Tips och lösning till U 13.13a
SamverkanLinalgLIU
Tips 1
Vi börjar med att avgöra om alla vektorerna behövs för att beskriva W
Tips 2
Kalla vektorerna i \displaystyle W för \displaystyle \boldsymbol{v}_1 . För att undersöka om vektorerna är linjärt oberoende undersöker vi systemet\lambda_1\boldsymbol{v}_1+\lambda_2\boldsymbol{v}_2+\lambda_3\boldsymbol{v}_3=\boldsymbol{0} \Leftrightarrow \left(\begin{array}{rrr|r} 1&1&2&0\\ 1&2&3&0\\ 1&2&1&0\\ 1&1&6&0\\ \end{array}\right) \Leftrightarrow \left(\begin{array}{rrr|r} 1&1&2&0\\ 0&1&1&0\\ 0&1&-1&0\\ 0&0&4&0\\ \end{array}\right)
Detta system har endast den triviala lösning vilket betyder att vektorerna är linjärt oberoende och dimensionen för rummet är 3.
Tips 3
Nu skall vi med hjälp av de givna tre vektorerna ta fram en ekvation för en godtycklig vektor i W. Vi kallar en godtycklig vektor \displaystyle \boldsymbol{v}=(x_1,x_2,x_3,x_4)^t\in{\bf E}^4 och får ett ekvationssystem som vi tar fram en lösning till. Ekvationssystemet är\boldsymbol{v}=\lambda_1\boldsymbol{v}_1+\lambda_2\boldsymbol{v}_2+\lambda_3\boldsymbol{v}_3 \Leftrightarrow \left(\begin{array}{rrr|r} 1&1&2&x_1\\ 1&2&3&x_2\\ 1&2&1&x_3\\ 1&1&6&x_4\\ \end{array}\right) \Leftrightarrow \left(\begin{array}{rrr|l} 1&1&2&x_1\\ 0&1&1&x_2-x_1\\ 0&0&-2&x_3-x_2\\ 0&0&0&x_4-2x_2+2x_3-x_1\\ \end{array}\right).
Lösning
Kalla vektorerna i \displaystyle W för \displaystyle \boldsymbol{v}_1 , \displaystyle \boldsymbol{v}_2 och \displaystyle \boldsymbol{v}_3 .
Vi börjar med att undersöka om \displaystyle \dim W=3 genom att undersöka
om vektorerna är linjärt oberoende. Om \displaystyle \dim W<3 , så kan
\displaystyle W inte ges som en ekvation.
Eftersom systemet
\lambda_1\boldsymbol{v}_1+\lambda_2\boldsymbol{v}_2+\lambda_3\boldsymbol{v}_3=\boldsymbol{0} \Leftrightarrow \left(\begin{array}{rrr|r} 1&1&2&0\\ 1&2&3&0\\ 1&2&1&0\\ 1&1&6&0\\ \end{array}\right) \Leftrightarrow \left(\begin{array}{rrr|r} 1&1&2&0\\ 0&1&1&0\\ 0&1&-1&0\\ 0&0&4&0\\ \end{array}\right)
har endast lösningen \displaystyle \lambda_1=\lambda_2 =\lambda_3=0 , så är \displaystyle \boldsymbol{v}_1 , \displaystyle \boldsymbol{v}_2 och \displaystyle \boldsymbol{v}_3 linjärt oberoende och \displaystyle \dim W=3 . \displaystyle W är alltså ett homogent hyperplan.
Vi bestämmer nu ekvationen för \displaystyle W .
En godtycklig vektor \displaystyle \boldsymbol{v}=(x_1,x_2,x_3,x_4)^t\in{\bf E}^4 som tillhör \displaystyle W
måste uppfylla
\boldsymbol{v}=\lambda_1\boldsymbol{v}_1+\lambda_2\boldsymbol{v}_2+\lambda_3\boldsymbol{v}_3 \Leftrightarrow \left(\begin{array}{rrr|r} 1&1&2&x_1\\ 1&2&3&x_2\\ 1&2&1&x_3\\ 1&1&6&x_4\\ \end{array}\right) \Leftrightarrow \left(\begin{array}{rrr|l} 1&1&2&x_1\\ 0&1&1&x_2-x_1\\ 0&0&-2&x_3-x_2\\ 0&0&0&x_4-2x_2+2x_3-x_1\\ \end{array}\right).
Alltså för att \displaystyle \boldsymbol{v} skall få tillhöra \displaystyle W , så måste dess koordinater uppfylla ekvationen
x_1+2x_2-2x_3-x_4=0,
dvs
W=\{\boldsymbol{v}=(x_1,x_2,x_3,x_4)^t\in{\bf E}^4:\ x_1+2x_2-2x_3-x_4=0\}.
