Tips och lösning till U 13.15a

Tips 1

Steg ett bör vara att avgöra dimensionen på rummet, dvs finns det några överflödiga vektorer?

Tips 2

Du undersöker om vektorerna är linjärt beroende eller oberoende genom att lösa ekvationssystemet \displaystyle \lambda_1\boldsymbol{v}_1+\lambda_2\boldsymbol{v}_2+\lambda_3\boldsymbol{v}_3=\boldsymbol{0} \Leftrightarrow \left(\begin{array}{rrr|r} 1&1&1&0\\ 1&2&3&0\\ -1&-1&-1&0\\ -1&-2&-3&0\\ \end{array}\right) \Leftrightarrow \left(\begin{array}{rrr|r} 1&1&1&0\\ 0&1&2&0\\ 0&0&0&0\\ 0&0&0&0\\ \end{array}\right)

Eftersom de är linjärt beroende kan du plocka bort en vektor som är en linjärkombination av de två övriga.

Tips 3

Nu har du två vektorer som utgör bas. Använd nu G-S för att skapa en ON-bas.

Lösning

Vi undersöker via linjärt beroende om \displaystyle W innehåller några överflödiga vektorer.

Kalla vektorerna \displaystyle \boldsymbol{v}_1 , \displaystyle \boldsymbol{v}_2 och \displaystyle \boldsymbol{v}_3 . Av definitionen av linjärt beroende följer att systemet

har parameterlösningen \displaystyle \lambda_1=t , \displaystyle \lambda_2=-2t och \displaystyle \lambda_3=t . Alltså råder följande beroendesamband mellan vektorerna

Vi ser att en av vektorerna är överflödig och vi stryker t.ex., \displaystyle \boldsymbol{v}_3 från \displaystyle W , så att \displaystyle W=[\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2,\boldsymbol{v}_3]=[\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2] med \displaystyle \dim W=2 .

Låt

G-S process ger

Normera, så att