom att använda kedjeregeln
Tips 2
Vi får att
\displaystyle z'_x=z'_u+\frac{1}{y}z'_v
\displaystyle z'_y=-\frac{x}{y^2}z'_v
Använd nu kedjeregeln för att bestämma andraderivatorna
\displaystyle z''_{xx}=z''_{uu}+\frac{2}{y}z''_{uv}+\frac{1}{y^2}z''_{vv}
\displaystyle z''_{xy}=-\frac{1}{y^2}z'_{v}-\frac{x}{y^2}z''_{uv}-\frac{x}{y^3}z''_{vv}
\displaystyle z''_{yy}=\frac{2x}{y^3}z'_{v}+\frac{x^2}{y^4}z''_{vv}
Använd dessa uttryck i den partiella differentialekvationen
Tips 3
\displaystyle xz''_{xy}+yz''_{yy}=-\frac{x}{y^2}z'_{v}-\frac{x^2}{y^2}z''_{uv}-\frac{x^2}{y^3}z''_{vv}+ \frac{2x}{y^2}z'_{v}+\frac{x^2}{y^3}z''_{vv}
Förenklat, och med högerledet
\displaystyle \frac{x}{y^2}z'_{v}-\frac{x^2}{y^2}z''_{uv}=\frac{x}{y^{2}}
Ekvationen blir då
\displaystyle z'_v-xz''_{uv}=1
Innan vi kan lösa ekvationen måste vi uttryck \displaystyle x i \displaystyle u och \displaystyle v.
\displaystyle z'_v-uz''_{uv}=1
Högerledet kan skrivas om med hjälp av en integrerande faktor:
\displaystyle \frac{\partial}{\partial u}(\frac{1}{u}z'_v)=-\frac{1}{u^2}
Vi får då att
\displaystyle \frac{1}{u}z'_v=\frac{1}{u}+f(v)\quad \Rightarrow\quad z'_v=1+uf(v)
Lösningen blir då
\displaystyle z=v+uF(v)+g(u).
Uttryckt i de ursprungliga variablerna: \displaystyle z(x,y)=\frac{x}{y}+xf(\frac{x}{y})+g(x). där \displaystyle f och \displaystyle g är två godtyckliga funktioner.