Tips och lösning till U 13.17
SamverkanLinalgLIU
Tips 1
Grundidéen är att ta fram en ON-bas i W.
Tips 2
När du funnit denna ON-bas så utvidgar du den till en ON-bas för hela rummet. Vi börjar med att ta fram en bas med hjälp av ekvationssystemet\left\{\begin{array}{rcrcrcrcr}x_1&-&x_2&+&x_3&+&x_4&=&0\\
x_1&-&x_2&+&2x_3&+&x_4&=&0\end{array}\right.
\left\{\begin{array}{rcrcrcrcr}x_1&-&x_2&+&x_3&+&x_4&=&0\\
&&&&x_3&&&=&0\end{array}\right.
Tips 3
Du skall nu utöka med två basvektorer till. Dessa skall vara ortogonala mot de basvektorer du redan funnit. Skalärprodukt ger oss ett ekvationssystem som tar fram två vektorer till som nu skall normeras. Vi avslutar med en kontroll att vi har funnit en ON-bas.
Lösning
Vi behöver bestämma \displaystyle \dim W och en ON-bas i \displaystyle W . För detta behöver vi antalet linjärt oberoende vektorer som spänner upp \displaystyle W . Vi börjar därför med att bestämma skärningsmängden mellan de båda hyperplanen
\left\{\begin{array}{rcrcrcrcr}x_1&-&x_2&+&x_3&+&x_4&=&0\\
x_1&-&x_2&+&2x_3&+&x_4&=&0\end{array}\right.
\left\{\begin{array}{rcrcrcrcr}x_1&-&x_2&+&x_3&+&x_4&=&0\\
&&&&x_3&&&=&0\end{array}\right.
som ges av \displaystyle x_4=-t , \displaystyle x_3=0 , \displaystyle x_2=s och \displaystyle x_1=s+t , dvs
\boldsymbol{x}=s(1,1,0,0)^t+t(1,0,0,-1)^t.
Alltså är \displaystyle \boldsymbol{v}_1=(1,1,0,0)^t , \displaystyle \boldsymbol{v}_2=(1,0,0,-1)^t en bas för \displaystyle W , så att \displaystyle W=[(1,1,0,0)^t,(1,0,0,-1)^t] och \displaystyle \dim W=2 . Vi använder G-S process på \displaystyle W . Låt
\boldsymbol{e}_1=\frac{1}{\sqrt2}(1,1,0,0)^t.
Sätt
\boldsymbol{f}_2=\boldsymbol{v}_2-(\boldsymbol{v}_2|\boldsymbol{e}_1)\boldsymbol{e}_1=\frac{1}{2}(1,-1,0,-2)^t.
och låt
\boldsymbol{e}_2=\frac{1}{||\boldsymbol{f}_2||}\boldsymbol{f}_2=\frac{1}{\sqrt{6}}(1,-1,0,-2)^t.
Vi kompletterar nu basen för \displaystyle W till hela \displaystyle {\bf E}^4 genom att söka \displaystyle \boldsymbol{w}=(x_1,x_2,x_3,x_4)^t\in{\bf E}^4 , så att
\left\{\begin{array}{rcrcr} (\boldsymbol{w}|\boldsymbol{v}_1)&=&x_1+x_2&=&0\\ (\boldsymbol{w}|\boldsymbol{v}_2)&=&x_1-x_4&=&0 \end{array}\right.
Systemet har lösningen \displaystyle x_1=t , \displaystyle x_2=-t . \displaystyle x_3=s , \displaystyle x_4=t vilket ger vektorerna \displaystyle \boldsymbol{w}_1=t(1,-1,0,1)^t och \displaystyle \boldsymbol{w}_2=(0,0,0,1,0)^t . Vi observerar att \displaystyle \boldsymbol{w}_1 och \displaystyle \boldsymbol{w}_2 är ortogonala. Vi har alltså att \displaystyle \boldsymbol{e}_1=\frac{1}{\sqrt2}(1,1,0,0)^t \displaystyle \boldsymbol{e}_2=\frac{1}{\sqrt{6}}(1,-1,0,-2)^t. \displaystyle \boldsymbol{e}_3=\frac{1}{\sqrt{3}}(1,-1,0,1)^t och \displaystyle \boldsymbol{e}_4=(0,0,1,0)^t är en ON-bas \displaystyle \in{\bf E}^4 .
